Бесконечность простых чисел-близнецов

[Dmitriy40]

Высосать из тривиального утверждения о взаимной простоте двух чисел (и как следствии о взаимной простоте с праймориалом) гипотезу Гольдбаха и простых близнецов - это конечно сильно. Только разбираться в столь тривиальных построениях с кривой терминологией ради поиска ошибок (скорее всего столь же тривиальных, тем более что известен контрпример к его "выводам") - да ну нафиг. На первый взгляд чел недопонимает понятие доказательства в математике.

[anahronizm]

Мне там вот что интересно было: человек показал структуру распределения простых чисел, структуру распределения простых близнецов и схему взаимодействия при Гольдбахе.
А вот верны ли его дальнейшие выводы с подсчётом переплетений? А если всё правильно, то почему бы не оформить это в виде доказательства? Цель ведь не заранее обгадить человека (он не умеет, поэтому правдой быть не может и даже читать не буду), цель - понять рациональное зерно. Ну, и использовать полезное.
Я, вот, в математике тоже мало что понимаю, но такой структуры распределения простых чисел не видел. Скатерть Улама и другие схемы видел, а такой структуры, как у данного товарища, не встречал. По крайней мере, такая структура показывает, что простые числа (и близнецы) распределены строго определённым образом и могут быть описаны. И автор попытался выполнить простейший анализ данной структуры. Но ведь можно взглянуть на неё и более внимательно, правда?
***
Как-то я не вижу своего предыдущего сообщения. Может сайт глючит?
Оставлю, на всякий случай, адрес публикации ещё раз: https://habr.com/ru/articles/964042/

[Dmitriy40]

anahronizm в сообщении #1721664 писал(а):

По крайней мере, такая структура показывает, что простые числа (и близнецы) распределены строго определённым образом и могут быть описаны.

Ошибка в том что не простые числа так распределены, а лишь места их возможного размещения, т.е. те числа, которые могут быть простыми, но вовсе не обязательно будут таковыми. В этом и проблема, что неизвестно сколько таких чисел окажутся реально простыми.
Соответственно и про распределение простых близнецов так тем более ничего сказать нельзя (ну кроме того где они точно НЕ могут быть, но этого недостаточно чтобы подсчитать сколько их может быть).
Распределение же следует прямо из решета Эратосфена: вычёркиваем чётные и получаем первый слой, вычёркиваем ещё и 3 и получаем второй слой, вычёркиваем ещё и 5 и получаем 3 слой (8 возможных простых чисел из каждых 30), и так далее (при вычёркивании простых до $n$ получим ровно $\prod\limits_{p \in P}^n (p-1)$ (произведение по простым до $n$) мест возможных простых).

[anahronizm]

Как я понял из той публикации, он тривиально сравнивает количество образующихся "возможных" простых и количество элементов, которые эти "возможные" уничтожает. И утверждает выживание первых при Гольдбахе и близнецах в следствии соответствующих комбинаций.

Dmitriy40 в сообщении #1721678 писал(а):

Ошибка в том что не простые числа так распределены, а лишь места их возможного размещения

Ну почему же? Такой схемой можно показать именно распределение простых (когда остаются только простые, а не возможные). Опираясь на структуру, для каждой "области спокойствия" (которыми, по сути, разделена вся структура и которые растут по мере появления новых делителей) можно записать соответствующее выражение, формулу, которая будет давать результатом все простые числа (на данном интервале "области спокойствия").
Такие "области спокойствия" существуют для простых чисел, для распределения Гольдбаха и для распределения простых близнецов. Соответственно, можно записать выражение, формулу, которая на определённой "области спокойствия" будет выдавать своим результатом:
-для простых чисел: все простые числа на данном интервале.
-для Гольдбаха: все простые пары, которые в сумме образуют заданное чётное.
-для близнецов: все такие близнецы.
Это же можно сделать, верно?

[Dmitriy40]

anahronizm в сообщении #1721718 писал(а):

Это же можно сделать, верно?

