Сводится ли логика к исчислению предикатов?

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1631703 писал(а):

Для любых математических рассуждений достаточно логики первого порядка и аксиоматической теории множеств. (Последняя позволяет делать квантификацию по подмножествам, а если это есть, то квантификация по предикатам просто не нужна.)

Да, согласен полностью. Вы знаете, что мне нравятся множества и я считаю теорию множеств хорошей основой математики. По мне, все математические объекты - это множества. Когда я доказываю теоремы про, например, действительные числа - я работаю с конкретным множеством (элементы которого - сечения Дедекинда или классы эквивалентности фундаментальных последовательностей, в зависимости от той модели, которую я принимаю в качестве определения $\mathbb R$). При этом я не работаю в формальной теории действительных чисел (несмотря на то, что, например, epros будет с этим не согласен).

Mikhail_K в сообщении #1631703 писал(а):

Мне совершенно непонятно, чем Вам не нравится аксиоматизация логики.

Тем, что эту аксиоматизацию преподносят в качестве определения логики, а не в качестве (одной из) её моделей.

Mikhail_K в сообщении #1631703 писал(а):

Например, Вы согласны, что геометрия должна опираться на какие-нибудь аксиомы, и апелляции к наглядности и интуитивной очевидности в геометрии неуместны?

Не знаю, сложный вопрос. Я раньше действительно относился к геометрии как теории, где все теоремы выводятся из аксиом. Но здесь возникает резонная претензия: а почему я тогда не отношусь к действительным числам, как к теории, где все тоже выводится из аксиом (аксиом поля + порядка + полноты), и вместо этого понимаю под действительными числами именно модель, а не теорию. Дело в том, как я отношусь к аксиомам. Я воспринимаю их не как какие-то выбитые в граните истины, а как наши желания. Аксиомы - это то, что мы хотим. Поэтому, мне, например, не очень нравится гильбертовская аксиоматизация евклидовой геометрии. Хочется, чтобы аксиомы были более инвариантными, чтобы в них речь шла не про точки, прямые и т.д., а про что-нибудь в духе изотропности пространства, может быть нулевости его кривизны и т.д. В этом плане, аксиоматизация Вейля мне нравится больше (но тоже не полностью устраивает). В общем, аксиомы - это просто наши хотелки. От того, что мы их выписали на бумаге - ничего особо не поменялось. Самая важная часть начинается дальше - мы должны построить теоретико-множественную модель наших аксиом, чтобы убедится хотя бы в непротиворечивости наших желаний. Я вот допустим хочу полное неархимедово линейно упорядоченное поле, расширяющее $\mathbb R$, могу даже эти аксиомы выписать. Но толку? Такого объекта нету, это противоречивая система. Желаний мало, нужна еще модель.

В итоге, хотелось бы:
1) хорошую аксиоматизацию евклидовой геометрии
2) для которой потом окажется, что $\mathbb R^3$ является её моделью (где точки, прямые и плоскости определяются через координаты и уравнения)

А все обычные аксиомы геометрии (типа пятого постулата) будут теоремами.

Что касается геометрической наглядности, то да, я считаю, что теоремы надо доказывать.

Mikhail_K в сообщении #1631703 писал(а):

Логика первого порядка - это и есть обычная человеческая логика, только доведённая до уровня строгости, такого же как во всей остальной математике.

Так где гарантия, что в аксиомы исчисления предикатов вошли все логические фигуры, которые мы используем? Люди 2 тысячи лет занимались геометрией, но не замечали аксиому Паша. Почему так не может быть с логикой?

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1631724 писал(а):

В этом плане, аксиоматизация Вейля мне нравится больше

Мне тоже.

EminentVictorians в сообщении #1631724 писал(а):

Самая важная часть начинается дальше - мы должны построить теоретико-множественную модель наших аксиом, чтобы убедится хотя бы в непротиворечивости наших желаний.

Но полностью мы от аксиом так не избавимся. Нам нужны аксиомы теории множеств, чтобы опираясь на них строить теоретико-множественные модели для других систем аксиом.

