Существует ли биекция между вычислимыми числами и нат.?

[Nxx]

Цитата:

1) Они противоречат сами себе (это означает, что их ещё уточнять и уточнять).
2) Есть туева хуча явлений, которые не имеют объяснений в рамках существующих теорий.
3) Даже, если единая теория и будет построена, то очень вероятно, что она является всего лишь грубым приближением более точной и более общей теории (которая может и допускать то, что недопустимо в известной теории).

Принцип дополнительности говорит о том, что каждая последующая физическая теория является уточнением предыдущих, а не опровержением, так как имеющиеся теории подтверждены с довольно высокой точностью. В любом случае, есть набор известных на сегодняшний день законов, и независимо от того, какие законы могут быть открыты в будущем, крайне неразумно использовать теоретическую модель, которая противоречит по крайней мере, известным на сегодня законам и знаниям о нашем мире и предполагает какие-то гипотетические свойства пространства, которые идут в разрез со всеми имеющимися теориями.

Модель нужно менять после того, как будут открыты непредвиденные явления, а не "про запас".

Есть и еще одно соображение. Природа не любит бесконечности и ни в одном физическом процессе никогда бесконечные величины не наблюдаются. Если теория предсказывает в каком-то процессе бесконечности и прочие сингулярности, как правило, это говорит о том, что процесс находится за рамками применимости теории. Это так называемый принцип космической цензуры. Поэтому существование устройств, производящих невычислимые вычисления противоречит и этому принципу тоже.

[epros]

маткиб писал(а):

Я не понимаю, что значит "корректно поставленные вопросы" или "все корректно поставленные вопросы". Если рассматривать только логику первого порядка, то корректно поставленный вопрос - это пара $(\Phi,I)$, где $\Phi$ - замкнутая формула первого порядка, $I$ - каким-то образом определенная интерпретация (какой то сигнатуры, которая тоже сюда входит). Если что такое "все формулы первого порядка", я ещё могу понять, то что такое "все интерпретации" или "все интерпретации, которые можно помыслить", я не понимаю.

Я тоже не понимаю. Но это вы (классические математики) обычно в ответ на вопрос, откуда Вы взяли закон исключённого третьего, приводите в качестве его обоснования предположение о том, что ответы на все вопросы где-то (или у кого-то) есть, независимо от того, знаем мы их или нет. Я всего лишь попытался формализовать это предположение.

Для меня, например, закон исключённого третьего не очевиден по одной простой причине: Если задача достаточно сложная, так что уже многие поколения математиков + масса привлечённых вычислительных ресурсов не смогли её пока что решить, то не исключено, что эта задача никогда, никем и нигде не будет решена. Что равносильно отсутствию решения в принципе. А закон исключённог третьего зачем-то такую возможность исключает. Зачем? Или на основании чего?

маткиб писал(а):

Интерпретация - это вымышленная сущность, на то она и вымышленная, что она не находится в каком-то там "банке сущностей" (типа как у Платона).

О! Осталось совсем немного до того, чтобы признать, что значения истинности для высказываний тоже не находятся в каком-то существующем независимо от нашего знания "банке сущностей".

маткиб писал(а):

Я так не отвечаю. Существование вымышленного "универсального решателя любых задач" у меня нигде не подразумевается (потому что я не понимаю, что такое "любая задача").

Т.е. Вы только при предъявлении любого конкретного примера задачи тут же "представляете себе воображаемого решателя", который знает на неё ответ? А пока Вам исчерпывающий список задач не представлен, Вы от общего заявления о том, что все они - решаемы, воздерживаетесь?

[маткиб]

Nxx в сообщении #185675 писал(а):

Принцип дополнительности говорит о том, что каждая последующая физическая теория является уточнением предыдущих, а не опровержением, так как имеющиеся теории подтверждены с довольно высокой точностью.

Такие вещи, как "количество информации", "вычислительные возможности" и т.п. как раз вероятнее всего будут полностью пересмотрены, чем "слегка уточнены".

Кстати, вроде как теория струн даёт больший сложностной класс, чем обычная квантовая механика (пусть специалисты меня поправят).

Nxx в сообщении #185675 писал(а):

Модель нужно менять после того, как будут открыты непредвиденные явления, а не "про запас".

