Интерпретации квантовой механики

[amon]

warlock66613 в сообщении #1696424 писал(а):

Это верно, но Барандес предъявляет в нулевому моменту времени особые требования

IMHO, это какая-то лажа. На досуге, может быть, посмотрю исходную статью.

[manul91]

Все ниже - для простейшего случая скалярной одномерной свободной одиночной частицы на ограниченном отрезке.

1) Квантовомеханический случай:
Если дискретизовать отрезок на $N$ "положений", исходное состояние определяется функцией $\psi(X_i,0), (i = 0...N-1)$, тоесть $N$ комплексными числами отвечающими $2N$ вещественными степенями свободы. Условие нормализации снижает их на одну и в итогe остаются $2N-1$ вещественных степеней свободы.
Динамика в дискретных положений в яме определена уравнением Шредингера (гамильтониан известен, это все что нужно нам знать чтобы предсказать состояние в последующих моментов времени) поэтому эти степени $2N-1$ свободы определяют полностью и состояние в разных моментов, и эволюцию системы.
Т.е. вообще "возможные эволюции одиночной частицы в N-дискретизованной-яме", определяются и этими $2N-1$ вещественными степенями свободы.

2) Классический случай
Исходное состояние определяется вероятностями $p_i, (i = 0...N-1)$ частицы быть в состоянии $i$, которые (вместе с условия нормализации) дает $N-1$ вещественных степеней свободы начального состояния.
В классике импульсы ответственны за эволюцию. Поэтому в данном дискретизованном случае интуитивно, "возможных динамик всех систем" будет соответствовать матрица вероятностных переходов с состояния $i$ к состоянию $j$: $T_{ij} (i,j = 0...N-1)$.
Распределение вероятностей "в следующий момент времени" будет $p_{j,next} = \sum_{i=0}^{N-1} T_{ij}p_i$
На эволюционной матрицы $T_{ij}$ нужно наложить $2N-1$ условий нормировки (суммы вертикалей и горизонталей должны быть единичными; т.е. сумма вероятностей "выходов" и "приходов" из/к любому состоянию равна 1). В итоге имеем $N^2$ вещественных чисел с $2N-1$ ограничениями т.е. $N^2-2N+1$ вещественных степеней свободы ("слишком много" по сравнению с квантовым случаем, даже прежде добавления $N-1$ вещественных степеней свободы для начального состояния).
Однако мы не учли что речь идет именно для динамики "на отрезке" т.е. "одномерное соседство состояний" (в квантовым случаем это учитывается из того что гамильтониан для одномерной ямы известен; для общего случая "каких-нибудь" N состояний нужно знать матрицу гамильтониана но у нас же не "общий случай" а именно "яма").
С некоей (довольно большой) натяжкой "соседство" можно определить например потребовав чтобы все элементы $T_{ij}$ кроме главного диагонала и двух соседних диагоналов, были нулевыми. Т.е. для каждого состояния вероятности "выходов" только три - к нему самому или к "двух соседних" (то же самое для вероятностей "прихода").
В итоге у нас динамика переходов при ограничений некоего "онтологического соседства" будет определяться не всеми $N^2$, а только $3N-2$ ненулевыми вещественными числами; ограничивая их $2N-1$ условиями нормировки итого останется $N-1$ вещественных степеней свободы для динамики.
Добавляя $N-1$ степеней свободы начального состояния; для всевозможных "классических вероятностных одночастичных систем на N-одномерно-соседних-состояний" получим $2N-2$ вещественных степеней свободы.

Это число уже того же порядка $2N$, как и в квантовом случае ($2N-1$) (разницу в одну степень свободы наверное можно как-то учесть из-за краевыми условиями, произвольностью фазового множителя в квантовом случае, или еще чего).

В буквальном смысле такая "модель" конечно соответствия описаний не даст, она просто иллюстрация к тому что в данном случае возможно удастся рассматривать количество классических и квантовых степеней свободы как одного порядка.

Поэтому найти соответствие одному к другому путем неким (невнятным) тасованием "онтологических сущностей" для данного конкретного случая частицы в яме, имхо возможно - задача не безнадеждная.