Впрочем, я понял Вашу позицию: и логику, и теорию множеств Вы принципиально используете неформально.
Но от всех других математических теорий, на базе неформального понимания логики и теории множеств, требуете строгости.
Мне эта позиция не близка, но она более-менее понятна.

EminentVictorians в сообщении #1631724 писал(а):

Так где гарантия, что в аксиомы исчисления предикатов вошли все логические фигуры, которые мы используем? Люди 2 тысячи лет занимались геометрией, но не замечали аксиому Паша. Почему так не может быть с логикой?

Ну, нет гарантии.
Равно как нет гарантии, что какие-то из доказательств теорем, даже тех что считаются сейчас многократно и надёжно перепроверенными, не содержат каких-то математических ошибок, которые очень сложно заметить и никто до сих пор не заметил.
Если что-то подобное найдётся - внесут необходимые исправления, большие или маленькие, учебники перепишут. Не вижу в этом чего-то ужасного.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1631724 писал(а):

эту аксиоматизацию преподносят в качестве определения логики, а не в качестве (одной из) её моделей

Что бы это значило?

EminentVictorians в сообщении #1631724 писал(а):

Так где гарантия, что в аксиомы исчисления предикатов вошли все логические фигуры, которые мы используем?

Что такое "логические фигуры, которые мы используем"? Логика - это просто система правил рассуждения. Формализованная логика - система строго установленных правил, в отличие от каких-то вещей, которые кто-то там неформально "использует". Так что если вдруг Вы "обнаружите" какую-то "логическую фигуру, которую Вы используете", которая не выражается формализованной логикой, то Вас скорее всего просто попросят её больше не использовать: ввиду того, что такое правило рассуждения нами не было согласовано, а значит принято в качестве законного быть не может.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1631704 писал(а):

EminentVictorians, что Вы прицепились к логике именно первого порядка? Мы её используем постольку, поскольку выражения второго порядка редко бывают нужны.

Потому что есть теория множеств. А если есть теория множеств, то можно обойтись вообще без каких-либо других формальных теорий.

epros в сообщении #1631704 писал(а):

Уж среди средневековых силлогизмов Вы их точно не найдёте.

Кстати, а почему?

Любое ограниченное снизу подмножество множества действительных чисел имеет инфимум.
Множество аликвотных дробей является ограниченным снизу подмножеством множества действительных чисел.
Значит, множество аликвотных дробей имеет инфимум.

Самый настоящий силлогизм, в котором речь идет о подмножествах доменной области (а не об индивидуальных элементах, как того требует логика первого порядка). Речь, разумеется, про формальную теорию действительных чисел, теории множеств нету.

Mikhail_K в сообщении #1631729 писал(а):

Но полностью мы от аксиом так не избавимся. Нам нужны аксиомы теории множеств, чтобы опираясь на них строить теоретико-множественные модели для других систем аксиом.

Да. Аксиомы теории множеств - это единственные аксиомы, в которые я именно верю.

Mikhail_K в сообщении #1631729 писал(а):

Впрочем, я понял Вашу позицию: и логику, и теорию множеств Вы принципиально используете неформально.
Но от всех других математических теорий, на базе неформального понимания логики и теории множеств, требуете строгости.

Мне кажется, я и логику с теорий множеств использую тоже вполне строго. Но неформально, да.

Mikhail_K в сообщении #1631729 писал(а):

Равно как нет гарантии, что какие-то из доказательств теорем, даже тех что считаются сейчас многократно и надёжно перепроверенными, не содержат каких-то математических ошибок, которые очень сложно заметить и никто до сих пор не заметил.

Верно. Так может стоит пересмотреть взгляды на доказательства и перестать относиться к ним как к каким-то вечным и незыблемым идеалам? Я для себя принял такую позицию: я считаю доказательством те рассуждения, которые лично я понял и пропустил через себя.

epros в сообщении #1631735 писал(а):

Что бы это значило?

