Степень суммы

[Alek]

Antoshka в сообщении #1598689 писал(а):

необходимо, чтобы количество квадратов в левой части равенства было равно количеству квадратов в правой части равенства, либо меньше их

Не так, немного. Если количество квадратов слева и справа будет равным, то не будет истинным $z>y>x$.
А не истинным, данное соотношение быть не может, исходя из условий теоремы.

Antoshka в сообщении #1598689 писал(а):

Сначала берём и складываем $x^2+x^2=2x^2$, затем складываем $y^2+y^2=2y^2$, но что надо сделать, чтобы $2x^2,2y^2$ стали квадратами натуральных чисел? Нужно добавить к ним ещё по два квадрата, то есть будут квадраты такие $2x^2+2x^2=(2x)^2,2y^2+2y^2=(2y)^2$
Автор замечает, что от такого способа построения суммы квадратов их количество в левой части резко уменьшится,а именно в четыре раза, что очень ПЛОХО.

Это один из двух «неидеальных» способов, из-за катастрофически малого количества квадратов слева.
Иеальный способ один: когда основания слагаемых, это Пифагоровы числа тройки.
Тогда число квадратов слева, равно числу квадратов справа.

Но результат равенства в выражении, и здесь не достигается, ибо из соотношения $z>y>x$, число кв. справа, заведомо больше, посколку зет – наибольшее основание. Основание же – определяет количество квадратов, содержащихся в степени.

[wrest]

mihaild в сообщении #1598628 писал(а):

Если Вы поняли, о каком "количестве квадратов" идет речь, то может быть сможете написать нормальное определение?

1. Количество квадратов в разложении числа $x^3$ по способу ТС равно $x$.
2. Если $x^2+y^2=n^2$, то принимая во внимание $x<y$, $x^3+y^3=x\cdot n^2 + (y-x)y^2$ -- тут "количество квадратов" равно $x+(y-x)=y$ и оно $y<z$ ("зет, наибольшее, что автоматически полагает как большее число квадратов, ") Попутно утверждается, что $z>n$ "так и бОльшие величины квадратов"

Количество квадратов, видимо, величина аддитивная, то есть количество квадратов в $ax^2+by^2$ равно
$a+b$

А, ну ессно, ещё "количество квадратов" не есть величина постоянная, поскольку различной группировкой можно её менять, что ТС и делает в рассуждениях. Тут ещё надо следить за "основаниями" квадратов ("основание" в $x^2$ равно $x$), чтобы при группировке они не превысили $z$.

Как-то так... Там ещё ТС как-то пытался дополнить до полного квадрата случай $x^2+y^2 \ne n^2$ но я не понял как.

[Alek]

wrest в сообщении #1598690 писал(а):

wrest в сообщении #1598654

писал(а):
Пусть $x=20;y=21;z=26$
Раскладывая на квадраты вашим способом сумму $20^3+21^3=20 \cdot 29^2+21^2$ ясно видим, что $29>26$

Это так. Но Вы можете обратиться к неизменному соотношению ДО суммирований квадратов, когда $z>y>x$, именно им следует руководствоваться, когда Вы хотите определить, где же большее основание? Вестимо – у результата))
Это следует из теоремы.

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598695 писал(а):

Иеальный способ один: когда основания слагаемых, это Пифагоровы числа тройки.
Тогда число квадратов слева, равно числу квадратов справа.

Этот случай можно не рассматривать вовсе, поскольку решений там все равно не будет.
Пифагоровы тройки дают прямоугольный треугольник, а решение, любое решение,
даже не в рациональных числах, для $n>2$ может быть представлено только треугольником, у которого все три угла меньше прямого...

[mihaild]

Alek в сообщении #1598661 писал(а):

Во -первых, вы предлагаете зачем-то сокращённую версию, частично повторяющую ту, которую я процитировал

Я еще добавил важное слово "строчка".

Alek в сообщении #1598661 писал(а):

Во-вторых, икс в кубе, там не нужен.