Однако имхо, все такие подходы обречены, т.к. никаким "тасованием онтологических сущностей" (кроме таких, что от классики по сути ничего не останется) нельзя промоделировать хотя бы нарушений неравенств Белла для двух спутанных частиц.

В мутной статьи Барандеса ничего насчет этого случая нет, подобные попытки у Т`хоофта тоже в этого уперлись.

[warlock66613]

manul91 в сообщении #1696432 писал(а):

нельзя промоделировать хотя бы нарушений неравенств Белла для двух спутанных частиц

Это исключительно вопрос локальности или нелокальности теории. Если теория нелокальна, ничто не мешает неравенствам Белла нарушаться. Обсуждаемая теория по крайней мере кинематически нелокальна, что автоматически снимает вопрос о неравенствах Белла (кинематическая нелокальность показывается в разделе статьи "3.9. Entanglement"). Вопрос, который остаётся -- является ли теория при этом динамически локальной или же нет? Этот вопрос разбирается в отдельной статье New Prospects for a Causally Local Formulation of Quantum Theory.

'т Хоофт же постулирует локальность, причём из-за детерминизма динамики и других ограничений не может различать кинематическую локальность от динамической, поэтому и возникают трудности с неравенством Белла. Впрочем, он их смело отметает, доказывая необходимость супердетерминизма.

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

Не перестаю удивляться живучести антикварной теории основанной на волновой функции Шрёдингера в то время как давно известна система уравнений для полей Дирака взаимодействующих с калибровочными полями в искривлённом пространстве событий

[warlock66613]

SergeyGubanov, не поля, а квантовые поля. Которые, внезапно, подчиняются уравнению Шрёдингера.

[manul91]

warlock66613 в сообщении #1696436 писал(а):

Это исключительно вопрос локальности или нелокальности теории. Если теория нелокальна, ничто не мешает неравенствам Белла нарушаться. Обсуждаемая теория по крайней мере кинематически нелокальна, что автоматически снимает вопрос о неравенствах Белла (кинематическая нелокальность показывается в разделе статьи "3.9. Entanglement").

Это то что я и говорил: "тасованием онтологических сущностей" - "кроме таких, что из классики по сути ничего не останется".
Теория - нелокальна во времени - выделенные моменты м/у которым как я понимаю состояние системы зависит непрерывно-нелинейно-интегрально от всего промежутка (хотя в итоге для "правильных времен" - линейно согласованно).
Далее "для согласованности" она eще вроде должна быть нелокальной также и "в пространстве" (кроме "временной неделимости") - о чем вы упоминаете выше?
И что с "классики" остается - совершенно ничего. Кроме как я понимаю каких-то выделенных моментов (измерений?) - но это должны быть не только моменты а и некие пространственно-дискретно-выделенные "состояния" в суперпозиции.
Во всяком случае статья очень мутная - непонятно что брать как онтологических "истинных состояний", и как выбирать "правильные моменты времени".

-- 06.08.2025, 03:04 --

SergeyGubanov в сообщении #1696438 писал(а):

(Оффтоп)

Не перестаю удивляться живучести антикварной теории основанной на волновой функции Шрёдингера в то время как давно известна система уравнений для полей Дирака взаимодействующих с калибровочными полями в искривлённом пространстве событий

Допустим, "..даже путь в тысячу ли начинается с первого шага"

-- 06.08.2025, 03:34 --

warlock66613 Если можно, простыми словами, пожалуйста поясните - что такое "кинематическая", и что такое "динамическая" нелокальность?

[yesterday]

Я не знаю, что такое "нелокальна во времени".
Вообще, нелокальность рушит все симметрии полей. Так что, теории с нелокальностью--заведомо патологичны.

[manul91]

warlock66613 в сообщении #1696436 писал(а):

'т Хоофт же постулирует локальность,...

Да, у него матрицы переходов просто пермутационные (с одной единицы и все остальные нули в каждой строке, и в каждой вертикали ровно одна единица) т.е. динамика жестко задана, и в итоге просто перепутывает порядок исходных вероятностей по дискретных промежутков эволюционного времени (комплексность возникает искуственно только в промежуточных времен). Тем более у него не стыкуются степени свободы системы в квантовом vs классическом случае... Короче все там заведомо плохо имхо.

