Существует ли биекция между вычислимыми числами и нат.?

[Nxx]

Цитата:

В терминах машины Тьюринга!
Реальный мир никому ничем не обязан мерить вычисления в тактах машины Тьюринга.
Да и не уметь производить "бесконечное количество вычислений" за конечное время он никому не обязан.

Скажите, почему по-вашему, теория должна исходить из предположения, что в мире есть волшебная палочка? Даже если существование волшебной палочки - вопрос физический, почему нужно предполагать существование объекта, который не укладывается ни в одну физическую теорию?

[Droog_Andrey]

Nxx писал(а):

Скажите, почему по-вашему, теория должна исходить из предположения, что в мире есть волшебная палочка?

Теория никому ничего не должна.

Человек вправе строить любые теории и пользоваться ими на своё усмотрение. При желании практически в любой теории можно найти косяки, но ведь точно также можно и полезные вещи найти

Главное - помнить, что любая теория - лишь средство познания.

[маткиб]

Nxx в сообщении #185700 писал(а):

Скажите, почему по-вашему, теория должна исходить из предположения, что в мире есть волшебная палочка?

А что такое волшебная палочка?

Nxx в сообщении #185700 писал(а):

Даже если существование волшебной палочки - вопрос физический, почему нужно предполагать существование объекта, который не укладывается ни в одну физическую теорию?

Не предполагать, а допускать такую возможность и не утверждать "этого не может быть, потому что не может быть никогда".

Про укладывание в физические теории ещё раз повторюсь:

маткиб в сообщении #185670 писал(а):

3) Даже, если единая теория и будет построена, то очень вероятно, что она является всего лишь грубым приближением более точной и более общей теории (которая может и допускать то, что недопустимо в известной теории).

Обращаю внимание на "очень вероятно"

[epros]

маткиб писал(а):

Но классическая математика на практике работает, Вы ведь не будете этого отрицать?

Не буду.

маткиб писал(а):

И работает лучше, чем конструктивизм!

А вот это - буду. Применимость на практике (там, где она применима) у неё не лучше конструктивизма, при этом в остальном она склонна к погрязанию в бессмысленных построениях.

маткиб писал(а):

Если уж взялись формализовывать, то формализуйте сначала, что такое "все вопросы", а то как-то нехорошо получается.

Вопрос - это то же самое, что высказывание, но только с вопросительным знаком в конце.
Ещё можете вначале добавить фразу: "Верно ли, что ..."

А "все" имеется в виду в любом удобном Вам смысле (в сколь угодно широком).

маткиб писал(а):

epros в сообщении #185677 писал(а):

О! Осталось совсем немного до того, чтобы признать, что значения истинности для высказываний тоже не находятся в каком-то существующем независимо от нашего знания "банке сущностей".

С этим никто и не спорит.

Теперь бы ещё понять, откуда классические математики его берут. Я привык брать из принятых мной теорий, но говорят, что это "доказуемость" и как таковая на роль "истинности" она не подходит (ибо не всегда удовлетворяет закону исключённого третьего и т.п.).

маткиб писал(а):

При предъявлении конкретного класса задач я представляю себе вымышленного решателя, который эти задачи решает (это, кстати, не значит, что эти задачи решаемы человеком). Это просто абстракция, которая, к счастью, даёт неплохие практические результаты!

Абстракция или не абстракция, а вот скажите: Если Вы так поступите заведомо для любого предъявленного класса задач, то можно ли сказать, что с Вашей точки зрения любая задача заведомо решаема?

маткиб писал(а):

потому что не понятно, что такое "все задачи"

Установление истинности или ложности любых возможных высказываний (в каких угодно синтаксисах).

маткиб писал(а):

и что подразумевать под решаемостью

Существование значения истинности (в любом месте, включая воображаемые).

Droog_Andrey писал(а):

Этот "парадокс" (как и многеи другие) есть следствие подмены причинности импликативностью.

Во-первых, это не парадокс, а обоснование противоречивости понятия. В классической логике противоречивость является доказательством того, что такого объекта не существует.

Во-вторых, в логике причинность выражается именно импликативностью. Потому что наличие импликации позволяет выполнить формальный вывод из доказанного утверждения (по правилу modus ponens).

[Droog_Andrey]

epros писал(а):

Во-первых, это не парадокс, а обоснование противоречивости понятия. В классической логике противоречивость является доказательством того, что такого объекта не существует.

Во-вторых, в логике причинность выражается именно импликативностью. Потому что наличие импликации позволяет выполнить формальный вывод из доказанного утверждения (по правилу modus ponens).

В первом абзаце следует дописать "в логике".

Парадокс возникает при попытке перенести рассуждения из формальной логики в реальный мир. Например, утверждение "если 2 - простое число, то 15 делится на 3" логически верно, однако не отражает причинности.

[маткиб]

epros в сообщении #185708 писал(а):

А вот это - буду. Применимость на практике (там, где она применима) у неё не лучше конструктивизма, при этом в остальном она склонна к погрязанию в бессмысленных построениях.