Как не нужен?

Alek в сообщении #1598661 писал(а):

В третьих,считать количество плюсов

Поэтому это в скобках, для уточнения.

Alek в сообщении #1598661 писал(а):

вы забыли упомянуть последнее, заменив знаком куба (??)

Да, мы же договорились, что рассматриваем случай $n = 3$.
Без этого я не знаю, какое разложение у $64$ - то ли $2^2 + \ldots + 2^2$, то ли $4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2$, то ли вообще $8^2$.

Alek в сообщении #1598661 писал(а):

Тезисы «строчка... в которой повторено... плюсов..» ещё тяжелее.
Скажем так: математически, это мягко говоря не строго, как они, так и всё определение в целом.

Про тяжесть - ну извините, я думаю что эта формулировка может вызывать сложности в начальной школе, но должна быть понятна шестикласснику. Можно попробовать поймать шестиклассника и проверить.
Математически как раз то, что я написал, достаточно строго - по моей формулировке уже любой человек с хотя бы минимальной математической грамотностью сможет однозначно формализовать до уровня множеств, при необходимости.

Alek в сообщении #1598661 писал(а):

«моё» определение

Ещё раз: определения вы не привели. Вы определение определения прочитали?
Кстати, заметьте, что моё определение имеет вид "$X$ - это $Y$, такой что выполнено $Z$". Это стандартный вид определения, и 99% встречающихся в математике определений к нему легко приводятся. Попробуйте записать "своё" определение в таком виде.

Antoshka в сообщении #1598689 писал(а):

$x^3+y^3=z^3\Leftrightarrow (\sum\limits_{x}^{}x^2)+(\sum\limits_{y}^{}y^2)=(\sum\limits_{z}^{}z^2)$,

У Вас тут случайно индексы суммирования совпали с переменными, или в этом есть глубокий смысл?

Antoshka в сообщении #1598689 писал(а):

То есть он показывает, что чтобы этого достичь, нужно перегруппировать слагаемые левой части следующим образом

Т.е. всё-таки

mihaild в сообщении #1598510 писал(а):

Вы хотите по первому мультимножеству построить какое-то новое, состоящее тоже из квадратов (или не обязательно?), сумма которого равна сумме исходного, и дальше как-то из мощности этого нового мультимножества сделать вывод, что его сумма отличается от $z^3$.

Если так, то значит нужно 1) объяснить ТС в нормальных терминах, что он собственно делает и 2) продемонстрировать, что это бесперспективно. Первое выглядит гораздо сложнее второго.

Лукомор, это я тоже более-менее понял. Я бы спросил, считает ли ТС, что обязательно $z^2 = ax^2 + by^2$ (описанные Вами варианты соответствуют $a = b = 1$ и $a = 4$, $b = 0$), но мелькающее $2xy$ в эту схему не укладывается.
wrest, спасибо за попытку, но на чём именно определена функция "число квадратов" яснее не стало.

Кстати, попробую так спросить. Alek, для каких объектов можно считать число квадратов? Для каких из следующих объектов осмысленно спрашивать "сколько в них квадратов" (и сколько будет?):
1. Число $1$.
2. Число $64$.
3. Число $1/2$.
3. Строчка $7^2 + 8^2 + 9^2$.
4. Уравнение $x^3 + y^3 = z^3$.
5. Уравнение $\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} = -(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} + \nu \Delta\vec{v} - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{f}$.
6. Отрывной календарь за 1905 год.
7. Равенство $5^2 + 11^2 = 4^2 + 7^2 + 9^2$.

[Alek]

Лукомор в сообщении #1598693 писал(а):

Мне кажется, или я понял.

Цитата:

ТС стартует от двух геометрических фигур, кубов, со сторонами $x$ и $y$ соответственно.

Для суммы кубов, модель приемлемая. Доказательство для всех степеней, впрочем.