[Cos(x-pi/2)]

warlock66613 в сообщении #1696424 писал(а):

amon в сообщении #1696419 писал(а):

Формула, приведенная уважаемым Cos(x-pi/2), верна для любого начального момента времени.

Это верно, но Барандес предъявляет к нулевому моменту времени особые требования: это не просто произвольный момент времени. Одним из следствий из этих приведённых в статье требований, которые должны удовлетворяться, чтобы момент времени можно было брать за нулевой, как раз и является $\psi_{j'}^*(0)\,\psi_j(0) = 0\quad(j \ne j')$.

Но тогда теория Барандеса не может заменить или "объяснить" квантовую механику, а если на то претендует, то является лженаукой. Потому что квантовая механика проверена опытом, ограничений на выбор моментов времени в ней нет, и, значит, их не должно быть в адекватной новой теории.

Задачки об одномерном свободном движении частицы, о состояниях частицы в бесконечной прямоугольной потенциальной яме, а затем и в потенциале гармонического осциллятора, - они простейшие учебные в квантовой механике. Причём, в случае гауссовского волнового пакета при свободном движении и в случае когерентного состояния осциллятора ответы для $p(x,t)=|\psi(x,t)|^2$ получаются в аналитическом виде. В случае прямоугольной ямы пример с численными расчётами был мной приведён выше.

Если те же ответы в простейших задачках можно без квантовой механики вывести из формулы Барандеса (записываю её в интегральной форме)

$$p(x,t)=\int dx'\,\Gamma(x,x';t)\,\,p(x',0)\qquad (**)$$

то покажите, пожалуйста, как это делается; напишите, чему равна $\Gamma(x,x';t)$ в явном виде. Предполагаю, Вам и самому это должно быть интересно. И это необходимо, чтобы можно было расчёты по формуле Барандеса доводить до конца, строить графики $p(x,t)$ (как в разобранном мной примере).

А иначе эта формула - ни о чём, она тривиальна, если для её применения необходимо пользоваться квантовой механикой. Действительно, в таком случае задаём нормированную начальную волновую функцию $\psi(x,0)$ (так что интеграл от $p(x,0)=|\psi(x,0)|^2$ равен единице). По этой начальной волновой функции находим из волнового уравнения Шредингера конечную волновую функцию $\psi(x,t).$ Чтобы написать ответ в виде формулы Барандеса, просто полагаем

$$\Gamma(x,x';t)=|\psi(x,t)|^2$$

И всё:

$$p(x,t)=\int dx'\,\Gamma(x,x';t)\,\,p(x',0)=|\psi(x,t)|^2\,\int dx'\,p(x',0) = |\psi(x,t)|^2$$

Именно к такой тривиальщине сводится устанавливаемое Барандесом "соответствие" между его формулами для вероятности и квантовой механикой. Он просто переписал правило Борна в виде $(**)$ (или $(*)$ для дискретного варианта) и это у него называется альтернативным подходом. А если добавлять сюда какие-то условия про "правильный выбор начального момента времени", то это уже будет лженаука.

Условие $\psi_{j'}^*(0)\,\psi_j(0) = 0\quad(j \ne j')$ означает, что $\psi_{j'}(0)\sim \delta_{j'j},$ т.е. $\psi(x',0) \sim \delta(x'-x).$ Но в квантовой механике не требуется, чтобы начальное состояние обязательно описывалось бы дельта-функцией. Причём, никакой волновой пакет в ходе эволюции, диктуемой уравнением Шрёдингера, в дельта-функцию не превращается, частица ни с того ни с сего не локализуется сама собой в точке. Если начальное состояние задать-таки в виде дельта-функции, то, как известно в нерелятивистской квантовой механике, такой пакет мгновенно расплывается по всему пространству, получается тривиальный результат: конечная плотность вероятности $p(x,t)$ не зависит от $x.$ В общем, у Барандеса или лженаука, или псевдонаука (наукообразие).

[warlock66613]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1696561 писал(а):

напишите, чему равна $\Gamma(x,x';t)$

Это хорошее предложение, и я его поддерживаю. Но это не так просто сделать, так как измерение не формирует точку делимости для измеряемой системы, и, следовательно, надо рассматривать не просто систему саму по себе, но систему в совокупности с измерительным прибором, сформировавшим начальную волновую функцию. Но я попробую это проделать, мне действительно и самому интересно.