То есть Вы отказываетесь признавать, что, например в примере про радиоантенну Вы задолбаетесь обосновывать корректность численных методов конструктивным анализом? Тогда хотя бы обоснуйте как-то это дело...

epros в сообщении #185708 писал(а):

Вопрос - это то же самое, что высказывание, но только с вопросительным знаком в конце.

Ещё можете вначале добавить фразу: "Верно ли, что ..."

А "все" имеется в виду в любом удобном Вам смысле (в сколь угодно широком).

Что такое высказывание? "Сколь угодно широком" я не понимаю. Зафиксируйте какой-нибудь уровень широкости (который Вы будете называть "сколь угодно широким"). Болтологические ответы на такие вопросы не устраивают.

epros в сообщении #185708 писал(а):

Теперь бы ещё понять, откуда классические математики его берут.

Из интуиции и опытного подтверждения следствий.

epros в сообщении #185708 писал(а):

Абстракция или не абстракция, а вот скажите: Если Вы так поступите заведомо для любого предъявленного класса задач, то можно ли сказать, что с Вашей точки зрения любая задача заведомо решаема?

Вопрос о формализации, что такое "любая задача", пока открыт.

epros в сообщении #185708 писал(а):

Установление истинности или ложности любых возможных высказываний (в каких угодно синтаксисах).

Я уже писал, что кроме синтаксиса должна быть интерпретация. Что такое "любая интерпретация", я не понимаю (потому что интерпретация - вымышленная сущность, которые можно фантазировать безо всяких ограничений). Уточните, тогда буду понимать.

[epros]

Droog_Andrey писал(а):

Например, утверждение "если 2 - простое число, то 15 делится на 3" логически верно, однако не отражает причинности.

Что значит "не отражает причинности"? Если Вы знаете, что
1) "2 - простое число"
и что
2) "если 2 - простое число, то 15 делится на 3",
то Вы отсюда можете логически сделать вывод, что
3) "15 делится на 3".

Именно в этом смысле 1 является "причиной" (или "предпосылкой"), а 3 - "следствием".
Естественно, если 3 Вам заранее известно (а 2 - наоборот неизвестно), то Вы находитесь в совсем другой ситуации.

[Droog_Andrey]

epros, Вы описали логический вывод, т.е. импликацию. Причинности же утверждение "2)" не отражает, т.е. в том, что 2 - простое число, не содержится информации о том, что 15 делится на 3. В то же самое время причинность в Вашем примере есть, а именно: утверждения "1)" и "2)" являются причиной следствия "3)". Однако эта причинность заложена Вами же с помощью предположения "Если Вы знаете...".

Не нужно пытаться понятие причины втиснуть в рамки формальной математической логики, ибо в последней отсутствует понятие информации

Всему своё место, как говорится. Импликации есть место в формальной логике, причинности - нет.

[Nxx]

Цитата:

Не предполагать, а допускать такую возможность и не утверждать "этого не может быть, потому что не может быть никогда".

Теория может допускать любую возможность, но какой смысл в теории, которая допускает существование объектов, существование которых противоречит эксперименту? Чем такая теория лучше теории розовых ангелочков? К реальному миру она не имеет никакого отношения.

[Droog_Andrey]

Nxx писал(а):

Теория может допускать любую возможность, но какой смысл в теории, которая допускает существование объектов, существование которых противоречит эксперименту? Чем такая теория лучше теории розовых ангелочков? К реальному миру она не имеет никакого отношения.

Из посылки "теория допускает существование нереальных объектов" не следует утверждение "теория не имеет к реальному миру никакого отношения".

Вот если бы теория допускала существование только лишь нереальных объектов, тогда - может быть...

[Nxx]

Цитата:

Не нужно пытаться понятие причины втиснуть в рамки формальной математической логики, ибо в последней отсутствует понятие информации

Кстати, интересный вопрос, что такое причинность. Как бы вы на него ответили? Причинность - понятие математическое или физическое? Может ли вообще быть причинность в математике?

Добавлено спустя 2 минуты 27 секунд:

Droog_Andrey писал(а):

Из посылки "теория допускает существование нереальных объектов" не следует утверждение "теория не имеет к реальному миру никакого отношения".

Вот если бы теория допускала существование только лишь нереальных объектов, тогда - может быть...

Тем не менее, предсказания теории, заведомо противоречащей эксперименту, довольно подозрительны.

[Droog_Andrey]

Nxx писал(а):

Кстати, интересный вопрос, что такое причинность. Как бы вы на него ответили? Причинность - понятие математическое или физическое? Может ли вообще быть причинность в математике?

Если рассматривать физику как науку о материи и материальных объектах, а математику - как науку об информации и информационных объектах, то причинность - понятие математическое и представляет собой преобразование информации.