Что есть Логика (одна она или их несколько, я не знаю; пока думаю, что одна - та самая "обычная человеческая") и есть её модели (различные версии формализованных логик).

epros в сообщении #1631735 писал(а):

Что такое "логические фигуры, которые мы используем"?

Способы рассуждений. Типа тех же силлогизмов.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1631737 писал(а):

Речь, разумеется, про формальную теорию действительных чисел, теории множеств нету.

Формальные теории (тех или иных чисел, пространств, алгебраических структур) в отрыве от теории множеств кажутся мне довольно экзотическим математическим объектом, может быть и интересным с точки зрения математической логики, но не являющимся частью "стандартной математики".

В настоящей математике после того, как такая теория формулируется, дальше в рассуждениях чаще всего всё-таки возникают какие-то множества. Поэтому правильно рассматривать аксиомы любых видов чисел, пространств, алгебраических структур не как самостоятельные аксиоматические системы, а как надстройки над теорией множеств или как определения в рамках теории множеств. И тогда логика второго порядка не нужна, достаточно логики первого порядка.

Та же арифметика Пеано (без теории множеств, хоть с логикой первого, хоть с логикой второго порядка) - это же не обычная арифметика. В настоящей арифметике используются множества - потому что нет никаких причин их не использовать.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1631738 писал(а):

Формальные теории (тех или иных чисел, пространств, алгебраических структур) в отрыве от теории множеств кажутся мне довольно экзотическим математическим объектом, может быть и интересным с точки зрения математической логики, но не являющимся частью "стандартной математики".

Да, аналогично. Я воспринимаю это таким образом. Есть "настоящие" натуральные числа - конкретное множество в теории множеств (например, модель фон Неймана). Далее, мы определяем под это множество некоторую формальную теорию - арифметику Пеано, пусть первого порядка. Она не служит определением натуральных чисел. Натуральные числа - они уже определены в теории множеств. Арифметику Пеано мы смастерили не для того, чтобы использовать её как определение натуральных чисел, а для того, чтобы посмотреть, насколько много фактов о натуральных числах мы сможем выцепить теми примитивными методами, которые мы себе разрешили в арифметике Пеано. Мы по сути сделали игрушечную модель этих натуральных чисел, в которой есть что-то похожее на рассуждения и логику. Арифметика Пеано примитивна, но это её достоинство! Мы этого и хотели. Нам нужна примитивная игрушечная теория, чтобы можно было делать с ней разные метатеоретические действия (какие-нибудь индукции по построению формул и т.д.). И оказывается, что такая примитивная штука как арифметика Пеано первого порядка, в действительности улавливает очень обширный пласт фактов о натуральных числах. Я бы даже сказал, неожиданно обширный. Чтобы придумать факт о натуральных числах, который нельзя в ней доказать - это надо постараться.

Вот в чем, на мой взгляд, её истинное предназначение. А не служить определением натуральных чисел.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1631737 писал(а):

А если есть теория множеств, то можно обойтись вообще без каких-либо других формальных теорий.

Теория множеств без логики - это было бы забавно.

EminentVictorians в сообщении #1631737 писал(а):

Самый настоящий силлогизм

Силлогизмы, вообще-то, это вот такие рассуждения. Там приведены примеры 24-х классических силлогизмов. Когда-то их поимённо заучивали несчастные школяры. Таков Ваш идеал логики?

EminentVictorians в сообщении #1631737 писал(а):

Что есть Логика (одна она или их несколько, я не знаю; пока думаю, что одна - та самая "обычная человеческая") и есть её модели (различные версии формализованных логик).

А эта самая ЛОГИКА она где есть, на полке у Вас в доме лежит? Логика - это система правил рассуждения. А правила нужно сначала сформулировать, а потом договориться о том, что мы будем следовать именно этим правилам и никаким иным. Так что Ваши фантазии на тему того, что мы якобы взяли откуда-то свыше какую-то ЛОГИКУ, а потом зачем-то начали строить какие-то её "модели", я полагаю очень странными.

EminentVictorians в сообщении #1631737 писал(а):

Способы рассуждений. Типа тех же силлогизмов.

