Можно ли прогнозировать правую ветвь "параболы" по левой

[Yadryara]

Ну так это всё банальности. Думаете, я раньше эту табличку не смотрел

4-й раз прошу: приведите хоть один численный пример. Например, посчитайте на интервале $0-71\#$ предполагаемое количество симметричных кортежей длиной 21.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1699467 писал(а):

4-й раз прошу: приведите хоть один численный пример. Например, посчитайте на интервале $0-71\#$ предполагаемое количество симметричных кортежей длиной 21.

У меня нет такой возможности, поэтому ссылаюсь на чужие. Я не ту табличку привел. Исправлю https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Я не сомневаюсь, что Вы эти таблицы видели. Обратите внимание на первую таблицу, где приведены фактические данные по количеству простых $k$ кортежей по диапазонам. Для простоты возьмем диапазон $10^5$.
Рассмотрим количество кортежей по шаблонам, в порядке уменьшения плотности простых. Для шаблона $p,p+2,p+6,p+8$ количество кортежей -$38$. Для шаблона $p,p+2,p+6$ количество кортежей -$248$. Для шаблона $p,p+6$ количество кортежей -$2447$.
Если выполняется гипотеза о независимости появления простых в кортеже, то отношение количества кортежей на интервале после удаления простого числа должно быть $\ln(x)=\ln(10^5)=11,51...$. Это, как раз ваше $k_1$ без умножения на 1000 и округления. Таким образом, если бы выполнялась независимость, то $k_1$ не менялся бы. Однако, $2447/248=9,866..$, а $248/38=6,526...$, т.е. выполняется зависимость. Коэффициент $k_2$ показывает скорость изменения этой зависимости.

[Yadryara]

Ну наконец-то пошёл более предметный разговор. Причём именно разговор, а не спор — моя позиция ничем не отличается от Вашей. Или Вы какое-то различие усматриваете?

Главное: какой практический смысл? Человечеству не известна ни одна симметричная 21-ка. Ни с каким диаметром. И вопрос стоит о том, какие 21-ки перспективнее для поиска. Мы проверили несколько паттернов вплоть до диаметра 420 и обсчитали по HL1. Дальше — очень долго.

Но. Думаю, можно проверить и дальше, для бо́льших диаметров, пользуясь подмеченными закономерностями по $k_2$.

[Yadryara]

Вчера наш счёт был закончен, вот статистика:

valids/len  Найдено
            штук             k1          k2         k3
            920632201

     0/0    413957
     1/1    4156602         996
     2/2    19513226       2130       21389
     3/3    56767395       3437       16137       1325
     4/4    114400464      4962       14436       1118
     5/5    169242731      6760       13622       1060
     6/6    189833504      8915       13189       1033
     7/7    164420906     11546       12950       1018
     8/8    110873277     14830       12844       1008
     9/9    58219738      19044       12842       1000
    10/10   23605601      24664       12951        992
    11/11   7262022       32506       13180        983
    12/12   1639744       44288       13625        967
    13/13   256818        63848       14417        945
    14/14   25069        102444       16045        899
    15/15   1147         218561       21335        752

   132 млн        D            239 млн       D            920 млн       D

21311   22560  1249         21412   21708  296         21389   21335   54
16099   15915   184         16108   15959  149         16137   16045   92
14462   14367    95         14449   14394   55         14436   14417   19
13615   13658    43         13618   13628   10         13622   13625    3
13177   13188    11         13185   13183    2         13189   13180    9
12964   12935    29         12954   12943   11         12950   12951    1
12839   12846     7         12846   12842    4         12844   12842    2

Как видим, для соответствующих значений k2 сохраняется тенденция приближаться друг к другу, при этом находясь вблизи эталонных биномиальных значений, показанных выше.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1699727 писал(а):

при этом находясь вблизи эталонных биномиальных значений, показанных выше.

Поясните, пожалуйста, что такое в данном случае биномиальные значения?

