Существует ли биекция между вычислимыми числами и нат.?

[Nxx]

Цитата:

Вы имеете в виду то же, о чём говорится в конце гл. I "Статистической физики" Ландау и Лифшица, или что-то другое?

Необратимы прежде всего термодинамические уравнения. Это связано с тем, что во времени обратима только унитарная эволюция квантовой системы, в то время, как в природе унитарная эволюция практически не встречается.

[маткиб]

epros в сообщении #185840 писал(а):

Это ещё зачем?

Чтобы было, о чём говорить.

epros в сообщении #185840 писал(а):

Вполне очевидно, что если существование этого "настоящего" решения доказано неконстуктивными методами, то реально решения в Вашем распоряжении нет, а стало быть и разности этой нет.

Не очевидно.

epros в сообщении #185840 писал(а):

Что именно я должен был вынести?

То, что даже если и есть принципиально неразрешимые утверждения, то нельзя называть такими те, которые независимы с какой-то конкретной аксиоматикой. Т.е. каждой формуле в принципе можно сопоставить одно из 3 значений - "истинно", "ложно" и "неразрешимо" (хотя нормальному математику и двух хватает), и читающий формулу должен хотя бы приблизительно представлять, что это значит, и эта информация не содержится в самой формуле (формула - это строка символов, в ней кроме этих символов больше никакой информации нет). Например, если я говорю

$$ (\forall x)(\forall y)(\exists z)(z=x+y), $$

то Вы должны понимать, что переменные под кванторами пробегают "строки из вертикальных палочек", "=" означает равно, а + означает "+", и этой информации в самой строке нет. Я не представляю, как можно формально объяснить человеку, что такое "+". Обычно человек понимает это с нескольких показанных примеров с яблоками или камушками (хотя гарантии понимания нет).

epros в сообщении #185840 писал(а):

Определял истинное высказывание, из которого следуют все истинные высказывания.

А оно есть?

epros в сообщении #185840 писал(а):

Нет такой уверенности. Просто обычно так реально и делают: Всё, что имеет какой-то конкретный смысл, а не является пустой философией, в конечном итоге записывается формально.

Ну мы тут в ходе дискуссии и наблюдаем, что границы между формальным и неформальным очень расплывчаты.

epros в сообщении #185840 писал(а):

Конструктивисты становятся такими "въедливыми" только там, где речь идёт об основаниях математики, т.е. о вещах, в отношении однозначного понимания которых всеми мы должны быть вполне уверены.

Да не будут все никогда уверены. Многие не уверены даже, что к каждому натуральному числу единицу можно прибавить (наверно, это ультраконструктивисты ).

epros в сообщении #185840 писал(а):

Может когда речь идёт о достаточно сложных вещах, то действительно имеем достаточно узкий круг "избранных". Но это не значит, что эти "избранные" наделяются исключительными правами сочинять аксиомы, которые всем остальным остаётся только принимать на веру и с открытыми ртами. Абстракции же конструктивизма достаточно просты для того, чтобы их могли понять и принять даже "не избранные". А остальное (включая весьма сложное) - выводимо.

Абстракции классической математики (по крайней мере, ZFC) тоже достаточно просты и принимаются обычно даже "не избранными" (за исключением 1% конструктивистов).

epros в сообщении #185840 писал(а):

Может быть я чего-то не понял, но по-моему Вы тут сразу три ерунды высказали:

1. Актуальная бесконечность (она же - аксиома бесконечности) в аксиоматике Пеано не присутствует и из неё невыводима (или, по крайней мере, до сей поры не выведена).

2. Закон исключённого третьего относится к логическим законам, а не к аксиоматике Пеано. Посему возможна теория = аксиоматика Пеано + законы логики без исключённого третьего.

