Импликация и другие логические связки

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1631687 писал(а):

В обычной человеческой логике мы очень редко квантифицируем по свойствам. Для таких редких случаев есть логика второго порядка.

--Обычная человеческая логика и логика предикатов первого порядка - это не одно и то же.
--Нет, это одно и то же.
--Точно одно и то же?
--Да, точно одно и то же, за исключением редких случаев, когда не одно и то же.

Понял, принял.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1631701 писал(а):

--Обычная человеческая логика и логика предикатов первого порядка - это не одно и то же.
--Нет, это одно и то же.
--Точно одно и то же?
--Да, точно одно и то же, за исключением редких случаев, когда не одно и то же.

Понял, принял.

Соглашусь в этом с epros.
Квантификация по предикатам нужна настолько крайне редко, что, скорее всего, не нужна вообще.
Для любых математических рассуждений достаточно логики первого порядка и аксиоматической теории множеств. (Последняя позволяет делать квантификацию по подмножествам, а если это есть, то квантификация по предикатам просто не нужна.)

Мне совершенно непонятно, чем Вам не нравится аксиоматизация логики. Например, Вы согласны, что геометрия должна опираться на какие-нибудь аксиомы, и апелляции к наглядности и интуитивной очевидности в геометрии неуместны? Например, тот факт, что диагонали параллелограмма пересекаются - по-хорошему, надо доказывать, а не считать его очевидным?
Ну так с логикой всё ровно так же.

Логика первого порядка - это и есть обычная человеческая логика, только доведённая до уровня строгости, такого же как во всей остальной математике.

[epros]

EminentVictorians, что Вы прицепились к логике именно первого порядка? Мы её используем постольку, поскольку выражения второго порядка редко бывают нужны. И Вы в своих "обыкновенных человеческих" рассуждениях тоже вряд ли к ним прибегаете. Уж среди средневековых силлогизмов Вы их точно не найдёте. Так что какие у Вас претензии именно к логике первого порядка?

[manul91]

epros
Спасибо.
Хочу удостовериться, что все правильно понял.

epros в сообщении #1631639 писал(а):

Дело не в функциях. $\Leftrightarrow$ означает то же самое, что $\leftrightarrow$. Просто если Вы используете символы из разных наборов, читатель может оказаться в недоумении по поводу того, что Вы хотели этим сказать. Это могло бы быть оправданным, если бы Вы хотели этим подчеркнуть, что не хотите использовать символ из алфавита теории, поскольку высказываете метатеоретическое утверждение.

Вроде понятно. Символы $\Leftrightarrow$ и $\leftrightarrow$ изпользуются для одного и того же, поэтому формально смешивать (в одном и том же изложении) нельзя, в алфавите вычисления высказываний для этого только один символ.
Далее буду использовать только $\leftrightarrow$.

epros в сообщении #1631639 писал(а):

Выражение $(p \land q) \leftrightarrow (\lnot (z \land \lnot y))$ корректно и может быть истинным или ложным в зависимости от значений пропозициональных переменных.

epros в сообщении #1631639 писал(а):

Если хотите сказать о равносильности, просто напишите $(p \to q) \leftrightarrow (\lnot (p \land \lnot q))$. Это утверждение - тавтология, что и означает равносильность его левой и правой частей.

Ок. Отдельного значка аналогичному $\equiv$ для обозначения тождественности формул не существует.
На этой роли достаточно использовать $\leftrightarrow$ (см. ниже).

Знак $\leftrightarrow$ это двуместный булевой оператор (предикат), полностью аналогичный $\lor$, $\land$, с таблицы истинности $1$ если оба булевых аргумента одинаковы, и $0$ если разные.
Его, точно как и $\lor$, $\land$ можно вставлять между любыми формулами/переменными/константами и получим новую синтактически правильную формулу (чье значение будет вычисляться в зависимости от значений переменных):
$(p \land q) \leftrightarrow (\lnot (z \land \lnot y))$
$(p \to q) \leftrightarrow (\lnot (p \land \lnot q))$
$p \leftrightarrow q $
$(p \lor 1) \leftrightarrow 0 $
Эквивалентность (тождественность) двух формул можно выразить через новую формулу, просто вставив $\leftrightarrow$ между ними, как здесь:
$(p \to q) \leftrightarrow (\lnot (p \land \lnot q))$
При такой "вставки" $\leftrightarrow$ между двух формул, в общем случае значение новой формулы будет зависеть от значений переменных. Но может получиться и так, что новая формула окажется константой, и ее значение не зависит от значения переменных ($1$ - "тавтология", $0$ - "противоречие").
Первый случай - тавтология (новая формула равна тождественно $1$ вне зависимости от значений переменных) - это и значит что формулы по обоих сторон тождественны, потому и отдельный значок (аналогичный $\equiv$) не нужен.
Все верно?

