Что есть "настоящая" математика?

[Ende]

ozheredov в сообщении #1731253 писал(а):

Однако опыт показывает, что "Магические квадраты" и "Пентадекатлоны мечты" вырастают до пятиста страниц, тогда как обсуждения достойных Вас задач обычно не набирают и десяти. Совесть есть у единиц (мнимых).

ozheredov
Я не буду спрашивать, какое отношение совесть имеет к тому, какие темы люди предпочитают обсуждать на форуме бесплатно в свое личное время (а не работать над ними в институтах за, уж какие ни есть, государственные деньги). Ответ на него оставляю на Вашей совести. Я спрошу другое: Вы утверждаете отсутствие совести у топикстартеров и участников тем «Магические квадраты» и «Пентадекатлон мечты»? Я правильно понял?

В таком случае у Вас есть выбор: либо публично, здесь, перед ними извиниться (можно перед всеми сразу, не перечисляя по никам), либо отправиться в месячный бан.

Ну и в целом пожелаю Вам помнить о простом принципе: хорошо говорить что думаешь, но еще лучше думать, что говоришь.

[Утундрий]

Booker48 в сообщении #1731084 писал(а):

Меня в своё время поражали высказывания, допустим, композиторов о других композиторах (Глинка о Листе, Денисов о Шостаковиче, Чайковский о Мусоргском и т.п., даже цитировать не буду). Но восприятие музыки всё же сильно индивидуально, хотя бы и у великих музыкантов.
Но математика!

Ой, умоляю... Кстати, на юТьюбе я как-то сматривал воспоминания о коллегах И. Р. Шафаревича. Игорь Ростиславович там уже совсем плох и потому не щадит никого. Точную ссылку не дам, но при случае советую ознакомиться. Довольно выпуклая там композиция вырисовывается.

[vpb]

Вот несколько мыслей.

0) Не совсем понятно, что понимать под математикой. Или это некая статичная совокупность знаний; или некоторый сегмент науки, а точнее человеческой деятельности, совокупность решаемых задач, людей, которые эти задачи решают, и их коммуникаций
(текстов, разговоров, семинаров и т.д.); или занятия отдельного человека, который вдруг задумался, "а в чем смысл моих занятий ?". Но будем считать, что как-то этот вопрос поставлен. Некоторые характеристики настоящей математики (или, наоборот, ненастоящей) написал ниже, исключительно по моему личному мнению.

1) Общественная полезность. Та, что настоящая --- полезна. Или для материальной деятельности непосредственно, или для другой математики, которая полезна для третьей, и т.д., а конец этой цепочки опять же в материальной деятельности. При этом цепочка может быть достаточно длинная. Т.е., применимость какой-то математики во многих других местах математики --- это и есть проявление ее полезности. Не следует понимать полезность чересчур узко, исключительно как непосредственную полезность для сельского хозяйства.

Конечно, так просто непосредственно оценить "на глаз" полезность чего-то трудно. Надо уже иметь какие-то знания в соответствующей части математики. И в других тоже. Но иногда все-таки можно с достаточной (не абсолютной) уверенностью
сказать, полезно оно или бесполезно.

П.Б.Медавар в книжке "Советы молодому ученому" выразился так: "Занимайтесь задачами, которые имеют достаточный научный или общественный резонанс". По сути, это тоже про полезность. Те же яйца, вид сбоку.

2) Как ни банально, но нетривиальность, интеллектуальная трудность ! Или отсутствие таковой. Что трудно, то настоящая математика, что слишком просто, то просто видимость.

Описать, что такое трудность задачи, трудновато. Во всяком случае, не следует путать трудность результата и длину статьи, в которой он устанавливается. Они между собой как-то коррелируют, но не очень. Может быть, что статья длинная, многоходовая, но ход решения задачи достаточно очевиден с самого начала, и все ходы, этапы рассуждений, стандартные. В таком случае сказать, что это трудная статья, трудно. А может быть наоборот, что статья не такая уж длинная, но решение совершенно неочевидное, и путь мысли, пройденный автором, подобен броуновскому движению, т.е. на самом деле очень длинный.

3) Мотивация. Если человек чем-то занимается исключительно для денег, пункта в списке публикаций, защиты диссера и т.д. --- это не настоящая математика. Или не исключительно для денег, но близко к тому.

Тут есть два варианта. В первом варианте, жестком, люди удлиняют свой список публикаций всеми возможными способами, которых много. При этом могут публиковаться очень простые результаты, или одно и то же в нескольких местах, или работа может повторять предыдущую с самыми минимальными изменениями, без всяких новых идей (фактически автоплагиат), и т.д. Тут самое главное
желание --- чтоб была статья. И тут могут идти в ход чисто социальные моменты, типа "ты напишешь мне положительную рецензию, а я тебе", и многие еще более неаппетитные вещи.