Я правильно понял, что Ваши способы рассуждения ограничиваются теми самыми силлогизмами, которым учит средневековая схоластика?

-- Вс мар 03, 2024 23:37:20 --

EminentVictorians в сообщении #1631739 писал(а):

Натуральные числа - они уже определены в теории множеств.

Вот Вы никак не поймёте, что в теории множеств ничего, кроме множеств, не определено.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1631739 писал(а):

Чтобы придумать факт о натуральных числах, который нельзя в ней доказать - это надо постараться.

Если записывать аксиому индукции в системе аксиом Пеано с квантификацией по подмножествам (а не превращать её в бесконечную схему аксиом и не использовать квантификацию по предикатам), то и не получится придумать факт о натуральных числах, который нельзя в ней доказать (который при этом в принципе доказуем). Конечно, это возможно только если мы рассматриваем теорию натуральных чисел как надстройку над теорией множеств, а не как самостоятельную формальную теорию.

Аксиоматика Пеано, понимаемая именно в этом смысле, категорична, даже при использовании только логики первого порядка. То есть любые две модели изоморфны. Доказательство есть, например, в книге:
Демидов. Основания арифметики
Этот факт не противоречит существованию нестандартных моделей у любых сколько-нибудь богатых теорий. Просто не надо забывать, что арифметика при таком подходе - не самостоятельная теория, а часть теории множеств. Нестандартные модели такой арифметики будут включать в себя нестандартные модели теории множеств. Если же считать, что у нас зафиксирована одна модель теории множеств - стандартная - то и нестандартных моделей у такой арифметики не будет.

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1631724 писал(а):

Так где гарантия, что в аксиомы исчисления предикатов вошли все логические фигуры, которые мы используем? Люди 2 тысячи лет занимались геометрией, но не замечали аксиому Паша. Почему так не может быть с логикой?

Вы же слышали про теорему полноты для исчисления предикатов? Если ограничиваться логикой первого порядка, то любое высказывание либо выводится из аксиом, либо неверно в какой-то модели. В этом смысле других формальных способов доказательств не нужно.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1631740 писал(а):

Силлогизмы, вообще-то, это вот такие рассуждения.

Так мое рассуждение про аликвотные дроби - это же в чистом виде силлогизм про Сократа: все ограниченные снизу подмножества имеют инфимум, аликвотные дроби ограничены снизу, значит они имеют инфимум.

epros в сообщении #1631740 писал(а):

А эта самая ЛОГИКА она где есть, на полке у Вас в доме лежит?

Я писал уже как-то в другой теме насчет того, где на мой взгляд "находятся" подобные сущности:

EminentVictorians в сообщении #1592753 писал(а):

Просто живут они не в платоновском мире идей, а немного в другом месте. Где-то в универсуме интерсубъективных кросс-культурных понятий, присущих всем людям (как биологическому виду). А может быть и не всем, а, например, достаточно образованным, чтобы эти абстракции воспринимать. Тут уже не знаю. Короче говоря, это не какой-то полумифический платоновский мир, а просто совокупность вещей, обусловленных, нашей биологией, историей, особенностям жизни на планете Земля и т.д.

epros в сообщении #1631740 писал(а):

Логика - это система правил рассуждения. А правила нужно сначала сформулировать, а потом договориться о том, что мы будем следовать именно этим правилам и никаким иным.

Я только за. Сформулировать, но не формализовывать. Я знаю, что Вы скажете, что это одно и то же, но тем не менее. Формализация неизбежно влечёт фиксирование формального языка. Я же считаю, что уровень полной строгости в математике может быть достигнут путем рассуждений на обычном естественном языке по (строгим, но не формализованным) правилам обычной человеческой логики.

epros в сообщении #1631740 писал(а):

Я правильно понял, что Ваши способы рассуждения ограничиваются теми самыми силлогизмами, которым учит средневековая схоластика?

Не знаю. Силлогизмы я считаю логичными, это да. Хотя, здесь кстати тоже все не так очевидно. Вот возьмем, например, силлогизм Camenos:

Все яркие цветы ароматны.
Ни один ароматный цветок не выращен в помещении.
_______________________________________________________
Некоторые выращенные в помещении цветы не ярки.