Контрольный вопрос, такая формула (с множеством $\leftrightarrow$) синтактически правильна?:
$(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (\lnot (z \land \lnot (y \leftrightarrow$ z)))$
(я полагаю, да).

epros в сообщении #1631639 писал(а):

А это вообще синтаксически некорректно. Равенство ставится между термами, а не между формулами. В исчислении высказываний равенства вообще нет.

В вычислении высказываний нет значка равенства (его "роль" в каком-то "смысле" выполняется $\leftrightarrow$, если этого символа у нас есть рядом с $\lor$, $\land$).
Понятия "терма" тоже нет (по меньшей мере здесь такое понятие отсутствует).
Т.е. записи типа $p=1$, $q=z$ частью языка не являются (зато мы можем строить формулы через $\leftrightarrow$: $p \leftrightarrow 1$, $q \leftrightarrow z$)

Теперь про $\Rightarrow$ и $\to$.
Насколько я понимаю, все что сказано выше про роль $\Leftrightarrow$ и $\leftrightarrow$, полностью аналогично относится и к $\Rightarrow$ и $\to$.
Только разумеется, таблица истинности $\to$ соответственно другая.
Все верно?

-- 03.03.2024, 18:49 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1631695 писал(а):

и, соответственно, четыре обозначения: $P=1$, $P=0$, $Q=1$, $Q=0$. Мои обозначения проще: $p$, $\neg p$, $q$, $\neg q$, -- и с ними проще работать, например, если надо записать конъюнкцию первого и третьего фактов, то у вас (пишу "вас" с маленькой буквы, потому что отвечаю сразу двоим) будет: $(P=1)\wedge (Q=1)$, -- а у меня: $p\wedge q$.

Нет.
Коньюнкцию ваших двух фактов достаточно записать как $P \wedge Q$.
Она будет принимать значение $1$ если обe утверждения $P$ и $Q$ принимают значения $1$, и иметь значение $0$ во всех остальных случаев значений $P$ и $Q$.
"Малые буковки" $p, q$ совершенно ненужны! Нужна только одна пара буковок ("переменных") -на каждого из двух утверждений - и каждая из этих буковок ("переменных") может принимать значения $1$ или $0$ в зависимости верности или нет соответного утверждения.
Если нужно записать "верность" утверждения $P$ - можно писать только $P$ - значение этого выражения будет $1$ если $P$ верно, и $0$ если неверно.
Точно также как пишем просто "x делится на 2" (что может быть как истиной, так и ложью), а не избыточно "то, что х делится на 2 - верно" (что будет истиной или ложью в тех же самых случаев).
Писать $(P \leftrightarrow 1)\wedge (Q \leftrightarrow 1)$ или $(P \land 1)\wedge (Q \land 1)$ конечно тоже можно, но избыточно. (запись $(P=1)\wedge (Q=1)$ как выяснилось строго говоря некоректна, знак $=$ не часть алфавита вычисления высказываний).

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1631556 писал(а):

Здесь Вы дословно сказали: "импликация - это единственная из булевых функций, в которой есть импликация и нет обратной импликации". И какой в этом смысл? Это "масло масляное".

Это "масло масляное", если полагать, что импликация-операция (импликация-функция) и импликация-следование это одно и то же. Но я попытаюсь показать, что это не одно и то же.

Вот запись (таблица) прямой импликации-операции $P\rightarrow Q$:

$$\begin {matrix} {\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\rightarrow Q\\ \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\\ p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow \neg p \end {matrix} \eqno (2) $$

Рассмотрим ее все на том же примере: пусть мы имеем множество натуральных чисел $\mathbb N$ и факты

$p=, $\neg p=,

$q=, $\neg q=,

где $x\in \mathbb N$.

Эта импликация-операция имеет две импликации-следования: $p\Rightarrow q$ и $\neg q\Rightarrow \neg p$, и, например, $p\Rightarrow q$ значит, что если $x$ делится на $2$, то он делится и на $3$ -- однозначное следование.

А что значит $P\rightarrow Q$?

$P$ это делимость $x$ на $2$, а $Q$-- делимость $x$ на $3$. Делимость может быть либо положительной ("делится") -- и тогда аргумент $P$ принимает значение $p$, а аргумент $Q$ значение $q$, -- либо отрицательной -- и тогда аргумент $P$ принимает значение $\neg p$, а аргумент $Q$ значение $\neg q$.

Так что, если попытаться представить $P\rightarrow Q$ как следование, то получится: "из того, что $x$ либо делится, либо не делится на $2$, следует, что $x$ либо делится, либо не делится на $3$", -- что во всяком случае не является однозначным следованием.

[epros]

manul91 в сообщении #1631707 писал(а):

При такой "вставки" $\leftrightarrow$ между двух формул, в общем случае значение новой формулы будет зависеть от значений переменных. Но может получиться и так, что новая формула окажется константой, и ее значение не зависит от значения переменных ($1$ - "тавтология", $0$ - "противоречие").
Первый случай - тавтология (новая формула равна тождественно $1$ вне зависимости от значений переменных) - это и значит что формулы по обоих сторон тождественны, потому и отдельный значок (аналогичный $\equiv$) не нужен.
Все верно?

Да. Скажу более того: Это работает не только в исчислении высказываний, но и в исчислении предикатов. Т.е. если у нас есть формулы со свободными предметными переменными $P(x)$ и $Q(x)$, то эквивалентность между ними выражается тоже просто как $P(x) \leftrightarrow Q(x)$. По правилу обобщения на свободную переменную $x$ в этой формуле автоматически ставится квантор всеобщности. И если это утверждение удастся доказать, то это и будет означать равносильность формул $P$ и $Q$.

manul91 в сообщении #1631707 писал(а):

Контрольный вопрос, такая формула (с множеством $\leftrightarrow$) синтактически правильна?:
$(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (\lnot (z \land \lnot (y \leftrightarrow z)))$
(я полагаю, да).

Да, как и любую логическую связку, эквивалентность можно использовать в формуле сколько угодно раз. Кстати, вот её определение через импликацию:
$(x \leftrightarrow y) \leftrightarrow ((x \to y) \land (y \to x))$.

-- Вс мар 03, 2024 19:46:24 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1631716 писал(а):

Эта импликация-операция имеет две импликации-следования: $p\Rightarrow q$ и $\neg q\Rightarrow \neg p$, и, например, $p\Rightarrow q$ значит, что если $x$ делится на $2$, то он делится и на $3$ -- однозначное следование.

Этот бред, очевидно, следует из того, что в таблице написан тоже бред.

-- Вс мар 03, 2024 19:54:45 --

manul91 в сообщении #1631707 писал(а):

запись $(P=1)\wedge (Q=1)$ как выяснилось строго говоря некоректна, знак $=$ не часть алфавита вычисления высказываний

Тогда давайте определимся, $P$ и $Q$ - это утверждения или их значения истинности?

[manul91]

epros в сообщении #1631717 писал(а):

manul91 в сообщении #1631707 писал(а):

запись $(P=1)\wedge (Q=1)$ как выяснилось строго говоря некоректна, знак $=$ не часть алфавита вычисления высказываний

Тогда давайте определимся, $P$ и $Q$ - это утверждения или их значения истинности?

В моем понимании тому, что пишет Vladimir Pliassov - у него $P$, $Q$ это должны быть переменные (propositional variables в исчислении высказываний).
Каждая из этих переменных может принимать значения истинности из множестве {$0,1$), т.е. значения $0$ или $1$. Значения истинности "по стандарту" только литералы $0$ или $1$, других значений истинности (типа $Z$, $Q$) не бывает по определению, кроме если конечно не договориться про нестандартных обозначений. Строго говоря сами эти значения истинности не часть алфавита вычисления высказываний, они часть интерпретации (так что писать $P\leftrightarrow1$ строго говоря тоже неправильно, хотя это можно выразить как $P\leftrightarrow(P \lor \neg P)$ т.е. вместо $1$ пользоваться например $(P \lor \neg P)$, для $0$ аналогично).
В частном случае того что он пишет, вроде он выбрал что переменные $P$ и $Q$ соответствуют его утверждениям (делимости x на 2 и 3 соответно).
Поэтому коньюнкцию этих утверждений ("х делится на 2" и "х делится на 3") - достаточно выразить как $P \land Q$.