Второй вариант более мягкий, там люди стараются соблюдать определенную честность. Например, ставят себе некоторый нижний предел того, что можно подать в журнал. При этом сначала имеется какая-то задача, не совсем уж тривиальная, и человек старается ее честно решать. (А не голое желание сляпать статью). Но только вот эта задача может быть на самом деле никому не нужная, и такое занятие наукой --- это просто соревнование, а кто умнее. И в этом есть определенная польза, потому что тогда, если людей отбирают на преподавательские позиции по числу статей, то преимущество имеют более способные, значит, они наверное и студентов будут лучше учить. Но сам по себе результат "научной работы" таких людей для человечества бесполезен.

Есть и другие варианты мотивации, более высокие. Один из них - что человек может желать принести пользу человечеству. Второй вариант --- что ему интересна именно математика, а не возможные материальные выгоды от занятий ей.

Таким образом, третья черта настоящей математики --- некоторая альтруистичность.

4) Еще, настоящая математика интересна, богата интеллектуальным содержанием. Иногда даже может восприниматься как детектив, бывало такое. Человек становится увлечен, приподнят, испытывает субъективно переживаемое ощущение интересности. На языке нейротрансмиттеров тут можно сказать про выброс дофамина, на языке психологии --- про "пиковые переживания", по Маслоу.

Но, следует иметь в виду, что эти качества, интересность и содержательность, тоже ситуативные и относительные. То есть интересно в сравнении с чем, и в какой ситуации.


Вот, основные мысли такие. Теперь дополнительные.

1) Про "исконный русский консерватизьм". Я считаю, что географический признак, т.е. страна происхождения той или иной задачи или области математики, к тому, что есть настоящая математика, а что нет, не имеет никакого отношения.

В конце концов, почти вся современная математика пришла с Запада, так или иначе. Просто потому, что бОльшая часть математики и математиков физически расположена на Западе. А математика интернациональна, поэтому отделить западное от нашего невозможно. Наши математики решали задачи и делали открытия, но всё это в рамках концепций западного происхождения. По другому не могло быть просто физически. (Не могу не упомянуть, просто к слову, чтоб меня не подозревали в низкопоклонстве, выдающееся открытие русского математика, таки не имеющее ну вообще никаких западных корней, как-то: алгоритм Карацубы. И еще, когомологии групп Фаддеев открыл, а обобщенные функции Соболев. Опять же Лобачевский и Чебышев, но не будем отклоняться).

Поэтому всякие мысли типа "нам надо развивать свою, суверенную математику, со своими концепциями и задачами" --- нелепы. Мысли типа "нам надо ориентироваться на западную математику, как наиболее передовую" --- такая же дичь. Не надо ни на что "ориентироваться". Надо делать то, что нужно, не обращая внимания ни на какую географию (при этом окажется, конечно, что наша
математика будет в основном "западная"). А ориентация на кого-то возникает, когда нет понимания того, что на самом деле нужно, когда не видно смысла того, что делаешь.

(Что-то я устал. Допишу завтра.)

[Mental]

Утундрий в сообщении #1731348 писал(а):

Кстати, на юТьюбе я как-то сматривал воспоминания о коллегах И. Р. Шафаревича.

Посмотрел его биографию в википедии. Очень познавательно.

-- добавлено через 2 минуты --

Ничего не боялся человек. Такими и должны быть моральные устои у настоящих математиков.

[vpb]

2) Еще, думается вот что. Выражение "настоящая математика" можно понимать в двух разных смыслах. Либо (а) высококлассная математика, сложная, актуальная, современная; про которую можно сказать "Да, вот это настоящая математика !", или (б) от противного: настоящая --- то есть не фальшивая (а такой (фальшивой) я тут в провинции, где живу, повидал, увы...). Первое есть понимание в узком, сильном смысле, второе --- в широком, слабом. Если понимать в слабом смысле, то настоящая математика --- это и есть математика, произведенная людьми честными (именно в отношении математики; в отношении других людей, в т.ч. математиков, они могут быть не всегда честны, скажем могут хитро спереть чужую работу и т.д.), а ненастоящая --- это вообще не математика, а просто какие-то тексты, издаля похожие на.

И было бы неправильно применять выражение "настоящая математика" только в узком смысле. Потому что если человек занимается вещами не слишком сложными, но достаточно для него сложными, с интересом и увлечением, и мысли "а что с этого я положу себе в карман ?" у него не на первом плане, то говорить ему "ты занимаешься не настоящей математикой" --- несправедливо и обидно.