[warlock66613]

Если взять для начала систему попроще, а именно, кубит с гамильтонианом $\begin{pmatrix} 0 & -A \\ -A & 0 \end{pmatrix}$, то предварительный результат такой.

Пусть система была подвергнута измерению энергии и в результате измерения получено значение $A$. Пусть это измерение завершилось в момент $t'$. Тогда после этого момента $t'$ у системы есть волновая функция, и эта волновая функция есть $\Psi_k(t) = - \sqrt 2 (k-\frac 3 2) \exp(-iA(t-t'))$, $k=1,2$. Тогда вероятность обнаружить систему в состоянии $k$ по правилу Борна $(23)$ есть $p_k(t) = \frac 1 2$, причём этот вывод справедлив для любого из двух возможных чистых начальных состояний системы — как для $p_k(0) = 2-k$, так и для $p_k(0) = k-1$. Отсюда получаем четыре уравнения для четырёх величин $\Gamma_{kk_0}(t \leftarrow 0)$ (для $t \geqslant t'$) с решением $\Gamma_{kk_0}(t \leftarrow 0) = \frac 1 2$.

Это всё очень тривиально, конечно, но уже можно проследить схему рассуждений как легко получить $\Gamma$ для времён после установления начальной волновой функции. Так вот с ходу кажется, что переход к общему случаю прямолинеен и прост. Для $0 \leqslant t < t'$, однако, всё сложнее.

Также нужно понимать, что хотя теоретически вычисленные вероятности переходов справедливы для сколь угодно большого $t \geqslant t'$, на самом деле в какой-то момент систему вновь приведут во взаимодействие с измерительным прибором. И пока будет совершаться это измерение, $\Gamma$ будут опять же совершенно иными. А когда измерение завершится в некоторый момент $t''$, новые $\Gamma$ для $t \geqslant t''$ будут всецело определяться результатом нового измерения и по сути никак не будут связаны с $\Gamma$ вычисленными выше.

-- 10.08.2025, 01:40 --

Также в процессе разборки с $\Gamma$ я понял, что не совсем верно ответил на вопрос realeugene тут. То что я сказал было бы верно, если бы измерение создавало точку делимости для измеряемой системы. Но точка делимости создаётся только для прибора, поэтому коллапс более сложен, чем я его описал в том сообщении. Я постараюсь исправиться и изложу правильную версию позже.

[bb77]

warlock66613
Сильно не в тему ваших последних сообщений, но что скажете о эксперименте с тремя последовательными повернутыми поляризаторами?
("сильно не в тему ваших прошлых сообщений" - Хотя кстати посмотрел, "локальность" в недавних сообщениях всё-таки упоминалась.)
Споры о "локальность"/"не локальность" считаю в принципе просто играми с терминами и определениями, но в случае этого эксперимента как вообще сторонники одной и второй стороны таких споров могут по-разному происходящее обозвать? Вроде этот эксперимент в этом плане максимально однозначный. Поляризаторы ведь не замедляют проход фотона от места излучения в место регистрации хоть сколько-нибудь-заметно, чтобы на это хоть что-то можно было списать.
Или я неправильно этот эксперимент понимаю? Вроде же происходящее в нём нельзя описать так что "фильтры просто вращают плоскость поляризации"?

[warlock66613]

bb77, вы не могли бы описать подробнее причём тут (тут — то есть к упомянутому вами эксперименту) локальность или нелокальность?

[bb77]

warlock66613 если происходящее в этом эксперименте нельзя описать как "фильтры просто вращают плоскость поляризации", то всё происходит так будто фотон взаимодействует с первыми фильтрами в соответствии с тем есть ли и какие будут последующие фильтры, хотя в тот момент(условного взаимодействия с первыми фильтрами, оцененого что он тогда наступил, этот момент, по скорости света и расстоянию до фильтра) ещё не прошло времени "расстояние от места испускания фотонов до дальних фильтров, делить на "с" ".