Хорошей аналогией может служить оператор любого преобразования: он связывает образ и прообраз (следствие и причину). Только с абстрактными информационными объектами интереснее. Но пока без какой-либо теории. Все, увы, зациклились на шенноновской теории связи.

Хотя, возможно, ситуация изменится в будущем, и народ начнёт изучать информацию вне привязки к её носителям либо к процессам её передачи. Научились ведь когда-то думать о числе "два", не видя перед собой два банана.

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Nxx писал(а):

Тем не менее, предсказания теории, заведомо противоречащей эксперименту, довольно подозрительны.

А это уже вопрос правдоподобности

http://www.primefan.ru/stuff/books/polya.djvu - вот, в детстве прочитал взахлёб, отличная книга

[маткиб]

Nxx в сообщении #185719 писал(а):

Теория может допускать любую возможность, но какой смысл в теории, которая допускает существование объектов, существование которых противоречит эксперименту?

И чем же существование сверхтьюринговых вычислительных устройств противоречит эксперименту?

[Droog_Andrey]

маткиб писал(а):

И чем же существование сверхтьюринговых вычислительных устройств противоречит эксперименту?

Ну, например, тем, что на устройство с температурой $T$ и энтропией $S$ наложено физическое ограничение в $\frac{TS}{\hbar}$ по "трафику"

[epros]

маткиб писал(а):

То есть Вы отказываетесь признавать, что, например в примере про радиоантенну Вы задолбаетесь обосновывать корректность численных методов конструктивным анализом? Тогда хотя бы обоснуйте как-то это дело...

Отказываюсь. Лучше уж Вы обоснуйте, что у конструктивного анализа будут какие-то проблемы сравнительно с отсутствием таковых у классической математики. Я никаких особых проблем не вижу.

маткиб писал(а):

Что такое высказывание?

Определяется выбранным Вами синтаксисом.

маткиб писал(а):

"Сколь угодно широком" я не понимаю. Зафиксируйте какой-нибудь уровень широкости (который Вы будете называть "сколь угодно широким"). Болтологические ответы на такие вопросы не устраивают.

Это значит, что любой предложенный Вами уровень меня устроит.

маткиб писал(а):

epros в сообщении #185708 писал(а):

Теперь бы ещё понять, откуда классические математики его берут.

Из интуиции и опытного подтверждения следствий.

По-моему, интуиция и опытные подтверждения - это полная фигня. Интуиция с моей точки зрения приобретается с опытом (порой неудачным), поэтому часто подводит. А опыт сам по себе:
1. Весьма ограничен, т.е. конечное количество доступных нам фактов никогда не могут в полной мере подтвердить даже самую простенькую теорию (остаётся куча непроверенных выводов).
2. Критически зависим от интерпретации, вплоть до того, что большинство фактов можно трактовать как в поддержку теории, так и против неё.
3. С учётом того, что все теории имеют ограниченные сферы применения, те или иные факты могут весьма произвольно трактоваться как относящиеся к её сфере применения или не относящиеся.
4. И наконец, что имеет непосредственное отношение к заданному вопросу: Когда речь идёт о сложной проблеме, решение которой неизвестно, то с вероятностью 99.99% опытным путём её разрешить также не удастся (по крайней мере в обозримом будущем).

Я, конечно, не отрицаю интуицию и опыт полностью, но основывать на них одних ВСЁ наше теоретическое знание... По-моему это нонсенс.

маткиб писал(а):

Я уже писал, что кроме синтаксиса должна быть интерпретация. Что такое "любая интерпретация", я не понимаю (потому что интерпретация - вымышленная сущность, которые можно фантазировать безо всяких ограничений). Уточните, тогда буду понимать.

Эта сущность настолько вымышленная, что я вообще не понимаю, о чём Вы говорите. Я исхожу из того, что высказывание должно содержать в себе всё необходимое для его однозначной "интерпретации". Если Вы полагаете, что такого быть не может (а это вполне разумная точка зрения), то значит нам с Вами остаётся только согласиться на том, что никакое теоретическое знание невозможно, ибо любое теоретическое утверждение можно "интерпретировать" как угодно, вплоть до прямо противоположных смыслов.

Добавлено спустя 10 минут 40 секунд:

Droog_Andrey писал(а):

epros, Вы описали логический вывод, т.е. импликацию. Причинности же утверждение "2)" не отражает, т.е. в том, что 2 - простое число, не содержится информации о том, что 15 делится на 3. В то же самое время причинность в Вашем примере есть, а именно: утверждения "1)" и "2)" являются причиной следствия "3)". Однако эта причинность заложена Вами же с помощью предположения "Если Вы знаете...".

Я не понимаю Ваших претензий. "Информация о том, что..." содержится в самой импликации. Чего ещё-то Вы хотите? Если в Вашем багаже знаний имеется несколько утверждений, имеющих форму импликации, то именно они определяют соответствующие причинно-следственные связи. Естественно, если в Вашем багаже знаний такой импликации нет, то нет и причинно-следственной связи между 1 и 3.