Я понимаю так, что "Некоторые выращенные в помещении цветы не ярки. " - это в точности то же самое, что и "Существует не яркий цветок, выращенный в помещении".

Включаю обычную человеческую логику и начинаю сомневаться, точно ли этот силлогизм правильный. По-моему, в посылке не хватает третьего условия: "Существует хотя бы один цветок, выращенный в помещении". Это же логика в конце концов. Сколь бы очевидным ни было это условие непустоты, его надо прописать явно, потому что чисто логически оно ни откуда не следует.

Но исчерпывают ли силлогизмы все логические фигуры - я не знаю. Если исчерпывают и это как-то обосновывается - было бы интересно почитать об этом.

-- 04.03.2024, 00:39 --

epros, вот Вы так радеете за формализацию, и что мол она привносит строгость, которой нету в естественном языке и так далее. Я, разумеется, с этим не соглашусь и буду говорить, что естественного языка и обычной человеческой логики достаточно. Может быть вместо того, чтобы крутить всю эту шарманку по кругу, приведете конкретный пример, где я со своей обычной человеческой логикой обломаюсь, а вот формализация все расставит по своим местам. Потому что, как я уже писал, все известные мне математические парадоксы рассыпаются не из-за формализации, а из-за обычного наведения строгости, по типу введения моего универсума множеств. А все нематематические парадоксы сводятся к игре словами естественного языка, и при наведении строгости так же рассыпаются. Формализация не привлекается ни там, ни там.

[waxtep]

EminentVictorians в сообщении #1631749 писал(а):

Все яркие цветы ароматны.
Ни один ароматный цветок не выращен в помещении.
_______________________________________________________
Некоторые выращенные в помещении цветы не ярки.

Можно же усилить, да? - "Все выращенные в помещении цветы не ярки". Если бы в помещении был выращен хотя бы один яркий цветок, он был бы ароматным, а таковых нет

[EminentVictorians]

waxtep в сообщении #1631756 писал(а):

Можно же усилить, да? - "Все выращенные в помещении цветы не ярки".

Если заменить "Некоторые выращенные в помещении цветы не ярки" на "Все выращенные в помещении цветы не ярки", то силлогизм как раз будет верным даже в первоначальном варианте с двумя посылками (без дополнительного требования непустоты).

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1631749 писал(а):

epros в сообщении #1631740 писал(а):

Силлогизмы, вообще-то, это вот такие рассуждения.

Так мое рассуждение про аликвотные дроби - это же в чистом виде силлогизм про Сократа: все ограниченные снизу подмножества имеют инфимум, аликвотные дроби ограничены снизу, значит они имеют инфимум.

Не, ну это замечательно. И где же именно в силлогизме про Сократа Вы увидели, что там должен быть квантор именно второго порядка?

EminentVictorians в сообщении #1631749 писал(а):

epros в сообщении #1631740 писал(а):

А эта самая ЛОГИКА она где есть, на полке у Вас в доме лежит?

Я писал уже как-то в другой теме насчет того, где на мой взгляд "находятся" подобные сущности:

Я понял: не полумифический платоновский мир, а Ваш полностью мифический неоплатоновский мир.

EminentVictorians в сообщении #1592753 писал(а):

Просто живут они не в платоновском мире идей, а немного в другом месте. Где-то в универсуме интерсубъективных кросс-культурных понятий, присущих всем людям (как биологическому виду). А может быть и не всем, а, например, достаточно образованным, чтобы эти абстракции воспринимать. Тут уже не знаю. Короче говоря, это не какой-то полумифический платоновский мир, а просто совокупность вещей, обусловленных, нашей биологией, историей, особенностям жизни на планете Земля и т.д.

Кстати, добавлю к последнему перечню из биологии, истории и т.п. единственную существенную вещь, которую Вы почему-то упустили: образование. А попросту говоря, чему нас учили, такова и будет наша логика. Вопрос только в том, как определяется то, чему нас будут учить.