Но никто не запрещает и "про запас" подумать

[Nxx]

Цитата:

Кстати, вроде как теория струн даёт больший сложностной класс, чем обычная квантовая механика (пусть специалисты меня поправят).

Никто не исключает перевода тех или иных задач с появлением новых вычислительных устройств в новый класс сложности (то есть, в определенном смысле, ускорения вычислений). Речь идет о невозможности создать устройства для решения невычислимых задач, то есть, производить вычисления с бесконечной скоростью или над бесконечным количеством данных. Ускорение вычислений в некоторое число раз или даже на порядки - вопрос физический, ускорение вычислений в бесконечное число раз - вопрос философский.

[Droog_Andrey]

Nxx писал(а):

Известны, например, физические пределы на объем информации, который можно записать в некоторую область пространства

Не совсем так. Ограничение есть на количество информации на материальном носителе определённой массы.

З.Ы. Вообще говоря, Nxx, если Вы говорите о нефизичности бесконечных объёмов информации, то следует первым делом заменить аксиому выбора на аксиому детерминированности, а потом уже в рамках данной аксиоматики рассуждать о выводимости и т.п.

А то получается, что в огороде бузина, а в Киеве дядька.

З.З.Ы. Мне тоже аксиома выбора не нравится.

[маткиб]

epros, я прекрасно понимаю Ваши претензии к закону исключённого третьего и т.п. Но классическая математика на практике работает, Вы ведь не будете этого отрицать? И работает лучше, чем конструктивизм!

epros в сообщении #185677 писал(а):

Но это вы (классические математики) обычно в ответ на вопрос, откуда Вы взяли закон исключённого третьего, приводите в качестве его обоснования предположение о том, что ответы на все вопросы где-то (или у кого-то) есть, независимо от того, знаем мы их или нет. Я всего лишь попытался формализовать это предположение.

Если уж взялись формализовывать, то формализуйте сначала, что такое "все вопросы", а то как-то нехорошо получается.

epros в сообщении #185677 писал(а):

О! Осталось совсем немного до того, чтобы признать, что значения истинности для высказываний тоже не находятся в каком-то существующем независимо от нашего знания "банке сущностей".

С этим никто и не спорит.

epros в сообщении #185677 писал(а):

Т.е. Вы только при предъявлении любого конкретного примера задачи тут же "представляете себе воображаемого решателя", который знает на неё ответ? А пока Вам исчерпывающий список задач не представлен, Вы от общего заявления о том, что все они - решаемы, воздерживаетесь?

При предъявлении конкретного класса задач я представляю себе вымышленного решателя, который эти задачи решает (это, кстати, не значит, что эти задачи решаемы человеком). Это просто абстракция, которая, к счастью, даёт неплохие практические результаты!

А "все задачи решаемы" - это скорее лозунг, чем утверждение (потому что не понятно, что такое "все задачи" и что подразумевать под решаемостью).

[Nxx]

Цитата:

Не совсем так. Ограничение есть на количество информации на материальном носителе определённой массы.

Есть еще ограничение на количество информации, заключенной в области, ограниченной поверхностью определенной площади.

Цитата:

Мне тоже аксиома выбора не нравится.

Аксиома выбора к реальному миру вообще никакого отношения не имеет.

[Droog_Andrey]

epros писал(а):

К чему я это спрашиваю? А к тому, что понятие "первопричины" легко формализуемо в классической логике:
Высказывание $CP$ есть "первопричина", если $CP \wedge \forall P (P \to (CP \to P))$
(т.е. оно истинно и из него следует любое истинное высказывание).

И в той же классической логике элементарно показывается, что это понятие противоречиво, ибо $P \to (CP \to P) \leftrightarrow \neg CP$

Этот "парадокс" (как и многеи другие) есть следствие подмены причинности импликативностью. Интересная тема, на самом деле...

[Nxx]

Цитата:

Но классическая математика на практике работает, Вы ведь не будете этого отрицать?

На практике невозможно разрезать сферу на две конечным количеством движений ножницами. Так что, на практике получается противоречие теории. Так называемая "классическая математика" уже много раз давала выводы, не имеющие отношения к реальности.

[маткиб]

Nxx в сообщении #185681 писал(а):

Никто не исключает перевода тех или иных задач с появлением новых вычислительных устройств в новый класс сложности (то есть, в определенном смысле, ускорения вычислений). Речь идет о невозможности создать устройства для решения невычислимых задач, то есть, производить вычисления с бесконечной скоростью или над бесконечным количеством данных.

