Что есть "настоящая" математика?

[Booker48]

Сначала две цитаты.

Я.В. Успенский Из письма к А.Н. Крылову писал(а):

Относительно Лузина я знаю, что он хороший специалист в своей области (теория множеств и связанная с нею канторовско-лебеговская дребедень), блестящий npoфeccop, создавший в Москве школу своих учеников и своим влиянием упразднивший настоящую математику в Москве… Лично я Лузина почти не знаю и потому, если я позволяю себе высказываться неодобрительно о его направлении, то только потому, что чувствую к этому направлению глубокое омерзение и твёрдо уверен, что мода на это скоро пройдёт...

С.П. Новиков Вторая половина XX века и её итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе писал(а):

...еще в 20-х годах консервативные механики вроде С.А.Чаплыгина пренебрегали этими новыми науками, считали их западной чушью. П.С.Александров рассказывал мне, что Чаплыгин запретил П.Урысону включать новую тогда общую теорию относительности в его аспирантский экзамен. Это наша специфическая русская черта - склонность к консерватизму, к отрыву от мировой науки. Даже П.Л.Чебышев в XIX веке, при своем блестящем аналитическом таланте, был патологическим консерватором. А.Ф.Каган рассказывал, что, будучи молодым приват-доцентом, встретил старого Чебышева, пытался поведать ему о современной геометрии и т.д., но тот презрительно высказался о новомодных дисциплинах типа римановой геометрии и комплексного анализа. Созданная им школа была сильной, но и с сильной склонностью к провинциализму.

Меня в своё время поражали высказывания, допустим, композиторов о других композиторах (Глинка о Листе, Денисов о Шостаковиче, Чайковский о Мусоргском и т.п., даже цитировать не буду). Но восприятие музыки всё же сильно индивидуально, хотя бы и у великих музыкантов.
Но математика!
Здесь, на форуме, в контексте оценок математических достижений ИИ и филдсовских медалей, звучало мнение, что есть математика и математика. Например, "венгерская математика". )))
Далее - название топика.

[mathpath]

Школа Чебышева (А.Н. Коркин, Е.И. Золотарев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов) была сильной именно в теории чисел, теории вероятностей и теории приближения функций. Эти задачи Чебышев ставил перед учениками и решал их блестяще.
Петербургская школа сознательно отгородилась от «западной» (в первую очередь немецкой) абстрактной алгебры и топологии. Чебышев считал, что заниматься теорией групп или неевклидовой геометрией — значит «уходить от реальных потребностей». В результате, пока в Гёттингене и Париже расцветала современная математическая физика и алгебра, ученики Чебышева оставались в рамках узкой, хоть и изящной, проблематики.

[Booker48]

mathpath
Ну, нельзя же заниматься "всей математикой" и получать выдающиеся результаты во всех её областях.
Почему та математика, которой занимался Чебышёв с учениками - по мнению С.П. Новикова - провинциальна, а то, чем занимались условные Минковский и Пуанкаре - настоящая математика?
Почему "венгерская математика" - ну, как бы и не настоящая. Ведь, не в упрёк, безусловно, сказано, те математики, которые скептически о ней отзываются, не решили ни одной "задачи Эрдёша".

[Anton_Peplov]

Взгляд со стороны сугубого дилетанта как в математике, так и в ее истории.

1. Всякий кулик свое болото хвалит. Какой математикой занимаешься вслед за своими учителями и учишь учеников, такая и есть более лучшая и подлинно настоящая.

2. С возрастом люди, даже великие люди, становятся консервативными и на новые области посматривают свысока. Это так не только в математике. В палеонтологии, например, до сих пор иные зубры и мастодонты этой науки считают, что фигня все эти ваши лангершеты, а надо по старинке исключительно раковины да кости изучать. И это не я говорю, а Александр Марков.

3. Мода существует не только в одежде, и иногда скепсис в отношении новомодных областей может быть оправдан.

4. Попытка объективного критерия. Гипотеза или теорема тем важнее, чем больше из нее следствий. У гипотезы Римана одних только эквивалентных ей формулировок два тома, а следствия трудно поддаются подсчету. Гипотеза Таниямы - Симуры стала интересной, когда появилась куча статей, начинающихся с "предположим, гипотеза Таниямы - Симуры верна". Область математики тем важнее, чем теснее она связана с другими областями математики. Анализ в широком смысле (от топологии до диффуров) - это тесный клубок, где всё влияет на всё. Напротив, какие-то задачи из комбинаторики могут стоять в гордом одиночестве и никак не влиять на остальную математику, по крайней мере, так кажется на первый взгляд. В этом смысле такие задачи могут быть не важны, даже если поставил их Эрдеш.

[Booker48]

Anton_Peplov в сообщении #1731091 писал(а):

...когда появилась куча статей, начинающихся с "предположим, гипотеза ХХХ верна".

Т.е., мода?
Или Танияме с Симурой повезло, что нашёлся Фрей, увидевший, что из справедливости их гипотезы следует справедливость теоремы, у которой и следствий-то никаких нет, но за ней - крутая история (и денежная премия)? )))

[Anton_Peplov]

Booker48 в сообщении #1731097 писал(а):

Т.е., мода?

