Можно ли прогнозировать правую ветвь "параболы" по левой

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1698424 писал(а):

Где он?

На нынешней странице, чуть выше

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1698426 писал(а):

На нынешней странице, чуть выше

А что тут комментировать. Причем тут парабола? У Вас как всегда все в одну кучу)

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1698509 писал(а):

Причем тут парабола?

Ну так вот именно что Вы не понимаете. Уже ведь разобрались, что это скорее кастрюля.

Ну давайте по новой. Те формулы, что Вы написали, примерно справедливы только для кристаллов. У меня речь идёт о сильно загрязняемых паттернах. Это сильно разные вещи. Количество констант очень сильно различается. Вы не понимаете что очень сложно перейти от одних формул к другим?

Может как раз поэтому в результате получается почти эталонная кастрюля — потому что простые числа в кортеже достаточно далеко друг от друга. Конечно они зависимы друг от друга, но, видимо, влияние уже довольно слабое.

Это, кстати, можно опытным путём проверить — взять кортеж диаметром ещё больше и посчитать стату. Это и интуитивно довольно очевидно — чем дальше простые числа друг от друга, тем они меньше друг на друга влияют.

vicvolf в сообщении #1698509 писал(а):

У Вас как всегда все в одну кучу)

А у меня вот ровно обратное ощущение: это Вы валите в одну кучу сверхплотные кортежи и разреженные.

В стартовом посте речь идёт о весьма разреженном кортеже. Обратите внимание, минимальный диаметр для 15-к равен 56, а статистика приведена по кортежу, диаметр которого вчетверо(!) больше — 228.

И расчёты я привёл для того самого разреженного кортежа, а Вы зачем-то вновь привели формулы для сверхплотных.

waxtep, Dmitriy40, gris, а вам понятно о чём я говорю?

[Yadryara]

Когда возникают непонятки между участниками, надо упрощать расчёты: спускаемся к самым простым кортежам. Посчитаем цепочки для 3-12, то есть для паттерна [0, 6, 12]:

0 -- 13#

     Найдено         k1          k2
        штук
0/0       55
1/1      230        239
2/2      284        810        3387
3/3      136       2088        2579

Напомню, что эталонные k2 оба равны 3000.

gris, правильно посчитал? Это же на PARI вполне можно проверить и очень быстро посчитать для других интервалов даже на весьма слабом компе.

[Yadryara]

Сам проверил дальше. Увеличил пока интервал, а не диаметр.

0 -- 17#

       Найдено         k1         k2
          штук
   0/0    1770
   1/1    4812        368
   2/2    3950       1218       3312
   3/3    1136       3477       2854


0 -- 19#

        Найдено         k1         k2
           штук
   0/0    46388
   1/1    90052        515
   2/2    57251       1573       3054
   3/3    12024       4761       3027

Прям как сильно тянет их к 3000

[Yadryara]

Хорошо, ещё более подробно расскажу.

Во-первых, для кортежа 3-12 есть A047948. И строчку 3/3 можно сверить по b-файлу.

Во-вторых, опубликую программу. Здесь специально не используются 3 идеи ускорения, которые обсуждались ранее. Чтобы проще было понять.

(PARI)

{print; t0=getwalltime();

v=[0, 6, 12];
print(#v,"-",v[#v],"   ",v);print;

per = 29; d=v[#v]; w=1; pro=1; m=vector(per,i,[]);

forprime(p=2,per, m[p]=setminus(vector(p,i,i-1),Set(-v%p));w*=p;pro*=#m[p];
print(p,": ",m[p],", len=",#m[p],"   Period = ",w,"   Formul = ",pro));
print;

kkor=0; kcep=vector(#v+1); o1=vector(#v+1); o2=vector(#v+1);

x0=Mod(1,2);

foreach(m[29],m29,
foreach(m[23],m23,
foreach(m[19],m19,
foreach(m[17],m17,
foreach(m[13],m13,
foreach(m[11],m11,
foreach(m[7],m7,
foreach(m[5],m5,
foreach(m[3],m3,

y=chinese([x0,
Mod(m3,3),Mod(m5,5),Mod(m7,7),Mod(m11,11),Mod(m13,13),Mod(m17,17),Mod(m19,19),
Mod(m23,23),Mod(m29,29)
]);

kan=lift(y); kkan++;
valids=0;

if(isprime(kan+2) || isprime(kan+4) || isprime(kan+8) || isprime(kan+10), next);

if(isprime(kan),      valids++);
if(isprime(kan+v[2]), valids++);
if(isprime(kan+v[3]), valids++);

kcep[valids+1]++;

))))) ))));

print;print;print(kkan);print;

for(i=0,#kcep-1,
if(i<10,print1("   "),print1("  "));
print1(i,"/",i);
if(i<10,print1("    "),print1("   "));
print1(kcep[i+1]);

if(i==0, print);
if(i>0 && kcep[i]>=0,
o1[i+1] = kcep[i]/kcep[i+1];
if(o1[i]>0, o2[i+1] = o1[i+1]/o1[i]);

if(o1[i+1]>0, print1(,"       ",round(o1[i+1]*1000)),print);
if(o2[i+1]>0, print (,"       ",round(o2[i+1]*1000)), if(o1[i+1]>0,print));
));

print;print(strtime(getwalltime()-t0));print;

}quit;

В-третьих, вот новые данные. Как видим, k2 сошлись к одному и тому же значению 3029. То есть схождения именно к 3000 в обозримой перспективе не будет, но вот с увеличением диаметра ожидаю улучшения сходимости.