[Cos(x-pi/2)]

warlock66613

В этом месте

warlock66613 в сообщении #1696962 писал(а):

Тогда вероятность обнаружить систему в состоянии $k$ по правилу Борна $(23)$ есть $p_k(t) = \frac 1 2$, причём этот вывод справедлив для любого из двух возможных чистых начальных состояний системы — как для $p_k(0) = 2-k$, так и для $p_k(0) = k-1$

потерян важный для практики эффект - "квантовые биения". Потому что Вы рассмотрели два разных варианта постановки опыта, а ещё два почему-то пропустили, и в одном из пропущенных вариантов квантовые биения как раз и есть. Понятно, что Вы стремились написать всё кратко.

Писать подробно - да это нудно, долго, но иначе так и останется барандесовская путаница. Поэтому не ленюсь и пишу подробно, как полагается по квантовой механике:

Раз гамильтониан $\hat{H}$ задан в виде матрицы $2\times 2,$ значит есть два базисных вектора состояний: $|1\rangle$ и $|2\rangle .$ Как и Вы, нумерую их индексом $k=1,2.$ Это не стационарные состояния, т.е. не состояния с определённой энергией, так как гамильтониан в этом базисе не диагонален. Назову их условно состояниями с определённым "положением" - они собственные для некоего оператора положения

$$\hat{X}=\sum_k x_k |k\rangle \, \langle k |$$

Решив задачу на собственные значения гамильтониана, $\hat{H}|E_n\rangle = E_n |E_n\rangle,$ получаем два уровня энергии: $E_{-}=-A,$ $E_{+}=A,$ и принадлежащие им два стационарных состояния (определённые с точностью до фазовых множителей, несущественных в этой записи):

$$|E_{-}\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle),\qquad |E_{+}\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |2\rangle)\eqno (1)$$

Общее решение $|\psi(t)\rangle$ нестационарного уравнения Шрёдингера имеет вид суперпозиции стационарных состояний. Если для произвольного момента времени $t'$ коэффициенты суперпозиции задать численно их модулями $|C_n|$ и фазами $\gamma_n,$ то в произвольный момент времени $t$ имеем

$$|\psi(t)\rangle = C_{-}(t)\,|E_{-}\rangle + C_{+}(t)\,|E_{+}\rangle =$$

$$=\frac{C_{-}(t)+C_{+}(t)}{\sqrt{2}}\,|1\rangle + \frac{C_{-}(t) - C_{+}(t)}{\sqrt{2}}\,|2\rangle \eqno (2)$$

где

$$C_{-}(t)=|C_{-}|\,e^{i\gamma_{-}+i(t-t')A},\qquad C_{+}(t)=|C_{-}|\,e^{i\gamma_{+}-i(t-t')A}\eqno (3)$$

$$|C_{-}(t)|^2 + |C_{+}(t)|^2 =1\eqno (4)$$

В наш (Ваш) гамильтониан измерительные приборы не входят, поэтому $|\psi(t)\rangle$ описывает эволюцию кубита между моментами времени $t'$ и $t$ без измерений - без вмешательства приборов. Если коэффициенты в $|\psi(t)\rangle$ заданы для момента времени $t',$ то этот момент следует считать начальным в данной эволюции, т.е. $t \geqslant t',$ так как начальные условия в физике обычно задаются для прошлого, а не для будущего рассматриваемой системы. В квантовой механике системы с динамикой, описываемой гамильтонианом без вмешательства приборов, нет нескольких начальных условий (типа при $0,$ а потом ещё и при $t').$ Просто $|\psi(t)\rangle$ при $t=t'$ описывает начальное состояние, приготовленное тем или иным измерением в ранний момент времени $t',$ и та же самая зависимость от времени $|\psi(t)\rangle$ описывает результат эволюции к произвольному моменту $t \geqslant t',$ в который можно произвести любое измерение.