3. Схема индукции в самой формальной арифметике ничего не говорит ни о каких "множествах" формул. Просто есть аксиома для каждой формулы, и всё. В метатеории, в которой определено понятие "формула арифметики" и которая может формулировать утверждения типа: "Для всех формул арифметики ...", индукция определяется одной аксиомой. Но это именно потому, что в ней есть формула, проверяющая, является ли строка "формулой арифметики". К бесконечным множествам это не имеет никакого отношения.

Под арифметикой Пеано обычно подразумевают теорию с аксиомами арифметики, основанную на классической логике первого порядка. Всё остальное - это "интуиционистская арифметика", "конструктивная арифметика", "арифметика Пеано-epros'a" и т.д. Кванторы по натуральным числам - это уже актуальная бесконечность. А если ещё и индукцию применять по формулам с такими кванторами - так это тем более. Кстати, вроже если даже оставить интуиционистскую логику, то те же проблемы остаются.

[ewert]

epros в сообщении #185840 писал(а):

Вполне очевидно, что если существование этого "настоящего" решения доказано неконстуктивными методами, то реально решения в Вашем распоряжении нет, а стало быть и разности этой нет. Вы, конечно, можете "вывести для этой разности какие-то соотношения" неконструктивными методами. Но что толку, я не пойму?

На практике "конструктивное решение" -- вовсе не абстрактно конструктивное, а то, которое можно найти сколь угодно точно посредством конечных количеств операций.

Для этого нужно знать (ну или хотя бы надеяться), что задача осмысленна, т.е. что её решение существует.

Неконструктивные методы дают хотя бы такую надежду. И, следовательно, имеют весьма мощную эвристическую ценность.

Конструктивные (имея в виду махрово конструктивные) --никакой эвристической ценности не могут иметь в принципе.

[Droog_Andrey]

Nxx писал(а):

Необратимы прежде всего термодинамические уравнения. Это связано с тем, что во времени обратима только унитарная эволюция квантовой системы, в то время, как в природе унитарная эволюция практически не встречается.

Да, термодинамика - это отдельный разговор. Правда, тут есть один нюанс.

Редукция квантового состояния, по сути, представляет собой рождение информации. Физика нам ничего не говорит о причинах её появления. Поэтому эта асимметрия просто постулируется.

Совокупность же "причина - следствие" представляет собой преобразование (а не рождение) информации и упорядочена во времени с нашей точки зрения лишь за счёт особенностей нашего восприятия.

А именно: настоящий момент времени, в который мы имеем свободу воли (т.е. в который и происходит рождение информации) мы существенно отделяем от прошлого и будущего. Поэтому причинно-следственные связи для нас проще воспринимать направлеными во времени.

Т.е. сама по себе причинность ко времени никак не привязана. Привязано наше её восприятие.

Таким образом, математика может рассматривать явления с информационной стороны (как там преобразуется информация), а физика - с материальной (какие материальные взаимодействия там происходят).

В квантовой механике оба подхода достаточно сильно сблизились за счёт появления необходимости физического описания процесса измерения, который, по сути, является процессом передачи информации. Материальный объект - квантовая система - и соответствующий ему информационный объект - волновая функция - две стороны одной медали.

З.Ы. Что-то я отошёл от темы... %)

[Nxx]

Цитата:

Редукция квантового состояния, по сути, представляет собой рождение информации. Физика нам ничего не говорит о причинах её появления. Поэтому эта асимметрия просто постулируется.

Чепуха полная. У физики есть много объяснений на этот счет, даже больше, чем нужно.

Цитата:

Т.е. сама по себе причинность ко времени никак не привязана. Привязано наше её восприятие.

Вы в курсе что именно принцип причинности делает невозможным сверхсветовое сообщение?

[Droog_Andrey]

Nxx писал(а):

Чепуха полная. У физики есть много объяснений на этот счет, даже больше, чем нужно.

Давайте поаккуратней с выражениями.

Можете привести хотя бы одно? Откуда берётся информация?

Nxx писал(а):

Вы в курсе что именно принцип причинности делает невозможным сверхсветовое сообщение?

