Грубые нарушения элементарной логики

[BorisK]

Ende
Выделено из темы «Что Вас потрясло в математике?»

Меня потрясло то, что для задачи «выполнимость КНФ» установлено взаимно однозначное соответствие с десятками тысяч задач из разных областей математики (монография Гэри и Джонсона).

Также меня потрясло то, что в математике происходит поиск (порой успешный) весьма сложных соотношений и закономерностей, но при этом не замечаются грубые нарушения элементарной логики. Приведу два примера.
1. Правило обобщения в исчислении предикатов: из формулы $B$ выводится $\forall x B$.

Более абсурдного соотношения, которое опровергается простыми примерами, трудно придумать. И, тем не менее, это правило без всяких ограничений присутствует в большинстве известных руководств по математической логике.

2. Считается бесспорным, что для бесконечного множества можно установить взаимно однозначное соответствие (ВОО) между ним и его строгим подмножеством.

Классический пример такого ВОО --- между натуральным рядом и содержащимся в нем рядом четных чисел.

Пусть начало натурального ряда содержит числа от 1 до $10^{123456789}$. Число его членов больше количества атомов в наблюдаемой части Вселенной примерно в $10^{123456709}$ раз. А число четных чисел в нем равно числу $5(10^{123456788})$ т.~е. ровно половине этого количества. Методом математической индукции можно доказать, что при неограниченном продолжении ряда между множеством чисел натурального ряда и множеством содержащихся в нем четных чисел ВОО установить невозможно. И, тем не менее, принятое ВОО для бесконечных множеств считается безусловной истиной, а любые попытки его опровергнуть встречаются в штыки. А чтобы устранить возможность такого вмешательства в святая святых в будущем, утверждается, что понятие «потенциальная бесконечность» устарело и сейчас не принято в математике.

[Mihr]

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

Методом математической индукции можно доказать, что при неограниченном продолжении ряда между множеством чисел натурального ряда и множеством содержащихся в нем четных чисел ВОО установить невозможно.

Пожалуйста, докажите.

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

Более абсурдного соотношения, которое опровергается простыми примерами, трудно придумать.

Можно сформулировать примеры явно? По Вашей гиперссылке трудно понять, что имеется в виду.

[EminentVictorians]

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

1. Правило обобщения в исчислении предикатов: из формулы $B$ выводится $\forall x B$.

А что вам тут не нравится? Есть у вас какое-то утверждение с переменной $x$, например $x+1 = 1+x$ (где $x$ пробегает множество натуральных чисел). Согласны, что оно справедливо независимо от $x$? Наверное согласны. Ну а раз независимо от $x$, значит верно такое утверждение: $(\forall x \in \mathbb N) x+1 = 1+x$. Логично же.

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

Методом математической индукции можно доказать, что при неограниченном продолжении ряда между множеством чисел натурального ряда и множеством содержащихся в нем четных чисел ВОО установить невозможно.

Можете проще эту мысль выразить? У меня есть подозрение, что вы тут говорите не о "множестве чисел натурального ряда", а о "множестве чисел начального отрезка натурального ряда".

[mihaild]

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

И, тем не менее, принятое ВОО для бесконечных множеств считается безусловной истиной

Как и множество других тривиальных теорем.

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

Методом математической индукции можно доказать, что при неограниченном продолжении ряда между множеством чисел натурального ряда и множеством содержащихся в нем четных чисел ВОО установить невозможно

Что такое "неограниченное продолжение ряда"?

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

утверждается, что понятие «потенциальная бесконечность» устарело и сейчас не принято в математике

Ну да, устарело. Ничего полезного по его мотивам не придумали.
Но никто не запрещает попробовать придумать. Только на принятом сейчас уровне строгости, а не рукомашестве.

[Geen]

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

взаимно однозначное соответствие (ВОО)

Нарушение логики тут усматриваю я.

[BorisK]

Прошу прощения, не заметил, что взаимно однозначное соответствие обозначил неправильно ВОО, а надо бы ВОС.

Mihr в сообщении #1701280 писал(а):

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

Методом математической индукции можно доказать, что при неограниченном продолжении ряда между множеством чисел натурального ряда и множеством содержащихся в нем четных чисел ВОО установить невозможно.

Пожалуйста, докажите.

Ну, примерно так.
Начнем построение рядов $\mathbb{N}$ - натурального и $\mathbb{N}_2$ - четных чисел. Пусть $N$ - значение последнего числа в ряде $\mathbb{N}$.
Для $N=1$ соответствия нет, так как соответствующее четное число в ряде $\mathbb{N}_2$ отсутствует. Для $N=2$ соответствия тоже нет, так как для числа 1 нет соответствующего четного числа. При увеличении $N$ на 1 в ряде $\mathbb{N}_2$ появляется соответствующее четное число, если $N$ нечетное и не появляется, если $N$ четное. Из этого следует, что при отсутствии ВОС для числа $N$ ВОС для числа $N+1$ тоже невозможно.

Mihr в сообщении #1701280 писал(а):

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

Более абсурдного соотношения, которое опровергается простыми примерами, трудно придумать.

Можно сформулировать примеры явно? По Вашей гиперссылке трудно понять, что имеется в виду.

Пусть предикат $B(x,y)$ означает отношение «Результаты сдачи экзаменов в группе Т1», в котором переменная $x$ - фамилия студента, а переменная $y$ - соответствующий предмет. Если некоторые студенты группы Т1 не сдали каких-либо экзаменов, то отношение $\forall yB(x,y)$ будет представлять только часть отношения $B(x,y)$, что явно противоречит правилу обобщения.

