Грубые нарушения элементарной логики

[Anton_Peplov]

BorisK
Я вынужден повторить свой вопрос.

Anton_Peplov в сообщении #1701305 писал(а):

Если это не взаимно-однозначное соответствие, укажите четное число $n$, которому соответствует менее одного или более одного номера $f(n)$.

Сформулирую тот же вопрос проще: укажите четное натуральное число, которое нельзя разделить на два и получить его номер, или можно разделить на два и получить несколько разных номеров.

По правилам форума Вы обязаны отвечать на вопросы заслуженных участников в дискуссионном разделе. Не люблю пользоваться этим правилом. Но с Вами приходится.

[Droog_Andrey]

BorisK в сообщении #1701313 писал(а):

А где ошибка в моем доказательстве?

BorisK в сообщении #1701304 писал(а):

Пусть $N$ - значение последнего числа в ряде $\mathbb{N}$.

В ряду натуральных чисел нет последнего элемента.

[epros]

Тут уже много сказали про второй пример "нарушений элементарной логики". Я скажу про первый пример.

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

И, тем не менее, это правило без всяких ограничений присутствует в большинстве известных руководств по математической логике.

Значит те руководства, которые Вы читали, забыли сказать про эти ограничения. А они есть.

[BorisK]

mihaild в сообщении #1701298 писал(а):

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

утверждается, что понятие «потенциальная бесконечность» устарело и сейчас не принято в математике

Ну да, устарело. Ничего полезного по его мотивам не придумали.

А как же тогда быть с методом математической индукции? Этот метод позволяет в математике строго и корректно рассуждать о бесконечных процессах и бесконечных множествах, оставаясь в рамках конечных доказательств. Как раз та самая потенциальная бесконечность. Хотя в ZFC метод математической индукции выводится из аксиом бесконечности и фундирования, но ведь ZFC не является единственно возможным подходом развития понятия множества (см. ниже).

Anton_Peplov в сообщении #1701305 писал(а):

BorisK в сообщении #1701304 писал(а):

Ну, примерно так.

А давайте примерно так: $f \colon 2\mathbb N \to \mathbb N \colon f(n) = n/2$ (нумеруем четные числа)
$f^{-1} \colon \mathbb N \to 2\mathbb N \colon f^{-1}(m) = 2m$ (восстанавливаем четное число по номеру).

Это взаимно-однозначное соответствие или мех собачий?

С этим я согласен. Речь о другом. Скажите, кто нам запрещает строить множества $\mathbb N$ и $2\mathbb N$ не как актуальные множества, а как ряды с возможным продолжением? Ну, например, так:
$\mathbb N:~~1,~2,~\dots,~N, \dots$
$2\mathbb N:~2,~4,~\dots,~2N, \dots$
Для этих рядов можно установить ВОС, однако видно, что на любом конечном отрезке (даже если он заканчивается числом гуголплекс в степени гуголплекс) множество $2\mathbb N$ не может быть подмножеством множества $\mathbb N$, так как содержит числа, не содержащиеся в $\mathbb N$. Например, $2N$. Эту невозможность для данных рядов можно и методом математической индукции доказать.

Anton_Peplov в сообщении #1701305 писал(а):

Множество называется бесконечным, если оно содержит любое наперед взятое число элементов. Множество называется бесконечным по Дедекинду, если оно равномощно собственному подмножеству. То, что эти два понятия эквивалентны - это теорема, которая доказывается в ZFC, причем существенно используется аксиома выбора. Без аксиомы выбора этого доказать нельзя.

Все прекрасно. Но помимо ZFC придумано много других вариантов теории множеств: NBG, Морса - Келли, Крипке –Платека, Тарского – Гротендика и это еще не все. В этом плане понятию множества повезло. А, может быть, наоборот, не повезло, и мы в итоге перестали понимать, что это такое?
Почему бы на фоне этого многоголосья не предложить простую и понятную для школьников и технарей теорию множеств на основе [url=https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебра_множеств_(по_Куранту_и_Роббинсу)]алгебры множеств[/url], которая была предложена Курантом и Роббинсом? Можно даже выразить ее как аксиоматическую систему, наподобие той, которая была предложена Булосом для конечных множеств. А чтобы работать с бесконечностью, можно дополнить полученную систему принципом математической индукции.

epros в сообщении #1701573 писал(а):

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

И, тем не менее, это правило (обобщения)без всяких ограничений присутствует в большинстве известных руководств по математической логике.