[Yadryara]

Ну вот они для 4-к:

Цепочки   Биномиаль-
            ные кэфы         k1          k2
0/0                1
1/1                4        250
2/2                6        667        2667
3/3                4       1500        2250
4/4                1       4000        2667

[Yadryara]

А вот для троек:

v/l     bk          k1           k2
0/0      1
1/1      3        3333
2/2      3       10000        30000
3/3      1       30000        30000

Только умножал уже не на тысячу, а на 10 тысяч.

Выше приводил таблички для паттерна [0, 6, 12] для разных интервалов. Теперь посчитал ещё один, самый большой:

0 -- 31#
v/l       Найдено          k1         k2
             штук
0/0    1386303990
1/1    1483846053        9343
2/2     525068350       28260      30248
3/3      61426364       85479      30247
       __________
       3456644757

Yadryara в сообщении #1699727 писал(а):

Как видим, для соответствующих значений k2 сохраняется тенденция приближаться друг к другу, при этом находясь вблизи эталонных биномиальных значений, показанных выше.

А вот и подтверждение этого тезиса:

Interval          Sum      Dk2       Dk2b
0 —— 19#       205715      264        403
0 —— 23#      4385431       38        400
0 —— 29#    119417299        2        294
0 —— 31#   3456644757        1        248

Здесь Dk2b это разность между значениями k2 без учёта знака, а Dk2b — разность без учёта знака между биномиальным k2 и средним арифметическим k2.

Видно, что последняя разность вроде как имеет тенденцию подползать к биномиальному эталону.

[Yadryara]

waxtep в сообщении #1696299 писал(а):

Предполагая биномиальное распределение длин кортежей, имеем

$$q(6,15)=N\cdot C_{15}^6p^6q^9,q(7,15)=N\cdot C_{15}^7p^7q^8$$

где $N$ - общее число кортежей длиной от $0$ до $15$, $p$ - вероятность того, что какое-либо одно число в кортеже - простое, $q=1-p$.

Всё забывал спросить, а почему из 115 нечётных чисел Вы учитываете только 15? Ведь остальные 100 нечётных чисел должны быть не абы какие, а именно составные.

[waxtep]

Yadryara в сообщении #1701364 писал(а):

Всё забывал спросить, а почему из 115 нечётных чисел Вы учитываете только 15? Ведь остальные 100 нечётных чисел должны быть не абы какие, а именно составные.

Как подсветил уважаемый vicvolf, та моя ветка рассуждений в целом некорректна (игнорирует наличие зависимости), но если отвлечься от этого, то можно так оправдать подход: ищем правильные кортежи только в множестве кортежей, где на 100 остальных позициях составные. Повторяя все тот же некорректный трюк с предположением независимости, вклад от этих 100 чисел "сократится". Почему такие грубые и некорректные соображения тем не менее дают довольно близкий к наблюдаемому результат, я, откровенно говоря, так и не понял. Тоже видимо что-то с чем-то сокращается, черт его знает

[vicvolf]

waxtep в сообщении #1701555 писал(а):

Yadryara в сообщении #1701364 писал(а):

Всё забывал спросить, а почему из 115 нечётных чисел Вы учитываете только 15? Ведь остальные 100 нечётных чисел должны быть не абы какие, а именно составные.

Как подсветил уважаемый vicvolf, та моя ветка рассуждений в целом некорректна (игнорирует наличие зависимости), но если отвлечься от этого, то можно так оправдать подход: ищем правильные кортежи только в множестве кортежей, где на 100 остальных позициях составные. Повторяя все тот же некорректный трюк с предположением независимости, вклад от этих 100 чисел "сократится". Почему такие грубые и некорректные соображения тем не менее дают довольно близкий к наблюдаемому результат, я, откровенно говоря, так и не понял. Тоже видимо что-то с чем-то сокращается, черт его знает

Я ответил на этот вопрос здесь. viewtopic.php?p=1701708#p1701708