Дискретное и непрерывное

[Anton_Peplov]

siago в сообщении #1642041 писал(а):

Соседние это элементы, между которыми нет других элементов.

Рассмотрим множество $\mathbb F$ всех функций $\mathbb Z \to \mathbb Z$. Какие элементы соседние с функцией $y = x^2$?

[dgwuqtj]

siago в сообщении #1642098 писал(а):

Я и ставлю вопрос, как можно непрерывные объекты относить к дискретным.

В математике нет непрерывных объектов вообще. Есть топологические пространства, это множества ("дискретные", то есть из элементов) с дополнительной структурой. Есть метрические пространства. Есть, как уже говорилось, упорядоченные множества. То, что вы хотите называть непрерывным, все называют полным: полные метрические пространства, полные линейные порядки. А непрерывными бывают только отображения между такими множествами со структурой (топологическими или метрическими пространствами).

Скажем, на $\mathbb Q$ есть стандартная метрика, это неполное метрическое пространство. Можно взять пополнение $\mathbb R$, но это тоже будет просто множество с функцией расстояния.

А "соседние" элементы - это только про линейные порядки или про графы.

[siago]

skobar в сообщении #1642097 писал(а):

Если я правильно понимаю, вы опираетесь на свое интуитивное понятие "непрерывного множества". К сожалению, это тот случай, когда интуиция подводит, и нужны строгие определения. Во-первых, похоже, что вы думаете в рамках так называемых упорядоченных множеств (погуглите точное определение). Вообще говоря, в математике нет понятия "непрерывного множества".

Вы правильно меня поняли. И действительно нужны строгие определения, но интуиция меня, если и подводит, то нужно понять, где. Я понимаю, что википедия не самый авторитетный источник для математики, но для быстрого поиска мы ею пользуемся, и там есть такой термин "непрерывное множество".

skobar в сообщении #1642097 писал(а):

Из существующих в математике определений, возможно, вашему интуитивному представлению о "непрерывном множестве" отвечает понятие "полного упорядоченного множества"

Я вам искренне благодарен за попытку разъяснения, но вы не так поняли суть моего вопроса. Ещё раз извиняюсь за мой несовершенный математический язык, который служит источником этого непонимания. Вопрос, как можно непрерывные объекты относить к дискретным. В частности, множество действительных чисел это непрерывный объект. В то же время мы под множеством понимаем объект, состоящий из элементов. Мы можем условиться считать действительные числа элементами этого множества и их рассмотрение в этом ключе даёт хорошие результаты. Однако можем ли мы сказать, что в строгом понимании множество действительных чисел это непрерывный объект или скорее это искусственный объект, элементы которого могут образовывать непрерывные объекты? В последнем случае следует вопрос, как мог появиться непрерывный объект, созданный из элементов?

[Dedekind]

- Как можно кузявые объекты относить к дискретным?
- В математике нет понятия "кузявые объекты".
- Это все понятно. Но вы мне все-таки объясните, как можно кузявые объекты относить к дискретным?

[мат-ламер]

siago в сообщении #1642027 писал(а):

Но в дискретном множестве у элемента есть соседние элементы, в непрерывном множестве мы таковых назвать не можем. ... Что вы об этом думаете?

Я думаю, что у вас сильно туманная терминология. Понимать можно так. Во-первых, на множестве должен быть введён порядок. Рассмотрим дискретное множество. Во-вторых, если у элемента множества есть элементы больше него, то среди них должен быть наименьший. И наоборот, если у элемента множества есть элементы меньше него, то среди них должен быть наибольший. Как пример, канторово множество - классический пример дисконтинуума. Определение непрерывного множества оставляю вам.

Но лучше бы вы рассказали нам, какие у вас проблемы с множествами и зачем вам всё это нужно? Может тогда и ответы были бы более полезнее для вас?

[skobar]

siago в сообщении #1642098 писал(а):

В данном случае это вопрос, который меня мучает и я действительно хочу в нём разобраться.
Я и ставлю вопрос, как можно непрерывные объекты относить к дискретным.

На мой взгляд, опираясь только на интуицию, без строгих определений, вам в этот вопрос для себя не разрешить. Как только вы попытаетесь дать строгие определения, то, я уверен, последующее предметное обсуждение поможет понять, где именно интуиция вас подводит и как разрешить это вопрос.