EminentVictorians в сообщении #1631749 писал(а):

Я только за. Сформулировать, но не формализовывать. Я знаю, что Вы скажете, что это одно и то же, но тем не менее.

Да пожалуйста. Никто не мешает Вам изложить аксиомы логики (кстати, их не так много) на "человеческом" языке. По моим понятиям все эти аксиомы - не более, чем определения импликации, отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Ну и кванторов, когда мы переходим к исчислению предикатов. Только имейте в виду, что пользуясь "человеческим" языком, Вы рискуете быть неправильно переведённым.

EminentVictorians в сообщении #1631749 писал(а):

Формализация неизбежно влечёт фиксирование формального языка. Я же считаю, что уровень полной строгости в математике может быть достигнут путем рассуждений на обычном естественном языке по (строгим, но не формализованным) правилам обычной человеческой логики.

Вот я не могу понять, чем Вас пугает стрелочка вместо слова "следовательно" и значок $\exists$ вместо слова "существует": "А, какой ужас, это же формализация!"

Да это всего лишь сокращение записи!

EminentVictorians в сообщении #1631749 писал(а):

Хотя, здесь кстати тоже все не так очевидно. Вот возьмем, например, силлогизм Camenos:

Да, Вы верно подметили. Прошли столетия, прежде чем эти средневековые мудрецы заметили, что к некоторым силогизмам нужна оговорка: "Если такой объект существует". Кстати, в статье википедии такая оговорка есть.

Это я к чему? А к тому, что логика не упала нам на голову откуда-то из неведомого неоплатоновского мира, её правила разрабатывались и дорабатывались людьми. Сейчас у нас есть простая аксиома ex falso quodlibet (из лжи следует что угодно), из которой мы сразу видим, что некоторые силлогизмы требуют уточнения. А когда-то эта аксиома рождалась в муках и уточнения к силлогизмам были неочевидны.

А Вы сейчас хотите всю эту аксиоматику одним движением отбросить, положившись на собственную неизвестно откуда взявшуюся интуицию. (Это Вам неизвестно, а я-то знаю, что Вы тоже кое-чему учились, отсюда и Ваша "интуиция").

EminentVictorians в сообщении #1631749 писал(а):

Но исчерпывают ли силлогизмы все логические фигуры - я не знаю. Если исчерпывают и это как-то обосновывается - было бы интересно почитать об этом.

Интересно, где Вы собираетесь читать про только что Вами на ходу придуманное понятие "логических фигур"?

EminentVictorians в сообщении #1631749 писал(а):

Может быть вместо того, чтобы крутить всю эту шарманку по кругу, приведете конкретный пример, где я со своей обычной человеческой логикой обломаюсь, а вот формализация все расставит по своим местам.

Интересно, каким образом я могу за Вас привести пример рассуждения на основе Ваших интуитивных представлений? Пока Ваша интуиция соответствует аксиоматике, я могу это только подтвердить. Если не станет соответствовать, я Вам скажу (если замечу, потому что слежу не за всем).

Пока я могу только высказать общее впечатление, что в Ваших рассуждениях много лишних плясок с бубном там, где можно было бы прямо сослаться на аксиоматику.

-- Пн мар 04, 2024 10:57:35 --

EminentVictorians в сообщении #1631757 писал(а):

Если заменить "Некоторые выращенные в помещении цветы не ярки" на "Все выращенные в помещении цветы не ярки", то силлогизм как раз будет верным даже в первоначальном варианте с двумя посылками (без дополнительного требования непустоты).

Только это будет другой силлогизм.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1631744 писал(а):

Вы же слышали про теорему полноты для исчисления предикатов? Если ограничиваться логикой первого порядка, то любое высказывание либо выводится из аксиом, либо неверно в какой-то модели. В этом смысле других формальных способов доказательств не нужно.