Вы говорите о передаче информации, а не о её преобразовании.

Судя по всему, мы под причинностью понимаем разные вещи.

[Nxx]

Цитата:

Откуда берётся информация?

Не понял, что значит "откуда берется информация". В физике обычно этот термин вообще не используется. Вы должны знать, что система стремится перейти из менее вероятного состояния в более вероятное.

Цитата:

Судя по всему, мы под причинностью понимаем разные вещи.

Поэтому я вас и просил дать ваше определение причинности.
Есть закон, согласно которому причина всегда предшествует следствию и этот закон никогда не нарушается.

[Droog_Andrey]

Nxx писал(а):

Не понял, что значит "откуда берется информация". В физике обычно этот термин вообще не используется. Вы должны знать, что система стремится перейти из менее вероятного состояния в более вероятное.

Вероятность и есть функция информации.

Впрочем, переформулирую вопрос. Почему происходит редукция волнового состояния?

Nxx писал(а):

Поэтому я вас и просил дать ваше определение причинности.

Так я его уже давал.

Nxx писал(а):

Есть закон, согласно которому причина всегда предшествует следствию и этот закон никогда не нарушается.

Завтра у меня будет нулевой урок (причина), следовательно, поэтому сегодня я ложусь спать раньше (следствие). Дубовый пример, но суть, думаю, понятна: причину и следствие располагаем во времени мы сами, это следствие нашего последовательного восприятия реальности.

Кстати, последовательное построение ряда ординалов, принцип работы машины Тьюринга и т.п. имеет те же корни.

В физике нет никаких запретов на существование систем с параллельным мышлением, в отличие от нашего последовательного; хороший пример - квантовые компьютеры.

Вообразите себе этакого инопланетянина, который считает не так, как мы - "раз, два, три, ...", воспринимая реальность последовательно, частями, а оперирует, скажем, нулями дзета-функции Римана, воспринимая реальность целостно, но нечётко, при необходимости уточняя требуемое.

Так вот, причинность у этого иноплатетянина, как ни удивительно, ничуть не хуже нашей, только наши попытки привязать её ко времени покажутся ему столь же нелепыми, как нам кажется нелепым её от времени отвязать.

Логика у него будет совсем другой: его пару "причина - следствие" мы сможем приближённо уяснить понятиями "множество аксиом - множество истинных утверждений в рамках этой аксимоатики", только у него эти множества будут нечёткими, с некоторой (вполне естественной для инопланетянина) погрешностью, которую при необходимости можно будет уменьшать. Принципиальное её существование в нашей логике выливается в теорему о неполноте.

Важно понять, что преобразование информации не зависит от времени; к времени привязано восприятие информации, т.к. возможность последнего обязана возможности рождения информации, задающей направление времени.

В том моём примере тот факт, что у меня завтра первый урок, это, по сути, тот же самый факт, что я сегодня ложусь раньше спать. Это одна и та же информация, преобразованная в разную форму и воспринятая как события прошлого и будущего.

Преобразование заключает в себе общую информацию, оно не затрагивает ту рождающуюся, которая задаёт стрелу времени и работает здесь само по себе, ну а тот факт, что из двух событий в заданной системе отсчёта одно происходит раньше, а другое позже, никакого отношения к этому преобразованию не имеет.

Постепенно иссякаю в попытках объяснить... Впрочем, чувствую, что если желание понять написанное есть - то всё будет ОК, ну а если просто стоит цель оспорить - тогда вряд ли имеет смысл продолжать.

[маткиб]

Специально для epros'a: пример применения классической математики для численного интегрирования (надеюсь, не нужно объяснять, для чего оно нужно). Сначала несколько вспомогательных теорем.

В классическом анализе есть замечательная теорема:
Теорема 1. Если функция $f(x)$ дифференцируема на отрезке $[a;b]$,
$f(a)=f(b)=0$, то существует $x_0\in(a;b)$, для которого выполнено
$f'(x_0)=0$.
Доказательство. Если $f(x)$ - тождественный ноль, то всё
очевидно. Если нет, то возьмем точку $x_0$, на которой достигается
максимум $|f(x)|$ (а он достигается, ибо непрерывно).