Цитата:

и считает это, почему-то, единственно возможным значением $z$, которое он "вычислил" для данных $x$ и $y$. И умиляется тем, что получившийся $z$ больше $y$, то-есть исходных"квадратов" не хватает, чтобы выйти на высоту куба с ребром $z$

Считаете это милым?)) По сути, модель с кубами хороша, но доказательство с ними, было чересчур громоздкое.

Цитата:

Все значения $z$ из диапазона $x<z<2x$, естественно, не рассматриваются.

Диапазон мягко говоря надуман. Или так: он лишний, и не нужен для анализа. Вот вообще никак.

Единственный и неповторимый)) диапазон, Вы легко увидите в самой теореме.
Именно там, «диапазон» имеет единственно возможный адекватный вариант: $z>y>x$, при том условии конечно, если Вы решите признать икс в степени эн, наименьшим слагаемым)) Ну куда деваться? Можно игрек.. но никто не поймёт такой модерн, разницы нет, а к иксу* уже давно привыкла масса народу.

Все остальные «диапазоны» в любых мыслимых комбинациях, непременно порождают избыточный анализ, с километровыми формулами и другими сопутствующими «бонусами». Хотя любой такой измышлизм, может быть при желании, легко приведён к классическому соотношению, от которого плясать кратно легче, неели чем.

Попробуйте, если сочтёте нужным, играть не от геометрических кубов, а от геометрических площадей, так экономится масса ресурсов. Не представляя в уме всяҡие объёмы, сразу резать степень на квадраты без толщины причём.

-- 23.06.2023, 05:43 --

Лукомор в сообщении #1598693 писал(а):

Мне кажется, или я понял.

Цитата:

ТС стартует от двух геометрических фигур, кубов, со сторонами $x$ и $y$ соответственно.

Для суммы кубов, модель приемлемая. Доказательство для всех степеней, впрочем.

Цитата:

и считает это, почему-то, единственно возможным значением $z$, которое он "вычислил" для данных $x$ и $y$. И умиляется тем, что получившийся $z$ больше $y$, то-есть исходных"квадратов" не хватает, чтобы выйти на высоту куба с ребром $z$

Считаете это милым?)) По сути, модель с кубами хороша, но доказательство с ними, было чересчур громоздкое.

Цитата:

Все значения $z$ из диапазона $x<z<2x$, естественно, не рассматриваются.

Диапазон мягко говоря надуман. Или так: он лишний, и не нужен для анализа. Вот вообще никак.

Единственный и неповторимый)) диапазон, Вы легко увидите в самой теореме.
Именно там, «диапазон» имеет единственно возможный адекватный вариант: $z>y>x$, при том условии конечно, если Вы решите признать икс в степени эн, наименьшим слагаемым)) Ну куда деваться? Можно игрек.. но никто не поймёт такой модерн, разницы нет, а к иксу* уже давно привыкла масса народу.

Все остальные «диапазоны» в любых мыслимых комбинациях, непременно порождают избыточный анализ, с километровыми формулами и другими сопутствующими «бонусами». Хотя любой такой измышлизм, может быть при желании, легко приведён к классическому соотношению, от которого плясать кратно легче, неели чем.

Попробуйте, если сочтёте нужным, играть не от геометрических кубов, а от геометрических площадей, так экономится масса ресурсов. Не представляя в уме всяҡие объёмы, сразу резать степень на квадраты без толщины причём.

-- 23.06.2023, 05:46 --

Лукомор в сообщении #1598702 писал(а):

Этот случай можно не рассматривать вовсе, поскольку решений там все равно не будет.
Пифагоровы тройки дают прямоугольный треугольник, а решение, любое решение,
даже не в рациональных числах, для $n>2$ может быть представлено только треугольником, у которого все три угла меньше прямого...

Можно и не рассматривать. Вот только этот случай, был ближе всего к невозможному равенству))
Все остальные сучаи, вообще.. в гранд каньоне))

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598706 писал(а):

Считаете это милым?))