Я воспринимаю теорему о полноте как некоторое утверждение, относящееся к специальном образом определенным строчкам в некотором специальным образом подобранном языке. Вопрос в том, насколько эти строчки (формальные высказывания) являются адекватной моделью реальных математических утверждений, и насколько формальные аксиомы исчисления предикатов и правила вывода являются адекватной моделью реальных логических умозаключений.

Mikhail_K в сообщении #1631742 писал(а):

Если записывать аксиому индукции в системе аксиом Пеано с квантификацией по подмножествам (а не превращать её в бесконечную схему аксиом и не использовать квантификацию по предикатам), то и не получится придумать факт о натуральных числах, который нельзя в ней доказать (который при этом в принципе доказуем). Конечно, это возможно только если мы рассматриваем теорию натуральных чисел как надстройку над теорией множеств, а не как самостоятельную формальную теорию.

Такое ощущение, что это будет справедливым и в общем случае. В том смысле, что если нечто имеет каноническую модель в логике второго порядка, то оно будет единственно с точностью до изоморфизма в (заранее зафиксированной модели) теории множеств. Да, модели самой теории множеств могут быть нестандартными, но если я верю в существование и единственность стандартной модели, то мне нет до них никакого дела. Просто у меня такое ощущение, что можно заменить $\mathbb N$ на $\mathbb R$ и ничего не поменяется. Интересно, у $\mathbb R$ тоже есть каноническая модель второго порядка? Интуитивно кажется что должна быть. Поэтому и модели $\mathbb R$ все изоморфны между собой в теории множеств.

epros в сообщении #1631768 писал(а):

И где же именно в силлогизме про Сократа Вы увидели, что там должен быть квантор именно второго порядка?

Давайте еще раз. Берем формальную теорию действительных чисел. Я произношу утверждение, что любое ограниченное снизу подмножество действительных чисел имеет инфимум. Я квантифицирую не по индивидам (действительным числам), а по подмножествам. Это значит, что квантификация второго порядка.

Но вообще, на мой взгляд, все эти порядки кванторов - это очередная формалистская ерунда. Это все берет свои корни из того факта, что теорию множеств принято считать отдельной формальной теорией, погруженной в логику. Но, по-моему, это как-то ненормально. Какая логика без теории множеств? Имхо, теория множеств должны быть не отдельной теорией, а частью логики.

-- 04.03.2024, 13:51 --

EminentVictorians в сообщении #1631783 писал(а):

В том смысле, что если нечто имеет каноническую модель в логике второго порядка

Я тут похоже не очень хорошо сформулировал. Я имел в виду категоричность соответствующей теории (натуральных или действительных чисел) в логике второго порядка.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1631783 писал(а):

Я квантифицирую не по индивидам (действительным числам), а по подмножествам. Это значит, что квантификация второго порядка.

Вообще-то сам факт того, что логика второго порядка - что-то особенное, поняли не так уж давно. Куда там всей этой средневековой силлогистике до этого. Кстати, квантификация по подмножествам, как объектам, сама по себе нормально выразима в логике первого порядка. Вещи, невыразимые без использования переменных второго порядка, куда хитрее.

EminentVictorians в сообщении #1631783 писал(а):

Но вообще, на мой взгляд, все эти порядки кванторов - это очередная формалистская ерунда.

Да уж, я вижу, что Вы всю критику Вашего отношения к "формалистской ерунде" в очередной раз благополучно пропустили мимо ушей.

EminentVictorians в сообщении #1631783 писал(а):

Какая логика без теории множеств?

Логика столетиями жила без теории множеств. И до сих пор могла бы нормально жить, если бы это понятие с нулевым содержанием - множество - не оказалось вдруг так раскручено.

EminentVictorians в сообщении #1631783 писал(а):

Имхо, теория множеств должны быть не отдельной теорией, а частью логики.

Теория множеств, продвигаемая в качестве оснований математики, всё же не может претендовать на то, чтобы быть "частью" логики. Всё, на что она имеет право претендовать, это считаться "универсальной" метатеорией, моделирующей любые прикладные теории. Возникающую при этом потребность в сильной аксиоматике как раз и удовлетворяет какая-нибудь ZFC.