2а) И в этой связи про пентадекатлонистов. Конечно, люди занимаются честно, и довольно увлеченно, и достаточно бескорыстно. То есть, настоящей математикой в слабом смысле. Да, довольно слабом. В чем польза этих занятий --- непонятно. В развитии их голов, думается, основная польза. Может, когда-нибудь и для чего-то более серьёзного им приобретенный опыт и знания пригодятся. Но, хотя польза их занятий сомнительна, чересчур радикальных выводов об ихнем (и людского рода вообще) моральном облике делать не стоит.

В отношении нравственности их занятия находятся в нейтральном положении, по моей оценке. Пользы не видно, активным добром эти занятия не являются. Но и паразитизмом на обществе тоже. В конце концов, люди занимаются бесплатно и в свое личное время (будем надеяться, их собственной работе (общественно полезной) эти занятия не мешают). Извиняюсь за такое сравнение,

В.С.Высоцкий, песня про козла писал(а):

Пользы было от него, правда, как от козла молока.
Но вреда, однако ж, тоже никакого.

Возвращаясь к исходному вопросу темы. Пока что остановимся на том, что, как видим, есть разные оси координат для оценки того, какая математика настоящая.

[dsge]

Booker48 в сообщении #1731089 писал(а):

Почему "венгерская математика" - ну, как бы и не настоящая. Ведь, не в упрёк, безусловно, сказано, те математики, которые скептически о ней отзываются, не решили ни одной "задачи Эрдёша".

Как-то вы пропустили это:

dsge в сообщении #1728821 писал(а):

В математическом сообществе неоднозначное отношение к «венгерской математике» (комбинаторные манипуляции). Хотя это дело вкуса, предпочтений, наклонностей, типа мышления - алгебраический или геометрический.

К тому же, подавляющее большинство Филдсовских лауреатов не решили ни одной "задачи Эрдёша", и не собирались решать. Большинство из них, вероятно, совсем недавно узнали о существовании таких задач.

Booker48 в сообщении #1731089 писал(а):

Почему та математика, которой занимался Чебышёв с учениками - по мнению С.П. Новикова - провинциальна, а то, чем занимались условные Минковский и Пуанкаре - настоящая математика?

mathpath в сообщении #1731086 писал(а):

школа Чебышева (А.Н. Коркин, Е.И. Золотарев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов) была сильной именно в теории чисел, теории вероятностей и теории приближения функций. Эти задачи Чебышев ставил перед учениками и решал их блестяще.
Петербургская школа сознательно отгородилась от «западной» (в первую очередь немецкой) абстрактной алгебры и топологии. Чебышев считал, что заниматься теорией групп или неевклидовой геометрией — значит «уходить от реальных потребностей». В результате, пока в Гёттингене и Париже расцветала современная математическая физика и алгебра, ученики Чебышева оставались в рамках узкой, хоть и изящной, проблематики.

Все это условно, субъективно (участник форума, знакомый с С.П. Новиковым, писал, что у последнего была некоторая склонность к гипертрофии). Некоторые разделы математики, которые кому-то казались провинциальными и не современными, возраждаются через десятилетия и становятся мэйнстремом. И наоборот,то что было когда-то модным, позже забывается. В теории вероятностей Чебышев и его ученики известны своими предельными теоремами. Если не было бы Чебышева, не было Хинчина, не было Колмогорова, не было современной теории вероятностей и случайных процессов. До Колмогоровских аксиом существовали аксиомы Адамара, отличающиеся от Колмогоровских только тем, что вместо счетной аддитивности там была конечная аддитивность, не понятно было что делать с предельными теоремами в этой ситуации, конечная аддитивность не работала. Вклад Колмогорова только в этом, пазл сошелся, предельные теоремы замечательно вошли в рамку современной теории вероятностей. "Непровинциальный" Адамар был менее знаком с предельными теоремами и поэтому слава создателя основ теории вероятностей его обошла.

Полиномы Чебышева нашли применение в статистике, анализе и, особенно, в численных методах решения нелинейных уравнений. До недавнего времени они были основным универсальным базисом в проекционных методах. Сейчас всвязи с хайпом все пытаются использовать нейронные сети для решения любых задач, не зависимо эффективно это или нет, хотя, с другой стороны, уже появились нейронные сети, называемые сети с архитектурой Чебышева-Колмогорова-Арнольда.

mathpath в сообщении #1731086 писал(а):

В результате, пока в Гёттингене и Париже расцветала современная математическая физика и алгебра, ученики Чебышева оставались в рамках узкой, хоть и изящной, проблематики.

Работа Ляпунова по устойчивости дифуравнений была не замечена в Гёттингене и Париже в силу своего "провинциализма". Немцы и французы тогда искали замены переменных чтобы решить уравнения аналитически, в то время это казалось очень современным, полагая пусть в "провинции" изучают диффуры качественно. В старом справочнике по дифурам Камке можно обнаружить, что большинство немецких и французских фамилий математиков давно всеми забыты. В то время как теория и методы Ляпунова сейчас основная часть теории динамических систем и теории управления.