Считаю это прежде всего ошибочным...

-- Чт июн 22, 2023 22:00:20 --

Alek в сообщении #1598706 писал(а):

Или так: он лишний, и не нужен для анализа.

Он не лишний, и вы теряете возможные решения...

[Alek]

mihaild в сообщении #1598705 писал(а):

Я еще добавил важное слово "строчка".

Я видел, и указал на это

mihaild в сообщении #1598705 писал(а):

Как не нужен?

Ну вот так, не нужен (икс в кубе). Правило для любой степени, и доказательство на старте, тоже.

mihaild в сообщении #1598705 писал(а):

Поэтому это в скобках, для уточнения.

Нет-нет)) Даже уточнять это такое не надо))

mihaild в сообщении #1598705 писал(а):

Да, мы же договорились, что рассматриваем случай $n = 3$.
Без этого я не знаю, какое разложение у $64$ - то ли $2^2 + \ldots + 2^2$, то ли $4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2$, то ли вообще $8^2$.

Договорились, да. Но вы упёрлись в определение, и не пошли дальше.
Интересно Вы пытаетесь разложить, слов нет)) А какое число и в какой степени, вы захотели внести в выражение?
Вот его и раскладывайте, какое бы оно ни было, там у Вас вариант – единственный)) По определению, и формуле))
Начнёте мельчить если, только удлините счёт, вот и всё.

mihaild в сообщении #1598705 писал(а):

Про тяжесть - ну извините, я думаю что эта формулировка может вызывать сложности в начальной школе, но должна быть понятна шестикласснику. Можно попробовать поймать шестиклассника и проверить.
Математически как раз то, что я написал, достаточно строго - по моей формулировке уже любой человек с хотя бы минимальной математической грамотностью сможет однозначно формализовать до уровня множеств, при необходимости.

Незачем извиняться, я ведь пояснил, что это моя вкусовщина. Видели? А технически если, «моё» полнее. А суть у них одна. Но Вы свою предложили, а мою забраковали мол – не определение)) А Вы сравните))

mihaild в сообщении #1598705 писал(а):

Ещё раз: определения вы не привели. Вы определение определения прочитали?
Кстати, заметьте, что моё определение имеет вид "$X$ - это $Y$, такой что выполнено $Z$". Это стандартный вид определения, и 99% встречающихся в математике определений к нему легко приводятся. Попробуйте записать "своё" определение в таком виде.

Вот и я об этом)) Не нужно узко специализировать үниверсальное (!) определение для ВТФ, оно и так работает))

-- 23.06.2023, 06:09 --

mihaild в сообщении #1598705 писал(а):

Кстати, попробую так спросить. Alek, для каких объектов можно считать число квадратов? Для каких из следующих объектов осмысленно спрашивать "сколько в них квадратов" (и сколько будет?):
1. Число $1$.
2. Число $64$.
3. Число $1/2$.
3. Строчка $7^2 + 8^2 + 9^2$.
4. Уравнение $x^3 + y^3 = z^3$.
5. Уравнение $\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} = -(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} + \nu \Delta\vec{v} - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{f}$.
6. Отрывной календарь за 1905 год.
7. Равенство $5^2 + 11^2 = 4^2 + 7^2 + 9^2$.

Для натуральных чисел, с натуральным показателем)) Смотрите сами)) [неужто календарик?...]

-- 23.06.2023, 06:12 --

Лукомор в сообщении #1598708 писал(а):

Он не лишний, и вы теряете возможные решения...

Есть конкретный пример? Если так, то уже интересно.

[Лукомор]

Alek в сообщении #1598706 писал(а):

единственно возможный адекватный вариант: $z>y>x$

У Вас между $z$ и $y$ образовалась дырка, где могут прятаться корни уравнения.
В том знаменитом примере $20, 21, 26$ Вы от 21 сразу убегаете к $z=26$, то-есть туда, где решения уж точно не будет, почему не будет, я уже объяснял выше, это пифагорова тройка, а решение могло бы быть как раз при $21 < z < 26$. Но вы эти значения полагаете недостойными Вашего внимания, и, тем самым, ничего не доказываете.

