функция Римана

[Злобный Пес]

Доказать, что функция Римана


непрерывна в любой иррациональной точке и имеет разрывы во всех рациональных точках.

[Бодигрим]

Посмотрите в Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), глава, если не ошибаюсь изданием, 70 "Примеры разрывных функций".

[Профессор Снэйп]

По определению

Что значит функция $f$ непрерывна в точке $x_0$? Это значит, что

$$ (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x)(|x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon) $$

Возьмите произвольное $\varepsilon > 0$ и пусть $x_0$ иррационально. В oтрезке $[x_0 - \varepsilon, x_0+\varepsilon]$ лежит лишь конечное число рациональных чисел вида $p/q$, для которых $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ и $q < 1/\varepsilon$. В качестве $\delta$ возьмите минимальное расстояние от $x_0$ до одного из таких чисел. Покажите, что всё выполнено.

Для рационального $x_0$ действуйте похожим образом.

[arqady]

Профессор Снэйп писал(а):

По определению

Что значит функция $f$ непрерывна в точке $x_0$? Это значит, что

$$ (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x)(|x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon) $$

Что вдруг

$$\delta>0$$

$$?$$

[Профессор Снэйп]

arqady писал(а):

Что вдруг

$$\delta>0$$

$$?$$

Не понял.

[arqady]

Профессор Снэйп писал(а):

arqady писал(а):

Что вдруг

$$\delta>0$$

$$?$$

Не понял.

Можно просто

$$\delta$$

без больше нуля.

[Brukvalub]

arqady писал(а):

Можно просто

$$\delta$$

без больше нуля.

Конечно же - НЕЛЬЗЯ, ибо пустое множество обладает любым нужным Вам свойством.

[Профессор Снэйп]

arqady писал(а):

Можно просто

$$\delta$$

без больше нуля.

Нельзя. Brukvalub верно заметил, что если выбирать $\delta$ отрицательным, то непрерыной окажется любая функция в любой точке.

[arqady]

Профессор Снэйп, Brukvalub вы правы, а я неправ. Ведь нам нужно доказать непрерывность.
Но если уже непрерывность есть, то

$$\delta,$$

которое найдётся, может быть любым. Но это уже другая задача.

[Профессор Снэйп]

arqady писал(а):

Но если уже непрерывность есть, то

$$\delta,$$

которое найдётся, может быть любым. Но это уже другая задача.

Не любым, а зависящим от $\varepsilon$.

[arqady]

Профессор Снэйп писал(а):

arqady писал(а):

Но если уже непрерывность есть, то

$$\delta,$$

которое найдётся, может быть любым. Но это уже другая задача.

Не любым, а зависящим от $\varepsilon$.

Ну да, которое найдётся по $\varepsilon$ может быть любым.

[Профессор Снэйп]

arqady писал(а):

Ну да, которое найдётся по $\varepsilon$ может быть любым.

Нет, не любым!

[arqady]

Профессор Снэйп писал(а):

arqady писал(а):

Ну да, которое найдётся по $\varepsilon$ может быть любым.

Нет, не любым!

Нет любым!

[Бодигрим]

arqady писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

arqady писал(а):

Ну да, которое найдётся по $\varepsilon$ может быть любым.

Нет, не любым!

Нет любым!

Эм-м-м... То есть, например, для $f(x)=x$, являющейся непрерывной функцией, можно записать $\forall \varepsilon \quad \forall \delta \quad |x-x_0|<\delta \quad \to \quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$? Я верно понял вашу позицию?

[arqady]

Бодигрим писал(а):

arqady писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

arqady писал(а):

Ну да, которое найдётся по $\varepsilon$ может быть любым.

Нет, не любым!

Нет любым!

Эм-м-м... То есть, например, для $f(x)=x$, являющейся непрерывной функцией, можно записать $\forall \varepsilon \quad \forall \delta \quad |x-x_0|<\delta \quad \to \quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$? Я верно понял вашу позицию?

Вы неверго поняли мою позицию.
Для непрерывной функции $f$ выполняется:

$$ \forall \varepsilon > 0\exists \delta \forall x:|x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon $$