2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Про функцию Римана
Сообщение06.11.2008, 23:27 
Помогите пожалуйста со следующей задачкой:

f(x)= 1/q если х=p/q -несократимая дробь & 0 если х иррационально
Проверить что функция римана непрерывна в каждой иррациональной точке и разрывна в каждой рациональной точке. Каков характер разрыва функции в рациональных точках?
P.S.
f(x)= системе с двумя условиями просто не разобрался как тут печатать

 
 
 
 
Сообщение07.11.2008, 00:07 
$$f(x)=\begin{cases}\frac 1q\text{, если $x=\frac pq$ - несократимая дробь,}\\ 0\text{, если $x$ иррационально.}\end{cases}$$

Код:
$$f(x)=\begin{cases}\frac 1q\text{, если $x=\frac pq$ - несократимая дробь,}\\ 0\text{, если $x$ иррационально.}\end{cases}$$


Если числитель или знаменатель дроби содержит больше одного символа, то его (числитель или знаменатель соответственно) следует заключить в фигурные скобки.

Подробнее смотрите здесь: http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html, http://dxdy.ru/topic11877.html.

P.S. Если не разберётесь, тема может оказаться в "Карантине".

 
 
 
 
Сообщение07.11.2008, 01:37 
Nival
Разрывность в рациональных точках достаточно очевидна ( укажите две последовательности, сходящиеся к некоторой рациональной точке и имеющие разные пределы ( для $f(x_n)$ ) ), непрерывность в иррациональных можно доказать используя определение непрерывности по Гейне.

 
 
 
 
Сообщение07.11.2008, 09:23 
Аватара пользователя
Обратите внимание, что во первых функция ограничена,
во вторых, для любого е существует лишь конечное число точек, в которых функция больше е.
Ну и наконец, что множество иррациональных чисел всюду плотно, то есть в любом интервале их бесконечно много.

 
 
 
 
Сообщение07.11.2008, 09:33 
Аватара пользователя
gris в сообщении #156525 писал(а):
Обратите внимание, что во первых функция ограничена,
во вторых, для любого е существует лишь конечное число точек, в которых функция больше е.
Даже для е=0? Да и для е = 0.1 таких точек бесконечно много.... :shock:

 
 
 
 
Сообщение07.11.2008, 10:37 
Аватара пользователя
Ув. Brukvalub, согласен.
Вот что значит, не попивши кофею, спешить запоститься в форум :)
Но согласен только с тем, что должно быть e>0.
Вот что я хотел сказать: на любом отрезке [n; n+1] имеется лишь конечное число точек, в которых функция больше е. Даже на любом конечном отрезке!
Мне кажется даже, что функция периодична с периодом 1 (?)
Рассмотрим на [0;1). Все рациональные числа представимы в виде несократимых правильных дробей. Ну и...
А вообще функция
$$f(x)=\begin{cases}q\text{, если $x=\frac pq$ - несократимая дробь,}\\ 0\text{, если $x$ иррационально.}\end{cases}$$
мне милее.

 
 
 
 
Сообщение07.11.2008, 12:26 
Разрывам функции Римана посвящены темы: Множества точек разрыва функций Римана и Дирехле, Функция Римана, функция Римана.

В соответствии с п 2 раздела III Правил Форума: «Прежде всего, осуществите поиск по ключевым словам – возможно, Ваш или близкий к Вашему вопрос рассматривался ранее. Если Вы не нашли ответ на свой вопрос или подходящей темы, где бы рассматривались близкие вопросы, Вы можете создать свою тему» [Курсив GAA].

Модераторы, может эти темы объединить в одну: «Множества точек разрыва функций Римана и Дирихле»?

 
 
 
 
Сообщение07.11.2008, 21:18 
Аватара пользователя
И ещё родственные темы: "Функция Римана (обратные свойства)", "Разрывность функции Дирихле".

 
 
 
 
Сообщение07.11.2008, 22:47 
насчет периода функции я думал иначе: у функции как у дирехле все точки - периоды функции но наименьшего периода у нее нет

 
 
 
 
Сообщение07.11.2008, 22:57 
Аватара пользователя
Nival в сообщении #156667 писал(а):
насчет периода функции я думал иначе: у функции как у дирехле все точки - периоды функции но наименьшего периода у нее нет
Это - неверно.

 
 
 
 
Сообщение07.11.2008, 23:34 
неверно про дирехле или про римана?

 
 
 
 
Сообщение08.11.2008, 08:54 
Аватара пользователя
И при Дирихле, и про Римана.

 
 
 
 
Сообщение08.11.2008, 09:44 
Аватара пользователя
Уважаемый Nival,
Иогáнн Пéтер Гýстав Лежён-Дирихлé (нем. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) — немецкий математик, внёсший существенный вклад в математический анализ и теорию функций.

Дирихле (с учетом этимологии его правильнее было бы называть Диришле) родился в вестфальском городе Дюрене в семье почтмейстера. Его предки были выходцами из бельгийского городка Ришле (Richelet), этим обусловлено происхождение необычной для немецкого языка фамилии. Имя Лежён имеет аналогичное происхождение — деда называли «молодым человеком из Ришле» (фр. Le Jeune de Richelet). ( wikipedia)

В фамилии Дирихле вторая буква И, а не Е. И последняя е, а не Ё, как говорят некоторые студиоусы. Извините за столь нематематическое примечание.

А насчёт точек разрыва, вспомните, какие они бывают. Есть ли в рациональной точке предел справа или слева и чему они равны, если вообще существуют.

Попробуйте окружить любую точку небольшой окрестностью и посмотрите чему может равняться максимальное значение функции в этой окрестности (проколотой в самой точке). Потом сделайте окрестность еще меньше, чтобы она не включала точку с этим максимальным значением. Посмотрите на функцию в микроскоп :) (с увеличением только по оси х).

Вообще полезно конструировать самые разнообразные функции. Разрывные во всех точках, как функция Дирихле, или только в рациональных, как функция Римана. Попробуйте создать функцию, непрерывную в рациональных точках и разрывную в иррациональных :)

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group