Значит те руководства, которые Вы читали, забыли сказать про эти ограничения. А они есть.

Ой, что-то не верится, что забыли!

[Anton_Peplov]

BorisK в сообщении #1701613 писал(а):

Скажите, кто нам запрещает строить множества $\mathbb N$ и $2\mathbb N$ не как актуальные множества, а как ряды с возможным продолжением?

Тот факт, что ни на каком шаге алгоритма не получится ни $\mathbb N$, ни $2\mathbb N$. На $n$-ном шаге Вашего алгоритма Вы строите конечные подмножества $A \subset \mathbb N$ и $B \subset 2\mathbb N$, причем $|A| = |B| = n$. Любое утверждение, которое можно доказать про это построение методом математической индукции, будет иметь вид: "для любого натурального $n$ верно, что начальный отрезок множества $\mathbb N$ длиной $n$ и начальный отрезок множества $2\mathbb N$ длиной $n$...". Ни при каком $n$ не получится утверждения про все $\mathbb N$ или все $2\mathbb N$. Это Вам понятно или нет?
Жду ответа на этот вопрос.

[mihaild]

BorisK в сообщении #1701613 писал(а):

А как же тогда быть с методом математической индукции?

А он никак не связан с "потенциальной бесконечностью". Попытки сделать какой-то "динамический" процесс построения, насколько я знаю, провалились. Индукция используется для доказательства, что нужное множество/функция/... существует "сразу целиком".

BorisK в сообщении #1701613 писал(а):

Скажите, кто нам запрещает строить множества $\mathbb N$ и $2\mathbb N$ не как актуальные множества, а как ряды с возможным продолжением?

Отсутствие понятия "ряда с возможным продолжением" и неформальность "строить множество".

BorisK в сообщении #1701613 писал(а):

Но помимо ZFC придумано много других вариантов теории множеств

И для всей "содержательной" математики разницы между ними нет.

BorisK в сообщении #1701613 писал(а):

А, может быть, наоборот, не повезло, и мы в итоге перестали понимать, что это такое?

Это бессмысленное замечание. Нет никакого записанного на тайных скрижалях правильного понятия "множества". Но есть несколько принятых в математике. Причем, опять же, с точки зрения почти всей математики - разницы между ними нет.

BorisK в сообщении #1701613 писал(а):

Почему бы на фоне этого многоголосья не предложить

Предлагайте. А дальше попытайтесь убедить математиков в преимуществах. Но для начала нужно 1) чётко выписать аксиомы; 2) показать, как в этой системе решаются стандартные задачи вроде построения множества вещественных чисел или разрывного линейного функционала.

[juna]

mihaild в сообщении #1701615 писал(а):

Попытки сделать какой-то "динамический" процесс построения, насколько я знаю, провалились.

А можно поподробнее, я не понял.

[mihaild]

juna в сообщении #1701619 писал(а):

А можно поподробнее, я не понял

Ничего формального я про это не читал. Насколько я помню, Клайн писал, что были идеи формализовать "взяли множество, посмотрели на него, добавили элемент, посмотрели опять, добавили еще элемент" как-то принципиально отлчино от "взяли функцию, которая из множества делает множество на следующем шаге".

[BorisK]

Anton_Peplov в сообщении #1701614 писал(а):

.... Ни при каком $n$ не получится утверждения про все $\mathbb N$ или все $2\mathbb N$. Это Вам понятно или нет?
Жду ответа на этот вопрос.

Нет, непонятно. По Вашему, получается, что многие классические результаты, например, доказательство бесконечности простых чисел, нельзя признать строгими.

mihaild в сообщении #1701615 писал(а):

Нет никакого записанного на тайных скрижалях правильного понятия "множества". Но есть несколько принятых в математике. Причем, опять же, с точки зрения почти всей математики - разницы между ними нет.

Ну, как это разницы нет? Для разных вариантов аксиоматической теории множеств получаются разные, порой несовместимые результаты. Например, в вариантах с аксиомой выбора и без оной. Или с ZEC и с GST Булоса.