У нас в рассмотрении присутствуют два базиса - базис с определёнными энергиями $E_n,$ где $n=-,+,$ и базис с определёнными положениями $x_k,$ где $k=1,2.$ Поэтому можем для любого момента $t \geqslant t'$ рассмотреть два варианта измерений и выписать по правилу Борна соответствующие выражения вероятностей: $p_n(t)$ - для обнаружения системы с определённой энергией, либо: $p_k(t)$ - для обнаружения системы в определённом положении. Из верхней строчки в $(2)$ получаем:

$$p_n(t)=|C_n(t)|^2=|C_n|^2,\qquad n=-,+\eqno (5)$$

Из нижней строчки в $(2)$ с учётом $(4)$ получаем:

$$p_1(t)=\frac{1}{2}\,|C_{-}(t)+C_{+}(t)|^2=\frac{1}{2}+|C_{-}\,C_{+}|\,\cos(2A(t-t')+\gamma)$$

$$p_2(t)=\frac{1}{2}\,|C_{-}(t)-C_{+}(t)|^2=\frac{1}{2}-|C_{-}\,C_{+}|\,\cos(2A(t-t')+\gamma) \eqno (6)$$

где

$$\gamma=\gamma_{-}-\gamma_{+} \eqno (7)$$

Варианты опытов:

1) Начальное состояние приготавливается (проекционным измерением) как состояние с определённой энергией, и затем производится измерение тоже энергии. Тогда, согласно $(5)$ имеем $p_n(t)=p_n(t')=|C_n|^2.$ Например, если было приготовлено состояние с энергией $A,$ т.е.

$$|\psi(t')\rangle=|E_{+}\rangle $$

то $C_{+}=e^{i\gamma_{+}},$ так что: $|C_{+}|^2=1,$ $C_{-}=0$ (учли нормировку $(4)).$ Т.е. стационарное состояние в ходе эволюции без внешнего вмешательства в систему остаётся стационарным.

2) Начальное состояние приготавливается как состояние с определённой энергией, и затем измеряется положение. Тогда имеем формально $p_n(t')=|C_n|^2,$ а конечные вероятности $p_k(t)$ вычисляются из формул $(6).$ Например, если было приготовлено состояние с энергией $A,$ т.е. $|C_{+}|=1$ и $C_{-}=0,$ то

$$p_1(t)=p_2(t)=\frac{1}{2}$$

Этот вариант Вами рассмотрен.

3) Начальное состояние приготавливается как состояние с определённым положением и затем измеряется энергия. Тогда $p_k(t')$ выписываем по формулам (6) при $t=t',$ задав должным образом $C_n,$ а конечные вероятности есть $p_n(t)=|C_n|^2.$ Например, если $|\psi(t')\rangle=|1\rangle ,$ то $C_{-}=C_{+}=e^{i\gamma_{+}}/\sqrt{2}.$ Если $|\psi(t')\rangle=|2\rangle ,$ то $C_{-}=-C_{+}=e^{i\gamma_{-}}/\sqrt{2}.$ В обоих случаях $p_{-}(t)=p_{+}(t)=1/2.$ Этот вариант Вами рассмотрен.

4) Начальное и конечное состояния это состояния с определённым положением. Например, если

$$|\psi(t')\rangle=|1\rangle $$

то $C_{-}=C_{+}=e^{i\gamma_{+}}/\sqrt{2},$ $\gamma=0,$ так что $p_1(t')=1,$ $p_2(t')=0,$ а для конечных вероятностей получаем выражения:

$$ p_1(t)=\frac{1}{2}\,(1+\cos(2A(t-t')))=\cos^2(A(t-t')),\qquad p_2(t)=\sin^2(A(t-t'))$$

Это квантовые биения: система в ходе эволюции периодически переходит из одного состояния в другое.

Не вижу здесь никакого способа ввести $\Gamma_{ij},$ кроме уже упоминавшегося тривиального: $\Gamma_{ij}=p_i(t),$ где $p_i(t)$ вычисляется по правилам квантовой механики. Индекс $i$ это либо $n,$ либо $k,$ либо номер ещё каких-то других базисных состояний, если рассматриваются измерения ещё и других физических величин. Как видим, $p_i(t)$ зависит от выбора измеряемой величины, хотя модель эволюционирующей системы одна и та же. Поэтому не может быть универсальной $\Gamma_{ij},$ т.е. зависящей только от модели системы без измерительных приборов; а включить описание макроскопических приборов в пригодный для реальных расчётов гамильтониан невозможно. И, как видим это не нужно; все практические применения квантовой теории в физике прекрасно обходятся без наблюдателей с их приборами в гамильтонианах. И в классической механике тоже так дело обстоит.