Смотря что называть формулой. Вот скажем решето Эратосфена - формула? А оно именно что выдаёт все простые на заданном интервале.
Вот только имея решето Эратосфена очень проблематично доказать бесконечность простых чисел, что они где-то очень-очень далеко не вычеркнутся все. Не скажу что невозможно, может и можно что-то придумать, но сложно!
А уж про формулу количества простых на заданном интервале вообще мрак, пришлось ждать Римана с его формулой (кстати до сих пор вроде как недоказанной).
Или например есть известный полином от 26 переменных, выдающий своими значениями простые числа, вот прям совсем формула, вот только неизвестно ни одного комплекта переменных чтобы результат был простым числом (UPD. поправка: один комплект похоже таки нашли) и значит использовать его для доказательства бесконечности простых чисел затруднительно.
При том что бесконечность простых чисел доказал ещё Евклид чёрти когда.
Так что совсем не факт что даже получив формулу можно будет доказать бесконечность.

[Rak so dna]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1721749 писал(а):

Или например есть известный полином 26-й степени от х, выдающий своими значениями простые числа, вот прям совсем формула, вот только неизвестно ни одного х чтобы результат был простым числом.

Тут, наверное, имеется ввиду полином от $26$ переменных, все положительные значения которого — простые числа. Есть работа, в которой считаются значения переменных этого полинома, определяющие простое число $2$. Если мне не изменяет память, то самые большие из этих $26$ чисел определяются уравнением Пелля с параметром $\simeq 10^{10^{52}}$

[Dmitriy40]

Rak so dna
Да, конечно он, спасибо, поправил выше.

[anahronizm]

Dmitriy40 в сообщении #1721749 писал(а):

Смотря что называть формулой.

Ну, простенькое что-нибудь.
Что-то прибавить, что-то умножить. В крайнем случае - отнять.
И чтобы все значения данного выражения, если таковые попадут в некоторый интервал (например, "область спокойствия") были бы простыми числами.
Или числами-центрами для простых близнецов (как 30 для 29 и 31).
Ну, представим, что вся числовая ось (положительная её часть) делится неравномерно на "области спокойствия" - числовые отрезки, которые идут друг за другом и только увеличиваются по длине.
И пусть для каждого такого отрезка обязательно существует отдельная формула, такая, что все её значения, если они выпадают на данную "область спокойствия" - есть простые числа.
(про область спокойствия это я в публикации вычитал).
Например, пусть область спокойствия от 90 до 110. Формула выдаёт значения 55,74,75, 88,97,101,103,107,109,111,114,122,128. В области спокойствия мы получаем значения 97,101,103,107,109 и они все простые, даже проверять не надо.
Интересно, можно такое сделать ?
Правда, такая формула может быть ну очень замудрёной для каждого интервала (в простых числах, я слышал, всё либо замудрёное либо считать очень долго).
Опять же, тогда нужно доказать (для близнецов), что такая (такие) формула(ы) должна иметь значение для каждого такого интервала, либо для какого-либо большого интервала, сколь бы большим он ни был.
Прикольно было бы.

[Dmitriy40]

anahronizm в сообщении #1721766 писал(а):

Например, пусть область спокойствия от 90 до 110. Формула выдаёт значения 55,74,75, 88,97,101,103,107,109,111,114,122,128. В области спокойствия мы получаем значения 97,101,103,107,109 и они все простые, даже проверять не надо.
Интересно, можно такое сделать ?

Для 55,74,75, 88, 111,114,122,128 - не знаю, а вот только для 97,101,103,107,109 - можно:

$$f(x)=\prod\limits_{p=2}^{\sqrt{x}} (x \bmod p)$$

Для всех простых $x$ формула даёт $f(x)>0$, для составных $f(x)=0$. Соответственно перебирая все числа $x$ от 90 до 110 получим $f(x)>0$ только на 97,101,103,107,109.
Устраивает?

[anahronizm]

Dmitriy40 в сообщении #1721769 писал(а):

Устраивает?