Если честно, то мне трудно принять формальный поход. В алгебраическом подходе тоже есть свои достоинства. Например, в нем немого проще решаются задачи анализа неопределенностей в рассуждениях и вывода следствий с заранее заданными свойствами.
И еще я иногда задаю себе вопрос: почему многие простые свойств декартова произведения не были открыты до появления алгебры кортежей. Мне кажется, ответ такой: они намного сложнее выразимы в формальном подходе. Ну, это мое мнение. Настаивать на нем не буду.

[BorisK]

Опечатка: в нем намного проще решаются задачи анализа неопределенностей

[Geen]

BorisK в сообщении #1701684 писал(а):

И еще я иногда задаю себе вопрос: почему многие простые свойств декартова произведения не были открыты до появления алгебры кортежей.

Потому что ни одного конкретного примера этих "свойств" Вы так и не удосужились привести.

[BorisK]

Geen в сообщении #1701689 писал(а):

Потому что ни одного конкретного примера этих "свойств" Вы так и не удосужились привести.

Как не приводил? Например, здесь, на форуме в другой теме. Примеры также можно найти в статье и даже в английской Wikipedia, раздел Intersections, unions, complements and subsets.

[Geen]

BorisK в сообщении #1701690 писал(а):

Например, здесь, на форуме в другой теме
.

Точную цитату, пожалуйста.

BorisK в сообщении #1701690 писал(а):

и даже в английской Wikipedia
,

Приведите, пожалуйста, точную цитату, где упоминается "алгебра кортежей" и свойства, открытые с её помощью.

[Anton_Peplov]

BorisK в сообщении #1701684 писал(а):

По Вашему, получается, что многие классические результаты, например, доказательство бесконечности простых чисел, нельзя признать строгими.

С классическими доказательствами все в порядке, в отличие от Вашего доказательства.

Объясняю, как работает математическая индукция. Обозначим $P(n)$ некоторое утверждение о натуральном числе $n$.

База индукции: утверждение $P(1)$ верно.
Шаг индукции: если утверждение $P(n)$ верно, то и утверждение $P(n+1)$ верно.
Вывод индукции: для любого $n$ утверждение $P(n)$ верно.

Ключевое здесь, что $P(n)$ - утверждение о натуральном числе $n$. Переход от утверждения о произвольном натуральном числе к утверждению о бесконечном множестве иногда возможен, а иногда нет. Это зависит от конкретного утверждения $P(n)$. Вот пример, когда он возможен: P(n) = "для натурального числа $n$ найдется простое число $N > n$". Так уж получилось, что $\forall n P(n)$ - это в точности утверждение о бесконечности множества простых чисел.

Но в Вашем случае такой переход невозможен. Рассмотрим Ваше доказательство с точки зрения математической индукции. Утверждение $\forall n P(n)$, которое Вы доказали: "для любого $n$ между множеством $\{1, 2, \dots n \}$ и множеством $\{2, 4 \dots k \}$ нет взаимно-однозначного соответствия, где $k = n$, если $n$ четное, и $k = n-1$, если $n$ нечетное". Это утверждение абсолютно верное. Вот только от него нельзя перейти к утверждению об $\mathbb N$ и $2\mathbb N$, поскольку ни для какого $n$ множество $\{1, 2, \dots n \}$ не совпадает с $\mathbb N$, а множество $\{2, 4 \dots k \}$ не совпадает с $2 \mathbb N$. Ваша ошибка именно в этом неправомерном переходе.

Так, наконец, понятно? Требую ответа на этот вопрос.

[Mikhail_K]

У меня возник такой вопрос к BorisK. Вы утверждаете, что между множеством натуральных чисел и множеством чётных чисел нет взаимно-однозначного соответствия. Ладно. А можете привести пример множества, между которым есть взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел? Мне хочется понять, что Вы вообще считаете "правильным" взаимно-однозначным соответствием.

Например, представьте себе произвольную бесконечную последовательность точек на плоскости: $P_1, P_2, P_3, \ldots, P_n,\ldots$. Все точки различные. Каждая точка занумерована своим натуральным номером. Будет ли между множеством этих точек и множеством натуральных чисел взаимно-однозначное соответствие?

А если последовательность точек не на плоскости, а на числовой прямой?