В конструктивном, я так понимаю, есть аналог, что для любого
$n\in\mathbb{N}$ существует $x_0$, для которого $|f'(x_0)|<1/n$,
который хрен знает как доказывается (по аналогии не получится).

Ещё в классическом анализе есть другая замечательная теорема:
Теорема 2. Если $a<b<c$, $f(x)$ дважды дифференцируема на $[a;c]$,
то существует такой $x_0\in(a;c)$, что $f''(x_0)=0$.
Доказательство. Применим теорему 1 к отрезкам $[a;b]$ и $[b;c]$,
получим две точки $x_1<x_2$, $f'(x_1)=f'(x_2)=0$. Теперь применим
эту же теорему к отрезку $[x_1;x_2]$ и функции $f'(x)$ и всё
получим.

Я так понимаю, что и у этой теоремы есть аналогичный конструктивный
аналог, только без аналогичного простого доказательства, даже при
условии уже доказанного конструктивного аналога теоремы 1 (точки
$x_1$ и $x_2$ могут оказаться сколь угодно близко друг к другу,
поэтому близость к нулю $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$ ничего не даёт).

Теперь применение теоремы 2 для оценки погрешности численного интегрирования методом трапеций.

Теорема. Пусть $f(x)$ дважды дифференцируема на $[a;b]$,
$|f''(x)|\leq C$, $n\in\mathbb{N}$, $h=(b-a)/n$. Тогда

$$ \left|\int_a^b f(x)dx-h\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(a+i(b-a)/n) \right)\right|\leq \frac{Ch^2}{12} $$

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что для любого $x$

$$ \left|\int_x^{x+h}f(t)dt-\frac{h(f(x)+f(x+h))}{2}\right|\leq\frac{Ch^3}{12} $$

Вычтя из $f$ линейную функцию, получим такую функцию $g$, что
$g(x)=g(x+h)=0$. Очевидно, что записанное выше неравенство для $f$
эквивалентно аналогичному для $g$. Для доказательства этого
неравенства для $g$ достаточно доказать, что для любого
$t\in[0;h]$

$$ |g(x+t)|\leq \frac{Ct(h-t)}{2}. $$

От противного (конструктивисты содрогнулись). Пусть для $t$ оно
неверно, тогда вычтем из $g$ параболу, проходящую через $(x;0)$,
$(x+t;g(x+t))$, $(x+h;0)$ и применим к получившейся функции
теорему 2. Поскольку у параболы вторая производная во всех точках
будет больше $C$, получим противоречие.

Здесь можно применить и конструктивный аналог теоремы 2, но, как мы видим, её доказательство скорее всего будет значительно сложнее.

[Nxx]

Цитата:

Впрочем, переформулирую вопрос. Почему происходит редукция волнового состояния?

Некоторые интерпретации считают, что она вообще не происходит.

Цитата:

Завтра у меня будет нулевой урок (причина), следовательно, поэтому сегодня я ложусь спать раньше (следствие).

Причина - твое знание о том, что будет нулевой урок. Если сам урок отменят, все равно ты уже лег пораньше. Следовательно, сам урок не является причиной твоего поведения.

[AD]

То есть диагноз: Nxx успешно разжёг холивар между классиками и конструктивистами.

А можно я воспользуюсь случаем и спрошу один вопросик. А вот вариационное исчисление и прочее оптимальное управление в конструктивизме есть? Там ведь
а) основной инструмент - теорема о существовании множителей Лагранжа - как-то не очень она конструктивна imho ...
б) доказательство существования решения и его поиск оказываются совершенно независимыми задачами (то есть часто бывают так, что сначала доказывают, что "если решение есть, то это оно", а потом всю жизнь доказывают, что решение есть - нередко с помощью теоремы о том, что непрерывная функция на компакте достигает чего-то-там).