(в данном конкретном смысле про $P$ и $Q$: "утверждения про делимости х на 2, или 3 соответно" и "propositional variables" - имхо одно и то же. Хотя конечно "утверждение" может выражатся и формулой типа $P \to (P \land Q)$ или $P \lor Q$.
Но и "голые переменные" - типа просто "$P$" - это по моему разумению, тоже частный случай синтактически правильной формулы; т.е. опять "утверждение" - и в этом случае его значение истинности просто совпадает со значением истинности переменной. Как-то так.
Если я правильно понимаю чему соответствует термин "утверждение" и propositional variables (буковок типа $P$, $Q$) в алфавите исчислении высказываний.
Слов "утверждение", "высказывание" и формула - я понимаю как синонимов, обозначающих одно и то же в вычислении высказываний - а именно правильно сконструированную строчку-формулу. В частности "голая" переменная - типа $P$ - это тоже правильно сконструированная формула, а значит является и частным случаем "утверждениея"/"высказывания".)

Если вообще это вопрос ко мне, а не ко Vladimir Pliassov; у него там все запутано мягко говоря, так что отвечать за ним я не могу.

[EminentVictorians]

Mikhail_K, epros, предлагаю продолжить в отдельной теме, чтобы не развивать здесь оффтоп.

[Vladimir Pliassov]

manul91 в сообщении #1631725 писал(а):

В моем понимании тому, что пишет Vladimir Pliassov - у него $P$, $Q$ это должны быть переменные (propositional variables в исчислении высказываний).
Каждая из этих переменных может принимать значения истинности из множестве {$0,1$), т.е. значения $0$ или $1$.
В частном случае того что он пишет, вроде он выбрал что $P$ и $Q$ соответствуют его утверждениям (делимости x на 2 и 3 соответно).
Поэтому коньюнкцию этих утверждений ("х делится на 2" и "х делится на 3") - достаточно выразить как $P \land Q$.

Нет, это не так.

У меня переменная $P$ принимает значения из множества $\{p, \neg p\}$, где $p=, а $\neg p=,

а переменная $Q$ принимает значения из множества $\{q, \neg q\}$, где $q=, а $\neg q=.

Так что конъюнкция фактов (а не утверждений) $p$ и $q$ выражается как $p\wedge q$ (а не $P\wedge Q$).

[manul91]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631731 писал(а):

manul91 в сообщении #1631725 писал(а):

В моем понимании тому, что пишет Vladimir Pliassov - у него $P$, $Q$ это должны быть переменные (propositional variables в исчислении высказываний).
Каждая из этих переменных может принимать значения истинности из множестве {$0,1$), т.е. значения $0$ или $1$.
В частном случае того что он пишет, вроде он выбрал что $P$ и $Q$ соответствуют его утверждениям (делимости x на 2 и 3 соответно).
Поэтому коньюнкцию этих утверждений ("х делится на 2" и "х делится на 3") - достаточно выразить как $P \land Q$.

Нет, это не так.
У меня переменная $P$ принимает значения из множества $\{p, \neg p\}$, где $p=, а $\neg p=,
а переменная $Q$ принимает значения из множества $\{q, \neg q\}$, где $q=, а $\neg q=.
Так что конъюнкция фактов (а не утверждений) $p$ и $q$ выражается как $p\wedge q$ (а не $P\wedge Q$).

Тоесть у вас для переменных не две как обычно ($\{0,1\}$), а четыре значения истинности - которыe вы обозначаете четырьмя разными комбинациями символов $p, \neg p, q, \neg q$.
В контексте "Помогите решить / разобраться" это просто бред. Либо вы троллите.
Если вы придумываете новую логику с четыре значений истинности (Или с $2n$ значений истинности для $n$ переменных), то пишите в дискусионнные темы.

[epros]

manul91 в сообщении #1631732 писал(а):

это просто бред. Либо вы троллите.

Похоже, он сам не понимает, что хочет сказать.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631731 писал(а):

У меня переменная $P$ принимает значения из множества $\{p, \neg p\}$, где $p=, а $\neg p=,

а переменная $Q$ принимает значения из множества $\{q, \neg q\}$, где $q=, а $\neg q=.

Значит $P \to Q$ - не импликация.

[Vladimir Pliassov]

manul91 в сообщении #1631732 писал(а):

Если вы придумываете новую логику ... то пишите в дискуссионные темы.

Я думаю, мне рано писать в дискуссионные темы, потому что туда следует писать тому, кто уже разобрался, а я еще не разобрался и поэтому пишу сюда в надежде, что мне помогут разобраться.

manul91 в сообщении #1631732 писал(а):

Либо вы троллите.

