Это стандартное определение равновесия Нэша. Нужно найти именно пару стратегий, такую, что каждая из них является лучшим ответом на другую. Если Вы хотите, чтобы оппонент не мог точно знать ваш выбор - используйте недетерменированную стратегию. Но само распределение вероятностей считается известным.
Дополню, так сказать, для полноты картины.
1. Если стратегия выбирается детерминировано всеми игроками - это называется "чистые стратегии".
2. Если стратегии выбираются игроками случайным образом (но с известным распределением вероятностей) - это называется "смешанные стратегии".
3. Равновесие Нэша в чистых стратегиях может не существовать.
4. Равновесие Нэша в смешанных стратегиях всегда существует. Но не уверен, что условия этой теоремы покрывают эту задачу.
-- 07.07.2025, 06:42 --Что-то меня осенило: ведь

сразу восстанавливается по любой известной функции

:
![$f(x,y)=\theta\left(\operatorname{sgn}(x-y)\left[x(1-g(y))+y(1-g(x))\right]\right)$ $f(x,y)=\theta\left(\operatorname{sgn}(x-y)\left[x(1-g(y))+y(1-g(x))\right]\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/3/3d3bed8c5c0881302a66125503a58c1f82.png)
. А это значит, мы можем, подставив это выражение для

под знак интеграла, вести оптимизацию только по функции одного аргумента

.
Так оно и делается стандартным образом.
но результаты численного моделирования намекают, что оптимальная стратегия для Боба такова: существуют некие оптимальные

и

,

, что если Бобу предъявляют число, меньшее

, то он говорит "это минимум, а спрятан максимум", если предъявлено число, большее

, то Боб говорит "это максимум", в противном случае (на интервале
![$[x_1, x_2]$ $[x_1, x_2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/4/8849504b120d0b1b01bda1d2096586bc82.png)
) Боб выбирает ответ с вероятностью

.
Боб знает стратегию Алисы, поэтому он для любого числа может сказать: оно чаще бывает большим, или чаще бывает меньшим. А это значит, что у Боба чистая стратегия
![$g:[0,1] \to \{0,1\}$ $g:[0,1] \to \{0,1\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/0/8d0c883f022dcd0c7383df3ac110e30182.png)
При этом области, где ноль, а где единица могут быть любыми (будет зависеть от стратегии Алисы).
-- 07.07.2025, 06:49 --Не то, чтобы я сразу понял, как это делать (вроде бы теория минимизации функционала хорошо разработана, но функция какая-то дикая),
Можно попробовать так:
1. Чтобы избавиться от сигнов и хэвисайдов разбить область интегрирования на области

и

2. Для одной из областей сделать замену
3. воспользоваться (если это делаем до постановки

):
Думаю, можно считать, что

.
3. После чего интегралы опять должны свернуться, но уже не по всему квадрату, а по треугольнику.
-- 07.07.2025, 07:17 --Ещё можно так зайти.
Чтобы свести игру в ноль, Алиса должна показывать числа так, чтобы любое показанное число равновероятно могло оказаться бОльшим или меньшим в паре.
Отсюда следует что, чем ближе число в паре к

тем чаще его нужно показывать.
Отсюда следует, что если
а)

- показываем равновероятно.
б)

- показываем равновероятно.
То есть на диагоналях:

в) Если

- показываем всегда его. Аналогично для

.
Тогда:

(

- вероятность, с которой показывается

)
Забавная функция получается, с разрывом в