[Nxx]

маткиб, в конструктивном анализе есть обе вышеприведенные теоремы, если на функцию и ее производные наложить условие локальной нетождественности нулю.

То есть, если для любого x в [a,b] и любого натурального числа m существует число y такое, что |y-x|<m и f(y)>0.

Если этому условию удовлетворяет функция и ее первая и вторая производные, то все вышеприведенные теоремы работают. Доказываются точно также (только случай с тождественным нулем выбрасывается, так как нужно, чтобы у функции был максимум). То есть, Теорема 1 выглядит также, но начинается "если функция локально не тождественна нулю..."). Таким образом, классические теоремы уже включают в себя доказательство конструктивного случая.

[epros]

Droog_Andrey писал(а):

epros писал(а):

Что такое "действительное" существование причинности?

Возможность соответствующего преобразования информации. В нашем случае это доказуемость

Т.е. если в "правильной" теории из предположения $A$ выводимо $B$, то можно считать, что $A$ "действительно" является причиной $B$?

Droog_Andrey писал(а):

epros писал(а):

Если Вы помните, речь была об истинном высказывании, из которого следуют все истинные высказывания.

Импликация всех истинных высказываний действительно верна. Но это вовсе не означает, что мы сможем, опираясь лишь на простоту числа 2, доказать все истинные утверждения, верно ведь?

Что значит "импликация всех истинных высказываний"? В Вашей аксиоматике есть закон $isPrime(2) \to P$, где $P$ - некое высказывание? Если есть, то "означает": Вы можете из простоты числа 2 доказать данное высказывание. Если такой закон Вам неизвестен, то не можете.

маткиб писал(а):

epros в сообщении #185840 писал(а):

Это ещё зачем?

Чтобы было, о чём говорить.

Не вижу смысла говорить о моих знаниях (или о пробелах в них, коих, конечно же, немало).

маткиб писал(а):

epros в сообщении #185840 писал(а):

Вполне очевидно, что если существование этого "настоящего" решения доказано неконстуктивными методами, то реально решения в Вашем распоряжении нет, а стало быть и разности этой нет.

Не очевидно.

Если есть возможность получить конкретное решение, то это можно сделать конструктивными методами. Т.е. если Вы продемонстрируете конкретное решение, про которое конструктивисты до сих пор не знали, то они будут вынуждены расширить свои методы. Такова уж суть конструктивного подхода. Вот только новые конкретные решения как правило не предъявляются, а вместо этого мы получаем заявления об их "существовании".

маткиб писал(а):

То, что даже если и есть принципиально неразрешимые утверждения, то нельзя называть такими те, которые независимы с какой-то конкретной аксиоматикой.

А я не называю и никогда не называл. Например, проблема существования максимального совершенного числа: Я не знаю, разрешима ли она в аксиоматике Пеано. И я не знаю, расзрешима ли она в мета(1)-расширении аксиоматики Пеано. И я не знаю, разрешима ли она в мета(омега)-расширении аксиоматики Пеано. И есть ещё куча всяких "я не знаю" относительно этой проблемы. Имею я право предположить, что эта проблема никогда не будет решена в аксиоматике Пеано? А то, что она никогда не будет решена в мета(1)-расширении аксиоматики Пеано? А то, что она никогда не будет решена в мета(омега)-расширении аксиоматики Пеано?

Естественно, что в какой-то аксиоматике эта проблема будет "решена". Для этого, например, достаточно просто добавить аксиому, что "максимальное совершенное число существует". И всё - идите, доказывайте, что получилось противоречие, а пока не доказали, мы будем так считать. Но совершенно не факт, что я должен принять такую аксиоматику.