[Anton_Peplov]

BorisK в сообщении #1701279 писал(а):

Считается бесспорным, что для бесконечного множества можно установить взаимно однозначное соответствие (ВОО) между ним и его строгим подмножеством.

Множество называется бесконечным, если оно содержит любое наперед взятое число элементов. Множество называется бесконечным по Дедекинду, если оно равномощно собственному подмножеству. То, что эти два понятия эквивалентны - это теорема, которая доказывается в ZFC, причем существенно используется аксиома выбора. Без аксиомы выбора этого доказать нельзя.

Кстати, для ВОО/ВОС есть короткое красивое слово "биекция".

-- 10.09.2025, 20:11 --

BorisK в сообщении #1701304 писал(а):

Ну, примерно так.

А давайте примерно так: $f \colon 2\mathbb N \to \mathbb N \colon f(n) = n/2$ (нумеруем четные числа)
$f^{-1} \colon \mathbb N \to 2\mathbb N \colon f^{-1}(m) = 2m$ (восстанавливаем четное число по номеру).

Это взаимно-однозначное соответствие или мех собачий?

Если это не взаимно-однозначное соответствие, укажите четное число $n$, которому соответствует менее одного или более одного номера $f(n)$.

[mihaild]

BorisK в сообщении #1701304 писал(а):

Пусть предикат $B(x,y)$ означает отношение «Результаты сдачи экзаменов в группе Т1»,

Идем читать определение предиката. Хотя бы то, что он на конкретных аргументах должен принимать значения $\top / \bot$.

[BorisK]

Anton_Peplov в сообщении #1701305 писал(а):

BorisK в сообщении #1701304 писал(а):

Ну, примерно так.

А давайте примерно так: $f \colon 2\mathbb N \to \mathbb N \colon f(n) = n/2$ (нумеруем четные числа)
$f^{-1} \colon \mathbb N \to 2\mathbb N \colon f^{-1}(m) = 2m$ (восстанавливаем четное число по номеру).

Это взаимно-однозначное соответствие или мех собачий?

1) А где ошибка в моем доказательстве?
2) В Вашем (общепринятом) ВОС получается, что каждому числу из ряда $\mathbb N$ соответствует в 2 раза большее число из ряда $2\mathbb N$. Т.е. на любом конечном отрезке в $\mathbb N$ присутствуют числа, которых нет в $2\mathbb N$. А как тогда возможно отношение строгого включения между множествами четных чисел и всех чисел?

-- 10.09.2025, 20:41 --

mihaild в сообщении #1701310 писал(а):

BorisK в сообщении #1701304 писал(а):

Пусть предикат $B(x,y)$ означает отношение «Результаты сдачи экзаменов в группе Т1»,

Идем читать определение предиката. Хотя бы то, что он на конкретных аргументах должен принимать значения $\top / \bot$.

Прошу прощения за неточность. Речь идет о возможной интерпретации предиката.

[mihaild]

BorisK в сообщении #1701313 писал(а):

А где ошибка в моем доказательстве?

Одна из ошибок -

BorisK в сообщении #1701304 писал(а):

Начнем построение рядов $\mathbb{N}$

Что это значит - никому не ведомо.
На всякий случай, приведу стандартные определения:
1. Натуральные числа $\mathbb N$ - минимальное по включению индуктивное множество.
2. Биекция между множествами $X$ и $Y$ - подмножество $f$ декартова произведения $X \times Y$, такое что $\forall x \in X \exists! y \in Y: \langle x, y\rangle \in f \wedge \forall y \in Y \exists! x \in X: \langle x, y \rangle \in f$.

BorisK в сообщении #1701313 писал(а):

Т.е. на любом конечном отрезке в $\mathbb N$ присутствуют числа, которых нет в $2\mathbb N$.

Ну да, вообще есть довольно много нечетных чисел. И что?

[BorisK]

mihaild в сообщении #1701314 писал(а):

BorisK в сообщении #1701313 писал(а):

Т.е. на любом конечном отрезке в $\mathbb N$ присутствуют числа, которых нет в $2\mathbb N$.

Ну да, вообще есть довольно много нечетных чисел. И что?

Это я поторопился. Хотел сказать, что на любом конечном отрезке в $2\mathbb N$ присутствуют числа, которых нет в $\mathbb N$.

[mihaild]

BorisK в сообщении #1701315 писал(а):

Хотел сказать, что на любом конечном отрезке в $2\mathbb N$ присутствуют числа, которых нет в $\mathbb N$.

Хм. Ну вот конечный отрезок $\{2, 4\}$ из $2\mathbb N$. Какое конкретно число из него отсутствует в $\mathbb N$?

[Geen]

BorisK в сообщении #1701315 писал(а):

на любом конечном отрезке в $2\mathbb N$ присутствуют числа, которых нет в $\mathbb N$.

То есть есть такие чётные числа, которые не являются натуральными?...

Но как бы то ни было, при чём тут "конечные отрезки", которые по определению являются конечными множествами? если обсуждаются НЕ конечные множества?

[BorisK]

mihaild в сообщении #1701318 писал(а):

BorisK в сообщении #1701315 писал(а):

Хотел сказать, что на любом конечном отрезке в $2\mathbb N$ присутствуют числа, которых нет в $\mathbb N$.

Хм. Ну вот конечный отрезок $\{2, 4\}$ из $2\mathbb N$. Какое конкретно число из него отсутствует в $\mathbb N$?

Этому отрезку соответствует отрезок $\{1, 2\}$ в $\mathbb N$. Числа 4 в нем нет.

[mihaild]

BorisK в сообщении #1701323 писал(а):

Этому отрезку соответствует отрезок $\{1, 2\}$ в $\mathbb N$

Не знаю, что это значит. Никакого соответствия между отрезками Anton_Peplov не строил.