[siago]

dgwuqtj в сообщении #1642066 писал(а):

Если вы хотите рассматривать непрерывные сущности не как множества, то это надо брать альтернативные основания математики. Может, в теории типов что-то такое и найдётся.

Ну, это первое, что напрашивается, однако я сторонник эволюции ортодоксальных учений, я имею ввиду математику. За отсылку к теории типов спасибо, обязательно поинтересуюсь.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1642115 писал(а):

Рассмотрим дискретное множество.

Что это такое?

мат-ламер в сообщении #1642115 писал(а):

Во-вторых, если у элемента множества есть элементы больше него, то среди них должен быть наименьший. И наоборот, если у элемента множества есть элементы меньше него, то среди них должен быть наибольший.

Для произвольных упорядоченных множеств эти утверждения неверны.

-- 11.06.2024, 12:48 --

siago в сообщении #1642117 писал(а):

я сторонник эволюции ортодоксальных учений, я имею ввиду математику

Я так понял, вы собрались реорганизовать всю математику "с позиций философии"? Помочь математике "развиться" (в вашем понимании)? Если да, то мой совет: бросьте. Ничего хорошего из этого не выйдет. Хотя, конечно, как тратить своё личное время - решать только вам.

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1642119 писал(а):

Что это такое?

Это я ввёл для siago определение дискретного множества.

[siago]

Dedekind в сообщении #1642099 писал(а):

siago
Так каким определением непрерывности Вы пользуетесь?

Мне не приходится пользоваться какими-либо определениями. А определения из учебника по высшей математике вполне мне понятны, в том числе и с физической точки зрения.

[mihaild]

siago в сообщении #1642124 писал(а):

Мне не приходится пользоваться какими-либо определениями

Тогда то, чем Вы пытаетесь заниматься, не имеет отношения к математике. Вам в раздел "Дискуссионные темы (Вышивание крестиком)".

siago в сообщении #1642124 писал(а):

А определения из учебника по высшей математике вполне мне понятны

Откуда Вы это знаете, если не пробовали ими пользоваться?

[siago]

Anton_Peplov в сообщении #1642109 писал(а):

Рассмотрим множество $\mathbb F$ всех функций $\mathbb Z \to \mathbb Z$. Какие элементы соседние с функцией $y = x^2$?

Я, извините, не силён в математическом языке, поэтому не понимаю условия.

-- 11.06.2024, 13:27 --

Mihr в сообщении #1642101 писал(а):

"Позор" с чьей точки зрения? С вашей? Ничего, как-нибудь переживём

Да, считаю это позором. И что переживете, тоже знаю. У физиков уже давно такая картина, от математиков впервые слышу, но не удивлён - можно ожидать.

-- 11.06.2024, 13:41 --

dgwuqtj в сообщении #1642110 писал(а):

В математике нет непрерывных объектов вообще.

Да нет, есть. Есть раздел, где изучают непрерывность функций и их разрывы.

-- 11.06.2024, 13:41 --

dgwuqtj в сообщении #1642110 писал(а):

В математике нет непрерывных объектов вообще.

Да нет, есть. Есть раздел, где изучают непрерывность функций и их разрывы.

[EminentVictorians]

siago
Вещи, связанные с непрерывностью и дискретностью, изучает раздел математики под названием общая топология. Поверьте, это классная теория, которая очень здорово схватывает то, что мы хотим от непрерывности и дискретности. Я допускаю, что могут существовать другие, отличные от топологии, формализмы, которые тоже будут схватывать такие концепции. Но топология не потеряет от этого свою ценность.

[siago]

Dedekind в сообщении #1642113 писал(а):

- В математике нет понятия "кузявые объекты".

Я правильно вас понимаю, вы считаете, что в математике нет непрерывных объектов? А хотя бы непрерывные на интервале есть?

[dgwuqtj]

siago в сообщении #1642129 писал(а):

Есть раздел, где изучают непрерывность функций и их разрывы.

Про функции я там же и написал, вас же просто множества интересуют. Видели вообще определение непрерывной функции? Отображение $f \colon X \to Y$ между метрическими пространствами $(X, d_X)$ и $(Y, d_Y)$ называется непрерывным, если $\forall \varepsilon > 0\enskip \forall x \in X\enskip \exists \delta > 0\enskip \forall x' \in X\enskip (d_X(x, x') < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon)$. Причём как множество $f$ вообще кодируется, скажем, в виде упорядоченной тройки из $X$, $Y$ и своего графика...