[wrest]

Лукомор в сообщении #1598712 писал(а):

В том знаменитом примере $20, 21, 26$ Вы от 21 сразу убегаете к $z=26$, то-есть туда, где решения уж точно не будет, почему не будет, я уже объяснял выше, это пифагорова тройка,

Я дико извиняюсь, но пифагорова тройка тут $20,21,29$. Ну и $25<\sqrt[3]{20^3+21^3}<26$ (и, конечно, $<29$)

[mihaild]

Alek в сообщении #1598710 писал(а):

Ну вот так, не нужен (икс в кубе). Правило для любой степени, и доказательство на старте, тоже

Мы же договорились

mihaild в сообщении #1598584 писал(а):

Предлагаю пока зафиксировать $n = 3$,

И, кстати, правила раздела этого тоже требуют.

Alek в сообщении #1598710 писал(а):

А какое число и в какой степени, вы захотели внести в выражение?

Хочу разложить число $64$. Что значит "внести в выражение" - не знаю.

Alek в сообщении #1598710 писал(а):

Вот его и раскладывайте, какое бы оно ни было, там у Вас вариант – единственный)) По определению, и формуле

Так а какой из трех приведенных мной вариантов правильный?

Alek в сообщении #1598710 писал(а):

Вот и я об этом)) Не нужно узко специализировать үниверсальное (!) определение для ВТФ, оно и так работает

Так нету определения-то.

Alek в сообщении #1598710 писал(а):

Для натуральных чисел, с натуральным показателем

Ага, т.е. Вы считаете число квадратов для строчек вида $x^k$, где $x$ и $k$ - натуральные числа, $k \geq 2$, и получаете число $x^{k-2}, так?
(именно для строчек, а не для чисел, потому что $8^2$ и $4^3$ это одно и то же число)

[wrest]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1598715 писал(а):

квадратов для строчек вида $x^k$,

Я бы вместо слова "строчка" использовал тут слово "запись" или "представление"

[Booker48]

Alek в сообщении #1598371 писал(а):

Просто я ранее уже публиковал это на других ресурсах, с формулами

На каких ресурсах? Здесь уже очень много написано, не хочется переводить длинный текст в формулы, дайте, пожалуйста, ссылку на ваше формульное доказательство.

[Alek]

Лукомор в сообщении #1598712 писал(а):

У Вас между $z$ и $y$ образовалась дырка, где могут прятаться корни уравнения.
В том знаменитом примере $20, 21, 26$ Вы от 21 сразу убегаете к $z=26$, то-есть туда, где решения уж точно не будет, почему не будет, я уже объяснял выше, это пифагорова тройка, а решение могло бы быть как раз при $21 < z < 26$. Но вы эти значения полагаете недостойными Вашего внимания, и, тем самым, ничего не доказываете.

Здорово)) И я – ровно два раза расписывал здесь полное решение о невозможности результата именно в этом примере))

И можете показать, как Вы реализуете решение для $21 < z < 26$ с недостойными значениями? А то вообще непонятно, чем оно отличается от стандарта.
Ибо если я и впрямь упустил*, то возможно весь топик и статья, яйца выеденного не стоит. Так как, покажете?

[Лукомор]

wrest в сообщении #1598713 писал(а):

Я дико извиняюсь, но пифагорова тройка тут $20,21,29$. Ну и $25<\sqrt[3]{20^3+21^3}<26$ (и, конечно, $<29$)

Нет, позвольте!
Я еще более дико извиняюсь!
Я ошибся, все правильно у Вас!
Так тем более же ж!
С 21 ТС сразу улетает на 29, где уже решения точно нет, потому как Пифагор не одобряет степени больше 2, а вот в районе 25...26 следовало бы хотя бы попытаться поискать решение, оно там наиболее вероятно...