маткиб писал(а):

Т.е. каждой формуле в принципе можно сопоставить одно из 3 значений - "истинно", "ложно" и "неразрешимо"

А вот и нет, этого тоже недостаточно. Значение "неразрешимо" подразумевает, что мы способны доказать, что данная проблема неразрешима, а это не всегда так. Т.е. нам придётся добавить ещё одно "логическое значение": "вопрос разрешимости неразрешим". На этот счёт есть теорема (классическая) о том, что значений истинности в конструктивной логике - счётная бесконечность.

маткиб писал(а):

...читающий формулу должен хотя бы приблизительно представлять, что это значит, и эта информация не содержится в самой формуле (формула - это строка символов, в ней кроме этих символов больше никакой информации нет). Например, если я говорю

$$ (\forall x)(\forall y)(\exists z)(z=x+y), $$

то Вы должны понимать, что переменные под кванторами пробегают "строки из вертикальных палочек", "=" означает равно, а + означает "+", и этой информации в самой строке нет. Я не представляю, как можно формально объяснить человеку, что такое "+". Обычно человек понимает это с нескольких показанных примеров с яблоками или камушками (хотя гарантии понимания нет).

Конечно же это всё правильно: чтобы понимать "смысл" формулы, нужно привлечь знания, которых в самой формуле нет. Но речь была не об этом, а о том, что понятие "высказывания" определяется синтаксисом соответствующего языка. Причём это может быть сделано вполне формально. Например, приведённый Вами пример можно однозначно интерпретировать как высказывательную формулу без свободных переменных в языке логики первого порядка + арифметики. Это можно объяснить не только человеку, но даже компьютеру (написать программу распознавания).

маткиб писал(а):

epros в сообщении #185840 писал(а):

Определял истинное высказывание, из которого следуют все истинные высказывания.

А оно есть?

Там же я и продемонстрировал, что это понятие противоречиво (в смысле классической логики), т.е. "его нет". Так же, как нет и "множества всех множеств", которое придумал Кантор.

маткиб писал(а):

Да не будут все никогда уверены. Многие не уверены даже, что к каждому натуральному числу единицу можно прибавить (наверно, это ультраконструктивисты ).

Это когда Вы человеку предъявляете абстрактную формулировку. А если спросить, можно ли к строке чёрточек добавить чёрточку, то, по-моему, практически любому можно объяснить, что помешать этому могут только ограничения в бумаге или чернилах.

маткиб писал(а):

Абстракции классической математики (по крайней мере, ZFC) тоже достаточно просты и принимаются обычно даже "не избранными" (за исключением 1% конструктивистов).

Наверное, большинство людей можно убедить в чём угодно, даже в том, что все кошки серые (особенно если в течение года ежедневно предъявлять ему по серой кошке). Но если человек настроен критически, то я не понимаю, каким образом для него можно придумать убедительное обоснование, например, того, что все строки чёрточек можно собрать в единую совокупность.

маткиб писал(а):

Под арифметикой Пеано обычно подразумевают теорию с аксиомами арифметики, основанную на классической логике первого порядка.

Ничто не мешает нам понимать под арифметикой Пеано теорию с аксиомами арифметики, основанную на конструктивной логике первого порядка. Если хотите, можете называть это "конструктивной арифметикой Пеано".

маткиб писал(а):

Кванторы по натуральным числам - это уже актуальная бесконечность.

Это почему? Это просто формула в языке. А если Вы спросите, откуда такие формулы взялись в аксиоматике, то на это есть простой ответ: Это формализация общеочевидного свойства строк чёрточек. Например:
$\forall n \in \mathbb{N} ((n+1) \in \mathbb{N})$ (здесь "$\in \mathbb{N}$" понимается не в теоретико-множественном смысле, а просто как форма записи предиката "является натуральным числом").

- это формализация общеочевидного факта, что если к строке чёрточек добавить чёрточку, то получится строка чёрточек.

маткиб писал(а):

А если ещё и индукцию применять по формулам с такими кванторами - так это тем более.