Гипотеза Таниямы - Симуры устанавливает взаимно-однозначную связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами. Уже после ее формулировки оказалось, что, если она верна, получается новый мощный инструмент исследования: трудные теоремы теории эллиптических кривых легко доказываются на языке модулярных форм, и наоборот. Ровно поэтому у нее много следствий. Это ее объективное свойство, от моды не зависящее.

-- добавлено через 3 минуты --

Booker48 в сообщении #1731097 писал(а):

у которой и следствий-то никаких нет

Если Вы о ВТФ, то отнюдь не поручусь за это утверждение. Лучше спросить знатоков теории чисел, например, уважаемого nnosipov.

Конечно, если бы из гипотезы Таниямы - Симуры не следовала ВТФ, интереса к гипотезе было бы куда меньше. В этом смысле гипотезе Таниямы - Симуры действительно повезло.

[ozheredov]

Anton_Peplov в сообщении #1731091 писал(а):

Область математики тем важнее, чем теснее она связана с другими областями математики.

Интересный и на первый взгляд разумный критерий, причем применимый сразу ко многому: дисциплина - это граф, ее предметная область - узел, и ее важность равна валентности этого узла (петли запрещены). Но я ща сделаю изолированный полносвязный подграф с кучей областей про магические квадраты, WTF, интегрирование хрямзика вдоль бегемота и т.д. По приведенному критерию, каждая такая область окажется в десять раз важнее теорвера. Или этот аргумент парируется тем, что произвольную чушь не получится увязать друг с другом?

[Anton_Peplov]

ozheredov в сообщении #1731109 писал(а):

Но я ща сделаю изолированный полносвязный подграф с кучей областей про магические квадраты, WTF, интегрирование хрямзика вдоль бегемота и т.д.

Вот прямо ща и сделаете? Ну сделайте. Хоть одну новую область математики. Потом поговорим про кучу.

[vpb]

А вот предложу такой признак. Он, правда, весьма труден в реализации. Да и вообще в такую плоскость вопрос о том, что такое правильная математика, переходит у немногих. Короче, правильная --- это та, про которую ваша совесть вам говорит, что надо вот этой заниматься (и это меняется от момента к моменту, от ситуации к ситуации).

[ozheredov]

vpb
А если совесть мне скажет, что надо заниматься магическими квадратами, то это и будет самая правильная математика здесь и сейчас?

[Booker48]

Практически уверен, что ни Чебышёву, ни Якову Успенскому, ни Эрдёшу, ни Наталье Макаровой совесть никак не мешала заниматься тем, чем они занимались и занимаются.
Но людям со стороны - от совсем нематематиков до выдающихся математиков их совесть тоже не мешала давать соответствующие нелицеприятные оценки.

[ozheredov]

Booker48 в сообщении #1731189 писал(а):

Наталье Макаровой совесть никак не мешала заниматься тем, чем

Поэтому мне критерий

Anton_Peplov в сообщении #1731091 писал(а):

Область математики тем важнее, чем теснее она связана с другими областями математики.

нравится больше (во всяком случае, настолько вопиющий контрпример к нему не просматривается)

[vpb]

ozheredov в сообщении #1731159 писал(а):

А если совесть мне скажет, что надо заниматься магическими квадратами, то это и будет самая правильная математика здесь и сейчас?

Маловероятная ситуация. Но, если вдруг такое случится, тогда, наверное, да. Правда, если вдруг решите поговорить со своей совестью на данную тему, мое мнение будет для вас иметь малое значение.

-- добавлено через 9 минут --

ozheredov в сообщении #1731217 писал(а):

во всяком случае, настолько вопиющий контрпример к нему не просматривается

К чему контрпример, и в чем он состоит ? То, что я писал, необходимо уточнить так: если вдруг задумаетесь, "тем ли я занимаюсь в математике ?", попробуйте прислушаться к своей совести, вдруг она чего и скажет. Но это не универсальная заповедь (я же не Моисей), а просто совет. Не у всех нужда его применять, не все захотят, не все смогут. Так что "случай Макаровой" контрпримером ни к чему не является.

[ozheredov]

vpb, Ваше мнение для меня имеет огромное значение, и я уверен, что та область, которую подсказала Вам совесть, действительно важна. Однако опыт показывает, что "Магические квадраты" и "Пентадекатлоны мечты" вырастают до пятиста страниц, тогда как обсуждения достойных Вас задач обычно не набирают и десяти. Совесть есть у единиц (мнимых). Поэтому объективный критерий не помешает

[vpb]

ozheredov в сообщении #1731253 писал(а):

и я уверен, что та область, которую подсказала Вам совесть, действительно важна.

Штирлиц писал(а):

Считайте, что мои цели избыточно честны.

ozheredov в сообщении #1731253 писал(а):

Однако опыт показывает, что "Магические квадраты" и "Пентадекатлоны мечты" вырастают до пятиста страниц, тогда как обсуждения достойных Вас задач обычно не набирают и десяти. Совесть есть у единиц (мнимых). Поэтому объективный критерий не помешает

Не помешает,только с объективным критерием, как с формальными критериями оценки результатов научной деятельности (всякая библионаукометрия и др.): когда они появляются, ловкие люди быстро к ним приспосабливаются. Впрочем, подумаю.