0 -- 23#
         Найдено         k1         k2
            штук
0/0      1271822
1/1      1957807        650
2/2       990769       1976       3042
3/3       165033       6003       3038

0 -- 29#
         Найдено         k1         k2
            штук
0/0     41866178
1/1     52674606        795
2/2     21877244       2408       3029
3/3      2999271       7294       3029

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1698599 писал(а):

Во-первых, для кортежа 3-12 есть A047948. И строчку 3/3 можно сверить по b-файлу.

Расскажу ещё как сверять, вдруг и это непонятно. Ну вот например для интервала $0-17\#$ ранее посчитал цепочки:

Yadryara в сообщении #1698552 писал(а):

0 -- 17#

       Найдено         k1         k2
          штук
   0/0    1770
   1/1    4812        368
   2/2    3950       1218       3312
   3/3    1136       3477       2854

И вот это количество 3/3, равное 1136, можно сверить по этому b-файлу https://oeis.org/A047948/b047948.txt.

Вспоминаем или вычисляем, что $17\# = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17 = 510510$

И смотрим сколько кортежей попало в этот интервал. Видим:

1136 510451
1137 512531

То есть 1136-й кортеж начинается с числа $510451$, которое меньше чем $510510$. Ну а следующий, 1137-й уже явно больше. То есть кортежей как раз именно 1136, ровно столько, сколько найдено с помощью PARI.

Далее увеличил диаметр вдвое, до 24. И посчитал сначала симметричный кортеж [0, 12, 24]:

0 -- 17#
          Найдено         k1         k2
             штук
   0/0        609
   1/1       1561        390
   2/2       1313       1189       3047
   3/3        381       3446       2899

0 -- 19#
        Найдено         k1         k2
           штук
   0/0    20114
   1/1    39023        515
   2/2    24973       1563       3032
   3/3     5338       4678       2994

0 -- 23#
          Найдено         k1         k2
             штук
   0/0     654981
   1/1    1012527        647
   2/2     516234       1961       3032
   3/3      86603       5961       3039

0 -- 29#
           Найдено         k1         k2
              штук
   0/0    24303736
   1/1    30719089        791
   2/2    12807951       2398       3032
   3/3     1762188       7268       3030

Не видно пока никакого улучшения. Сходится примерно к тому же числу: 3029-3032.

А теперь взял, да и предельно сильно сбил симметрию, посчитав кортеж [0, 2, 24]:

0 -- 23#
         Найдено         k1         k2
            штук
   0/0    373164
   1/1    576883        647
   2/2    293650       1965       3037
   3/3     50042       5868       2987

0 -- 29#
           Найдено         k1         k2
              штук
   0/0    13828792
   1/1    17467798        792
   2/2     7281463       2399       3030
   3/3     1003360       7257       3025

Интересные дела. Примерно тот же результат.

Но главный вывод: ответ на вопрос топика — положительный. С поправкой, что даже и всю левую ветвь-то необязательно брать. Достаточно чуть ли не двух левоцентральных чисел.

[waxtep]

Yadryara в сообщении #1698514 писал(а):

а вам понятно о чём я говорю?

я честно говоря до сих пор в некотором ступоре, что "кастрюлю" можно получить как предполагая независимость простоты членов кортежа, так и более аккуратно эту зависимость учитывая. Тут видимо надо приложить некоторое умственное усилие и подтянуть матчасть, не нахожу пока в себе потенции. И я тут возюкаюсь с одной старинной задачкой, которая мне кажется дальней родственницей кортежной тематики, вскоре напишу

[Yadryara]

waxtep в сообщении #1698842 писал(а):

я честно говоря до сих пор в некотором ступоре, что "кастрюлю" можно получить как предполагая независимость простоты членов кортежа, так и более аккуратно эту зависимость учитывая.

Посмотрите повнимательней, кстати. При аккуратном учёте мы же не получаем эталонную биномиальную кастрюлю, а получаем её с поправкой.