А в чём проблема с индукцией? Она определяется мета-теоретической аксиомой, которая говорит о "всех формулах арифметики". При этом, естественно, совершенно неважно, какие кванторы стоят в самой соответствующей "формуле арифметики".

маткиб писал(а):

Кстати, вроже если даже оставить интуиционистскую логику, то те же проблемы остаются.

А именно?

маткиб, относительно Вашего примера из следующего письма я попозже посмотрю.

[маткиб]

Nxx в сообщении #186026 писал(а):

маткиб, в конструктивном анализе есть обе вышеприведенные теоремы, если на функцию и ее производные наложить условие локальной нетождественности нулю.
...
Доказываются точно также

А существование максимума у функции на отрезке каким же образом доказывается?

Добавлено спустя 30 минут 50 секунд:

epros в сообщении #186031 писал(а):

Если есть возможность получить конкретное решение, то это можно сделать конструктивными методами.

Доказательство?

epros в сообщении #186031 писал(а):

Т.е. если Вы продемонстрируете конкретное решение, про которое конструктивисты до сих пор не знали, то они будут вынуждены расширить свои методы.

Это замечательно. Только следят ли конструктивисты за теми методами, используемыми в науке, которыми получаются конкретные решения? По-моему, не следят, потому что им итак очевидно, что конструктивные методы работают всегда не хуже классических (когда речь идёт о конкретных решениях). Да и к аргументам о неудобности и увеличении объёма выкладок неохотно прислушиваются.

epros в сообщении #186031 писал(а):

Конечно же это всё правильно: чтобы понимать "смысл" формулы, нужно привлечь знания, которых в самой формуле нет. Но речь была не об этом, а о том, что понятие "высказывания" определяется синтаксисом соответствующего языка. Причём это может быть сделано вполне формально.

А что Вы тогда сказать хотели про эти "все высказывания"? Ну пусть у нас есть какое-то подмножество строк символов, которое мы называем "корректными высказываниями". В чём Вы тогда противоречие там углядели? Даже существование решателя таких высказываний ничему не противоречит (на физику пока кладём).

epros в сообщении #186031 писал(а):

Там же я и продемонстрировал, что это понятие противоречиво (в смысле классической логики), т.е. "его нет". Так же, как и нет "множества всех множеств", которое придумал Кантор.

И зачем Вы это продемонстрировали? Оно что-то показывает?

epros в сообщении #186031 писал(а):

Это когда Вы человеку предъявляете абстрактную формулировку. А если спросить, можно ли к строке чёрточек добавить чёрточку, то, по-моему, практически любому можно объяснить, что помешать этому могут только ограничения в бумаге или чернилах.

Это далеко не любому можно объяснить. Классический контраргумент: в нашей вселенной далеко не любое количество чёрточек на бумаге можно нарисовать (обратное не доказано). Слишком большой кусок бумаги, например, в чёрную дыру может преобразоваться

epros в сообщении #186031 писал(а):

А в чём проблема с индукцией? Она определяется мета-теоретической аксиомой, которая говорит о "всех формулах арифметики". При этом, естественно, совершенно неважно, какие кванторы стоят в самой соответствующей "формуле арифметики".

Проблема в том, откуда она взялась. Например, пусть $P(n)$ выражает свойство "уравнение $x^{n+3}+y^{n+3}=z^{n+3}$ не имеет решений в натуральных числах". И если бы я был конструктивистом, то аксиома

$$ P(0)\&(\forall n)(P(n)\rightarrow P(n+1))\rightarrow (\forall n)P(n) $$

была бы для меня далеко не очевидна. Например, $P(n)\rightarrow P(n+1)$ может быть разрешимым и истинным для каждого конкретного $n$, но для его разрешения к каждому $n$ нужен индивидуальный (творческий) подход. Тогда не факт, что $(\forall n)P(n)$ будет разрешима.

[Nxx]

Полностью курс конструктивного анализа можно скачать тут:
http://www.krelib.com/files/math/Analis_Kush.djvu