Отлично устраивает!
Осталось записать подобные формулы для всех областей спокойствия и пойти требовать себе Нобелевскую премию.
Обещаю, поделим честно: 65% мне и оставшиеся 25% Вам. Идея же моя.

-- 07.04.2026, 20:15 --

А как Вы так быстро формулу нашли ?

-- 07.04.2026, 20:19 --

Хотя, нет, не устраивает - это ж перебор делать надо. А хотелось бы без перебора. А то перебор это очень уж затруднительное занятие.

[Dmitriy40]

anahronizm в сообщении #1721774 писал(а):

А как Вы так быстро формулу нашли ?

Да это же тривиальная проверка делимости на все натуральные числа больше 1 до корня из проверяемого числа. Даже решето Эратосфена лучше - за счёт проверки лишь на простые числа, а не все подряд.

anahronizm в сообщении #1721774 писал(а):

Осталось записать подобные формулы для всех областей спокойствия

Делов-то, добавим квантор и всё (правда я в кванторах не силён так что не уверен что запись правильная):

$$\forall x \in [a,b]: \prod_{p=2}^{\sqrt{x}} (x \bmod p) >0$$

anahronizm в сообщении #1721774 писал(а):

Отлично устраивает!

И зря! Потому что она мало того что банальная, так ещё и не даёт механизма как доказать что начиная с некоторого большого $x$ все следующие $x$ не будут давать $f(x)=0$ (т.е. простых чисел больше не будет).
Т.е. налицо явное непонимание что считать доказательством (да и формулой).

-- 07.04.2026, 20:32 --

anahronizm в сообщении #1721774 писал(а):

Хотя, нет, не устраивает - это ж перебор делать надо. А хотелось бы без перебора. А то перебор это очень уж затруднительное занятие.

Так без перебора даже для количества простых формула неизвестна. Формула Римана и с перебором, и с интегралом, и в комплексных числах.
И это про простых числа, не говоря уж про простых близнецов, для тех и формулы их количества нет.

-- 07.04.2026, 20:37 --

anahronizm в сообщении #1721774 писал(а):

А хотелось бы без перебора. А то перебор это очень уж затруднительное занятие.

Так ведь для получения границ "областей спокойствия" (или как там они обозваны, те что послойно) тоже нужен перебор - в вычислении праймориала (произведения простых, например $5\#=30=2\cdot3\cdot5=\prod\limits_{p\in P}^5 p$).

[anahronizm]

Dmitriy40 в сообщении #1721775 писал(а):

И это про простых числа, не говоря уж про простых близнецов, для тех и формулы их количества нет.

Ну, насчёт точного количества не знаю, а оценить плотность близнецов на некотором интервале, надеюсь, можно.
На днях подумаю над формулами без перебора, может чего и выдумаю.

[Dmitriy40]

anahronizm в сообщении #1721776 писал(а):

оценить плотность близнецов на некотором интервале, надеюсь, можно.

Примерно и для больших интервалов - конечно можно (формула есть в рувики):

$$\frac{\pi_2(a,b)}{b-a}\approx\frac{1}{b-a}\int_a^b\frac{dt}{(\ln t)^2}$$

Только соответствующая гипотеза не доказана ...

[anahronizm]

Dmitriy40 в сообщении #1721778 писал(а):

Примерно и для больших интервалов - конечно можно

Спасибо большое. Почитаю, подумаю.
В этих простых числах так всё интересно, но малопонятно )))

-- 07.04.2026, 22:10 --

Меня вот такая мысль преследует:
Возможно, существует бесконечное количество дуплетов таких близнецов, когда меньшие близнецы ( или большие) отличаются на 6.
Пример таких дуплетов пар: 11,13 и 17,19. Или 101,103 и 107,109.
Ну, это гипотеза.

[wrest]

anahronizm в сообщении #1721780 писал(а):

Возможно, существует бесконечное количество дуплетов таких близнецов, когда меньшие близнецы ( или большие) отличаются на 6.
Пример таких дуплетов пар: 11,13 и 17,19. Или 101,103 и 107,109.
Ну, это гипотеза.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 1%82%D1%8C