А почему Вы решили, что переход в новый класс сложности чем-то лучше, чем, например, переход в новую тьюрингову степень?

Nxx в сообщении #185681 писал(а):

Ускорение вычислений в некоторое число раз или даже на порядки - вопрос физический, ускорение вычислений в бесконечное число раз - вопрос философский.

И то, и другое - вопросы физические (а философы их и философскими считают )

[Droog_Andrey]

Nxx писал(а):

Есть еще ограничение на количество информации, заключенной в области, ограниченной поверхностью определенной площади.

Если информацию определять через материю, то информация есть дифференциация материи в пространстве-времени. В принципе, считать носителем информации можно и материю, и пространство-время, но в последнем случае мы становимся жертвами нелокальности.

Строго говоря, мы говорим об одном и том же, т.к. пространственно-временная метрика неразрывно связана с плотностью материи, однако всё же классическое представление о материальных носителях информации ИМХО более стройно.

Впрочем, лучше не бросаться в крайности и всегда помнить как о погрешности в энергии (количестве материи), так и о погрешности в локальности (количестве пространства-времени). Дуализм этих погрешностей есть ни что иное, как отражение того, о чём написано в первых строках этого поста

Извиняюсь за сумбурность - редко на такие темы удаётся пообщаться.

[маткиб]

Nxx в сообщении #185690 писал(а):

На практике невозможно разрезать сферу на две конечным количеством движений ножницами.

В теории тоже нельзя сферу разбить на две сферы

Если Вы про парадокс Банаха-Тарского, то там утверждается, что шар можно разбить на несколько частей, а потом поворотами и перемещениями сложить из них 2 таких же шара. Про разрезание ножницами и вообще про реальный физический мир там ничего не сказано.

Если Вы применяете это к физическому миру, то это означает, что Вы просто неправильно выбрали модель, т.е. ошибка в формулировке математической задачи и трактовке ответа, а не в принципах, используемых при её решении. Может, Вы в реальности можете точку из шара вырезать ножницами?

Кстати, в конструктивном анализе никаких шаров вообще нет

Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду:

Nxx в сообщении #185690 писал(а):

Так называемая "классическая математика" уже много раз давала выводы, не имеющие отношения к реальности.

Пример?
(только не надо такие примеры, где формулировка задачи не имеет отношения к реальности)

[Nxx]

Цитата:

Если информацию определять через материю, то информация есть дифференциация материи в пространстве-времени. В принципе, считать носителем информации можно и материю, и пространство-время, но в последнем случае мы становимся жертвами нелокальности.

Не пойму, чего вы мудрите. Есть четкое физическое ограничение. Информационная емкость в физике называется энтропией и указанное выше ограничение не зависит от носителя.

Добавлено спустя 4 минуты 54 секунды:

Цитата:

А почему Вы решили, что переход в новый класс сложности чем-то лучше, чем, например, переход в новую тьюрингову степень?

Как уже говорилось, переход в новую тьюрингову степень равнозначен бесконечному количеству вычислений над бесконечным количеством данных за конечное время.

Переход в новый класс сложности означает, что новые вычислительные устройства могут быть эмулированны на старых технических средствах и наоборот, просто с меньшей эффективностью. Переход в новый класс сложности не означает решение неразрешимых задач.

[маткиб]

Nxx в сообщении #185696 писал(а):

Как уже говорилось, переход в новую тьюрингову степень равнозначен бесконечному количеству вычислений над бесконечным количеством данных за конечное время.

В терминах машины Тьюринга!
Реальный мир никому ничем не обязан мерить вычисления в тактах машины Тьюринга.
Да и не уметь производить "бесконечное количество вычислений" за конечное время он никому не обязан.

[Droog_Andrey]

Nxx, оно не такое уж чёткое, если вспомнить о неевклидовости пространства-времени.

Есть фундаментальные ограничения $\frac{TS}{U} < \frac12$ и $\frac{PV}{U} < \frac13$, где T - температура, S - энтропия, P - давление, V - объём, U - полная энергия. Для чёрной дыры можно U = mc^2 связать с площадью горизонта событий, и получим ограничение на энтропию, упомянутое Вами, с одной поправкой на то, что горизонт не ограничивает область пространства определённого объёма.

Всё взаимосвязано