-- добавлено через 10 минут --

Anton_Peplov в сообщении #1731091 писал(а):

1. Всякий кулик свое болото хвалит. Какой математикой занимаешься вслед за своими учителями и учишь учеников, такая и есть более лучшая и подлинно настоящая.

Это правда, но имеет также национальный оттенок. Уже писал, что голосистые представители венгерской математики и физики раздули культ личности фон Неймана, французы Гротендика, немцы Гильберта, американцы Винера. Только русские топят друг друга. Понтрягин, будучи представителем СССР в математическом союзе, шантажировал последний выходом СССР из этого союза , если Арнольд получит Филдса. Сам Арнольд везде и всегда поддчеркивал, что он ученик Понтрягина. На этом фоне до этого премия Филдса была присуждена французу Лионсу, когда его папаша был президентом этого союза.
Сам Арнольд писал, что теории бифуркации цикла на Западе никто не знал, он их познакомил с ней на семинаре Тома, называя её бифуркацией Хопфа. Впоследствии он жалел об этом потому, что настоящее название этого объекта - бифуркация Андронова.

С другой стороны на Западе не наблюдались в математике фигуры масштаба Шафаревича и Перельмана со столь принципиальной гражданской позицией. Можно сравнить с позицией Лионса-старшего, один отказался от премии из-за своих морально-этических принципов, другой протащил своего отпрыска на ту же премию.

[mihaild]

(Оффтоп)

dsge в сообщении #1731684 писал(а):

Сам Арнольд писал, что теории бифуркации цикла на Западе никто не знал, он их познакомил с ней на семинаре Тома, называя её бифуркацией Хопфа

Смолянов писал(а):

У западных математиков есть традиция называть открытия именами своих учеников. И у русских математиков есть традиция называть свои открытия именами учеников западных математиков.

Но в целом подозреваю, что это больше просто красиво звучащая байка, чем реальный эффект.

[dsge]

Booker48 в сообщении #1731084 писал(а):

Чаплыгин запретил П.Урысону включать новую тогда общую теорию относительности в его аспирантский экзамен. Это наша специфическая русская черта - склонность к консерватизму, к отрыву от мировой науки.

Стоит напомнить, что в "передовой" немецкой науке теория относительности тоже открыто не приветствовалась многими где-то до середины 1945 г. С Чаплыгиным и с Чебышевым ситуация совсем другая, связанная с тем, что с возрастом способность восприятия новых идей деградирует. И это не специфическая русская черта, а интернациональная. В той же мере касается и самого престарелого С П Новикова, когда он называл теорию струн научной фантастикой, ссылаясь на какого-то физика.

-- добавлено через 43 минуты --

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1731695 писал(а):

[off]

dsge в сообщении #1731684 писал(а):

Сам Арнольд писал, что теории бифуркации цикла на Западе никто не знал, он их познакомил с ней на семинаре Тома, называя её бифуркацией Хопфа

Смолянов писал(а):

У западных математиков есть традиция называть открытия именами своих учеников. И у русских математиков есть традиция называть свои открытия именами учеников западных математиков.

Но в целом подозреваю, что это больше просто красиво звучащая байка, чем реальный эффект.

dsge в сообщении #1731684 писал(а):

уже появились нейронные сети, называемые сети с архитектурой Чебышева-Колмогорова-Арнольда.

Такое название не в России появилось, скорее китайцы какие-нибудь придумали

[mihaild]

(Оффтоп)

dsge в сообщении #1731709 писал(а):

Такое название не в России появилось, скорее китайцы какие-нибудь придумали

Американцы https://arxiv.org/abs/2404.19756 - MIT, California Institute of Technology, Northeastern University, The NSF Institute for Artificial Intelligence and Fundamental Interactions.
Впрочем я предполагаю, что не полетит. Не потому, что с этим подходом что-то особенно не так (я краем уха слышал, но не вглядывался) , просто тут огромное количество красивых в теории но не работающих на практике вещей. Плюс MLP это очень слабый бейзлайн, все современные модели используют более сложные архитектуры, учитывающие какое-то знание о структуре данных.

[Yadryara]

vpb в сообщении #1731461 писал(а):

И в этой связи про пентадекатлонистов.

А кто это такие? И кто только такое слово придумал... Может это такие многоборцы-биатлонисты?

[mathpath]

>> А кто это такие? - спросил пентадекатлонист

[Yadryara]

mathpath, может Вы знаете что означает этот термин, раз уж меня решили энтим словом обозвать?

Декатлон это десятиборье, например, легкоатлетическое.