Нет, я не троллю.

Кстати, очень хорошо, что есть люди, которые знают больше меня и могут сказать, являются мои высказывания истинными или ложными.

1.

Вот булева функция "прямая импликация":

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

Здесь $P$ принимает либо значение $0$, либо значение $1$, и не может принимать сразу два значения, то есть $P=(0\oplus 1)$ (исключающее "или"). Так же и $Q=(0\oplus 1)$. Что же в таком случае значит запись $P\to Q$? Очевидно, $(0\oplus 1)\to (0\oplus 1)$?

То есть, если считать знак $\to$ знаком следования, то запись "$P\to Q$" значит

"из либо $0$, либо $1$ следует либо $0$, либо $1$"?

Или, может быть,

"из того, что $P$ равно либо $0$, либо $1$, следует, что $Q$ равно либо $0$, либо $1$"?

Это в любом случае не причинно-следственная связь.

2.

Теперь возьмем четыре конъюнкции:

$(P=0)\wedge (Q=0)$,

$(P=0)\wedge (Q=1)$,

$(P=1)\wedge (Q=0)$,

$(P=1)\wedge (Q=1)$, --

и исключим третью (обведем ее траурной рамкой):

$(P=0)\wedge (Q=0)$,

$(P=0)\wedge (Q=1)$,

$\boxed {(P=1)\wedge (Q=0)}$,

$(P=1)\wedge (Q=1)$, --

то есть проведем операцию "прямая импликация". В результате получим причинно-следственную связь $(P=1)\Rightarrow (Q=1)$ [а также причинно-следственную связь $(Q=0)\Rightarrow (P=0)$].

3.

Таким образом, $\to$ в $P\to Q$ это знак не причинно-следственной связи между $P$ и $Q$, а знак операции "прямая импликация" с операндами $P$ и $Q$.

4.

Кстати, $(P=1)$, $(P=0)$, $(Q=1)$, $(Q=0)$ можно обозначить соответственно $p, \neg p, q, \neg q$.

..............................................

Что-то не так?

[manul91]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631838 писал(а):

не может принимать сразу два значения, то есть $P=(0\oplus 1)$ (исключающее "или"). Так же и $Q=(0\oplus 1)$.

Бред. $(0\oplus 1)$ и есть $1$ (по определению операции $\oplus$). Поэтому $P=(0\oplus 1)$ это то же самое что $P=1$ а не "принимать сразу два значения, то есть $P=(0\oplus 1)$" что бы этот бред не означал.
Можете проверить здесь :))
Точно так же как когда в школьной математике пишете $x=2+3$ это то же самое что $x=5$ (а не что $x$ "имеет две значения" и равно одновременно и $2$ и $3$).

Vladimir Pliassov в сообщении #1631838 писал(а):

Что же в таком случае значит запись $P\to Q$?

$P\to Q$ это функция над двух аргументов, $P$ и $Q$, типа $f=f(P,Q)$. Она их "принимает на вход" и в зависимости от их значений ($0$ или $1$) выплевывает свое значение $0$ или $1$ (т.е. значение истинности всей связки в целом $P\to Q$). См. таблицу.
Что здесь непонятного?

Vladimir Pliassov в сообщении #1631838 писал(а):

Что-то не так?

Все.

[Vladimir Pliassov]

manul91 в сообщении #1631841 писал(а):

$P\to Q$ это функция над двух аргументов, $P$ и $Q$, типа $f=f(P,Q)$. Она их "принимает на вход" и в зависимости от их значений ($0$ или $1$) выплевывает свое значение $0$ или $1$ (т.е. значение истинности всей связки в целом $P\to Q$). См. таблицу.

Но $P\to Q$ это не причинно-следственная связь, потому что $Q$ не зависит от $P$.

$P$ и $Q$ друг от друга не зависят -- аргументы функции от двух аргументов не зависят друг от друга. Правильно?

[epros]

Vladimir Pliassov, определитесь, что у Вас такое $P$ и $Q$, Если это утверждения, то импликация $P \to Q$ - тоже утверждение. Если же $P$ и $Q$ - переменные, принимающие значения из множества $\{0,1\}$, то импликацию можно записать только вот так: $P=1 \to Q=1$. Таблица значений импликации, которую Вы в этот раз изобразили правильно, показывает значения истинности импликации в зависимости от значений истинности её аргументов.