Разрывность функции Дирихле

[Mr. Bean]

Господа, как доказать, что функция Дирихле разрывна на всей числовой прямой?
Кажется, я доказал, но хотелось бы узнать ваши варианты.
Заранее благодарю.

[Someone]

Mr. Bean писал(а):

Господа, как доказать, что функция Дирихле разрывна на всей числовой прямой?
Кажется, я доказал, но хотелось бы узнать ваши варианты.
Заранее благодарю.

Может быть, будет лучше, если Вы здесь изложите свой вариант, а мы его покритикуем и подправим в случае необходимости?

Там, собственно говоря, трудно найти какие-нибудь проблемы. Берём определение непрерывности функции в точке и пытаемся его применить.

Кстати, под функцией Дирихле Вы имеете в виду функцию, которая равна 0 во всех иррациональных точках и 1 во всех рациональных?

[Mr. Bean]

Да, $\chi(x)=1,$ если $x\in\mathbb{Q}$, и $\chi(x)=0,$ если $x\in\mathbb{R}\verb
Вот мой вариант доказательства.
Предположим, $\exists\lim\limits_{x\to x_0} \chi(x) = c<\infty$
Тогда $\forall \varepsilon \exists \delta: \forall x: x_0 - \delta < x < x_0 + \delta$ выполняется $|\chi(x) - c| < \varepsilon
Возьмем $x\in\mathbb{Q}: x_0 - \delta < x < x_0 + \delta, $ тогда $|1-c|<\varepsilon$, или $1-\varepsilon < c < 1+ \varepsilon
Теперь возьмем $x\in\mathbb{R}\verb
Для $\varepsilon=\frac1 2$, например, получаем противоречие.
Т.е. предела не существует в любой точке.

[Dan_Te]

Это верное доказательство.

[zkutch]

Для любого действительного числа существует сходящаяся к нему последовательность как состоящая только из рациональых чисел, так и состоящая только из иррациональных чисел. Соответствующие последовательности значений функции одна сходится к нулю, другая к единице, что противоречит существованию предела функции по Гейне.

[SMiV]

А в чем собсно противоречие?javascript:emoticon(':oops:')

[bot]

Вы о доказательстве от Mr. Bean или от zkutch ?
И там и там противоречие с определениями предела, в первом по Коши, во втором по Гейне. Если Вы его не видите, то внимательно разберитесь с определениями.

[Mopnex]

Кстати, по ходу вопрос, можно ли доказать эквивалентность двух определений предела не используя аксиому выбора?

[SMiV]

Вопрос был про первое доказательство...Определения я оба помню, но вот понять в чём противоречие не могу, может в том что дельта-окр не найдётся?...Объясните, пжлст.
toMopnex: Если не ошибаюсь, то можно...

[bot]

Mopnex писал(а):

Кстати, по ходу вопрос, можно ли доказать эквивалентность двух определений предела не используя аксиому выбора?

Вопрос, конечно, интересный, но как быть с тем, что в самом определении присутствует квантор "существует"? Похоже, конструктивизмом пахнет. Уж не знаю, как они с понятием предела работают, но у наиболее оголтелых представителей этого племени все функциии непрерывны, да и множество действительных чисел конечно. Тут уж вроде бы не до пределов.

SMiV писал(а):

Вопрос был про первое доказательство... Определения я оба помню...

Там ведь написано для всякого $\varepsilon ... $ А если для всякого, то в том числе и для $\varepsilon=\frac1 2 \ \ \delta$-окрестность нашлась, а в этой окрестности точки есть, рациональные и иррациональные ...
А теперь взгляните на неравенства $|1-c|<\varepsilon$ и $|c|<\varepsilon$ при $\varepsilon=\frac1 2 $

[SMiV]

Спасибо! Но мне чего-то всё равно туговато...
Вот нашёл похожее задание и опять трудности. Если не трудно, не могли бы подсказать идею его решения?

Функция задана так:
(f(x)=x, если x-рац.)и(f(x)=-x, если x-иррац.).

Док-ть, что функция непрерывна только в нуле.

Я расписал по опр. предела(по Коши), но вот момент с окресностями мне не понятен...Не подскажете?:shock:

[bot]

Зафиксируйте $x_0 \ne 0$ и действуйте по тому же плану. Непрерывность в 0 ещё проще.

[SMiV]

Сейчас в книге нашёл это задание в разобранном виде. Спасибо!

[bot]

В разобранном, хм, собирать теперь надо.

[boloboshenku]

bot писал(а):

Непрерывность в 0 ещё проще.

Извиняюсь, а как показать, что $\forall \varepsilon, \exists \delta : \forall x: -\delta<x<\delta$ выполняется $-\varepsilon<f(x)<\varepsilon$(что, собственно, и означает непрерывность)?..