Но я не предлагал передавать теорию, я предлагал рассматривать арифметику как в физике природу.
Если нет способа объяснить, что такое "реальная арифметика", то и говорить о такой теории нет смысла. Даже самому себе такую теорию будет трудно передать: не исключено, что сейчас Вы понимаете под ней одно, а через полчаса - другое.
Но подмножество утверждений арифметики Пеано без переменных, кроме закрытых ограниченными кванторами, это вполне однозначное определение. Правда непонятно, зачем выкидывать из арифметики Пеано всё остальное.
В физике природа, насколько я знаю, рассматривается точно таким же образом: никто целенаправленно обобщающие утверждения не выкидывает. А таких, надо сказать, большинство (если открыть любой учебник или статью и начать классифицировать утверждения).
Да, функция Аккермана не является вычислимой примитивно-рекурсивно. Но не понял, где там свободные переменные.
Свободные переменные - это

и

в тех трёх строчках рекурсивного определения Петер в статье википедии, на которые я давал ссылку.
Тут дело не в непримитивной рекурсивности. Примитивно рекурсивные функции тоже определяются обобщающими утверждениями. Например, сложение определяется аксиомами

и

, в которых есть свободная переменная

, что автоматически предполагает проставление на ней
неограниченного квантора всеобщности.
Посчитать (гипотетически) значение функции для фиксированных значений аргументов мы сможем, а утверждать, что она всюду определена - нет.
Если мы знаем, что значение функции посчитать "в принципе" мы можем для любого аргумента, то зачем нам отказываться от этого обобщающего
теоретического утверждения?
Вводя бесконечные множества и распространяя на элементы, пробегающие бесконечные множества, утверждения, мы верим, что это имеет прямое отношение к реальности
Это же просто теория. А к реальности она имеет отношение, потому что мы не знаем, каким конкретно количеством элементов множества мы должны ограничить своё утверждение, и в итоге решаем, что никаким количеством ограничивать смысла нет. Вот есть утверждение о том, что если к 100500 прибавить единицу, то нуль не получится - оно частное и как будто "в принципе" экспериментально проверяемо (на спичках). Но почему мы не имеем право считать, что это верно для любого числа? Спичек во Вселенной не хватит? Так это же всего лишь определение понятий (как и любая теория): если вдруг обнаруживается, что ещё одну спичку мы не можем добавить по чисто техническим причинам, мы просто понимаем, что понятие о добавлении спички не может быть проверено в данной ситуации, вот и всё. Для любой теории можно придумать ситуацию, в которой её "в лоб" применить не удастся.