Кстати, если применить традиционную дополнительную фильтрацию, то k2 упадут ниже 3000:

0 -- 29#
          Найдено         k1         k2
             штук
   0/0    1915136
   1/1    4603873        416
   2/2    3707567       1242       2985
   3/3    1003360       3695       2976

[Yadryara]

Новые данные:

valids/len  Найдено
            штук             k1         k2         k3
            750496182

     0/0    337886
     1/1    3389091         100
     2/2    15910015        213       2137
     3/3    46281405        344       1614       1324
     4/4    93260826        496       1444       1118
     5/5    137969805       676       1362       1060
     6/6    154754619       892       1319       1033
     7/7    134032968      1155       1295       1018
     8/8    90374536       1483       1284       1008
     9/9    47458495       1904       1284       1000
    10/10   19240815       2467       1295        991
    11/11   5918938        3251       1318        983
    12/12   1336072        4430       1363        967
    13/13   209325         6383       1441        946
    14/14   20446         10238       1604        898
    15/15   940           21751       2125        755

Сумма отклонений (SO) по k2 продолжает уменьшаться на краях кастрюли, стабильно слегка не совпадая в центре:

Binom            132 млн  SO             239 млн  SO             750 млн  SO

2143         2131   2256 125         2141   2171  30         2137   2125  24
1615         1610   1592  28         1611   1596  23         1614   1604  12
1444         1446   1437   9         1445   1439   6         1444   1441   3
1364         1361   1366   5         1362   1363   3         1362   1363   3
1320         1318   1319   3         1319   1318   3         1319   1318   3
1296         1296   1294   2         1295   1294   3         1295   1295   2
1286         1284   1285   3         1285   1284   3         1284   1284   4

[Yadryara]

waxtep в сообщении #1698842 писал(а):

И я тут возюкаюсь с одной старинной задачкой, которая мне кажется дальней родственницей кортежной тематики, вскоре напишу

Ну да, я видел, в теме maxalа. Интересно.

Всё-таки есть ощущение что левая и правая ветви стремятся друг к другу, а не к биномиальному эталону. Разыскал старую стату и пересчитал её с точностью 5 знаков вместо 4-х и посчитал дельту D без учёта знака:

   132 млн        D            239 млн       D            750 млн       D

21311   22560  1249         21412   21708  296         21366   21246  120
16099   15915   184         16108   15959  149         16138   16040   98
14462   14367    95         14449   14394   55         14436   14408   28
13615   13658    43         13618   13628   10         13621   13628    7
13177   13188    11         13185   13183    2         13189   13179   10
12964   12935    29         12954   12943   11         12951   12953    2
12839   12846     7         12846   12842    4         12845   12840    5

Вроде бы подтверждается, но есть и пара гуляний (флуктуаций) в обратную сторону: дельта была 2, стала 10. И была 4, стала 5.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1698514 писал(а):

а Вы зачем-то вновь привели формулы для сверхплотных.

Нет. Я как раз написал общую формулу для вычисления коэффициентов в Х-Л:

vicvolf в сообщении #1696995 писал(а):

vicvolf в сообщении #1696773 писал(а):

Yadryara в сообщении #1696662 писал(а):

$$\approx \int\limits_{2}^{x}\frac{dt}{\ln^2t}\left(C_0 - \frac{C_1}{\ln t} + \frac{C_2}{\ln^2t} - \frac{C_3}{\ln^3t}\right)$$

Видите степень уже изменяется с минус 2-й до минус 5-й.

А Вы подсчитайте $C$ из формулы:

$$C\int\limits_{2}^{x}\frac{dt}{\ln^2t}\approx \int\limits_{2}^{x}\frac{dt}{\ln^2t}\left(C_0 - \frac{C_1}{\ln t} + \frac{C_2}{\ln^2t} - \frac{C_3}{\ln^3t}\right).$$

А Вы подсчитайте таким образом все $C_k$ для $k \leq 15$ и на основании формулы:

vicvolf в сообщении #1696621 писал(а):

$k_2(k,N)=\frac {q^2(k,N)}{q(k-1,N)q(k+1,N)} \sim \frac {(C_k)^2{N^2}/\ln^{2k}(N)}{C_{k-1}C_{k+1}{N^2}/\ln^{k-1}(N)\ln^{k+1}(N)}=\frac{(C_k)^2}{C_{k-1}C_{k+1}}$.

определите $k_2$ и сравните с Вашей таблицей.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1699057 писал(а):

Я как раз написал общую формулу для вычисления коэффициентов в Х-Л:

А почему же не привели численный пример? В который раз прошу Вас об этом.

Я честно пытался сделать разговор предметным — привёл множество таких примеров.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1699177 писал(а):

А почему же не привели численный пример?

Для доказательства это не требуется. Вы же просили теоретического обоснования Вашей гипотезы. Вам построили модель с независимым появлением простых в кортеже. Я ее уточнил. Хотя для "рыхлых" кортежей большого диаметра независимая модель теоретически должна быть достаточно точной. Для "плотных" кортежей надо учитывать зависимость, но в этом случае коэффициенты в Х-Л рассчитать проще.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1699190 писал(а):

Хотя для "рыхлых" кортежей большого диаметра независимая модель теоретически должна быть достаточно точной.

Это связано с тем, что количество простых кортежей на одном интервале зависит от длины кортежа $k$. Когда мы берем плотный кортеж длины $k$, то количество таких кортежей на интервале до $x$ по гипотезе Харди-Литтлвуда пропорционально $x/\ln^k(x)$. Поэтому когда мы удаляем из кортежа простое числа, то их количество на интервале возрастает каждый раз в $\ln(x)$ раз и мало зависит от того, какое простое удаляем. Смотрите таблицу здесь https://translated.turbopages.org/proxy ... me_k-tuple