2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Функция, непрерывная в рац. точках и разрывная в иррациональ
Сообщение17.10.2005, 20:41 
Народ подскажите как доказать что не существует функции по свойствам обратным функции Римана....
Функция Римана непрерывна в каждой иррациональной точке отрезка и разрывна в каждой его рациональной точке.
При иррацион f(x)=0
при рацион f(x)=1/n где m/n - рац. число....

  
                  
 
 Re: Функция Римана (обратные свойства)
Сообщение17.10.2005, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14812
Новомосковск
Freez[e] писал(а):
Народ подскажите как доказать что не существует функции по свойствам обратным функции Римана....
Функция Римана непрерывна в каждой иррациональной точке отрезка и разрывна в каждой его рациональной точке.
При иррацион f(x)=0
при рацион f(x)=1/n где m/n - рац. число....


Под "обратными свойствами" подразумевается, что функция должна быть непрерывной во всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных?

Предположим, что на числовой прямой $\mathbb{R}$ задана функция $f(x)$, которая имеет всюду плотное множество точек непрерывности.

Возьмём любое натуральное число $n\in\mathbb{N}$ и определим множество $U_n$ как объединение всех интервалов $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$, удовлетворяющих следующему условию: для любых $x,y\in(a,b)$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{n}$.

Множество $U_n$, очевидно, открыто; кроме того, оно является всюду плотным, так как содержит множество точек непрерывности функции $f(x)$. Поэтому дополнительное множество $F_n=\nathbb{R}\setminus U_n$ замкнуто и нигде не плотно на числовой прямой $\mathbb{R}$.

Пересечение всех множеств $U_n$, разумеется, совпадает с множеством точек непрерывности функции $f(x)$, в то время как множество точек разрыва является объединением счётного семейства нигде не плотных множеств $F_n$, $n\in\mathbb{N}$, то есть, множеством первой категории.

Поскольку по теореме Бэра множество иррациональных чисел не является множеством первой категории, оно не может быть множеством точек разрыва никакой функции, определённой на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

P.S. Судя по предварительному просмотру, трансляция TeX-овских формул отлажена плохо: одно и то же выражение \mathbb{R} дало три разных шрифта. А \frac{1}{n} вообще дало какую-то ерунду, пришлось написать 1/n.

P.P.S. Спасибо за подсказку. Но я был уверен, что тег {math}{/math} знаки доллара заменяет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2005, 00:03 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4091
London
Вот что получится, если писать {math}$</span><!-- b end -->...<span style={/math}

Под "обратными свойствами" подразумевается, что функция должна быть непрерывной во всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных?

Предположим, что на числовой прямой $\mathbb{R}$ задана функция $f(x)$, которая имеет всюду плотное множество точек непрерывности.

Возьмём любое натуральное число $n\in\mathbb{N}$ и определим множество $U_n$ как объединение всех интервалов $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$, удовлетворяющих следующему условию: для любых $x,y\in(a,b)$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<1/n$.

Множество $U_n$, очевидно, открыто; кроме того, оно является всюду плотным, так как содержит множество точек непрерывности функции $f(x)$. Поэтому дополнительное множество $F_n=\nathbb{R}\setminus U_n$ замкнуто и нигде не плотно на числовой прямой $\mathbb{R}$.

Пересечение всех множеств $U_n$, разумеется, совпадает с множеством точек непрерывности функции $f(x)$, в то время как множество точек разрыва является объединением счётного семейства нигде не плотных множеств $F_n$, $n\in\mathbb{N}$, то есть, множеством первой категории.

Поскольку по теореме Бэра множество иррациональных чисел не является множеством первой категории, оно не может быть множеством точек разрыва никакой функции, определённой на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2005, 00:06 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4091
London
А вот что получится, если все загнать под {math}, окружив формулы $$:
http://lib.mexmat.ru/math/9643904e56a12 ... 285b50.png

Код:
[math]Под "обратными свойствами" подразумевается, что функция должна быть непрерывной во всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных?

Предположим, что на числовой прямой $\mathbb{R}$ задана функция $f(x)$, которая имеет всюду плотное множество точек непрерывности.

Возьмём любое натуральное число $n\in\mathbb{N}$ и определим множество $U_n$ как объединение всех интервалов $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$, удовлетворяющих следующему условию: для любых $x,y\in(a,b)$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<1/n$.

Множество $U_n$, очевидно, открыто; кроме того, оно является всюду плотным, так как содержит множество точек непрерывности функции $f(x)$. Поэтому дополнительное множество $F_n=\nathbb{R}\setminus U_n$ замкнуто и нигде не плотно на числовой прямой $\mathbb{R}$.

Пересечение всех множеств $U_n$, разумеется, совпадает с множеством точек непрерывности функции $f(x)$, в то время как множество точек разрыва является объединением счётного семейства нигде не плотных множеств $F_n$, $n\in\mathbb{N}$, то есть, множеством первой категории.

Поскольку по теореме Бэра множество иррациональных чисел не является множеством первой категории, оно не может быть множеством точек разрыва никакой функции, определённой на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.[/math]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2005, 21:02 
Коротко но есть непонятные моменты...
разъясните неродивому перваку
1) почему все точки х и у должны удовлетворять |f(x)-f(y)|<1/n ??
2) если можно дайте док-во для иррациональных чисел, сто они не образуют множества перыой категории :)

  
                  
 
 Функция Римана: "обратные" свойства.
Сообщение18.10.2005, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14812
Новомосковск
Freez[e] писал(а):
Коротко но есть непонятные моменты...
разъясните неродивому перваку
1) почему все точки х и у должны удовлетворять |f(x)-f(y)|<1/n ??
2) если можно дайте док-во для иррациональных чисел, сто они не образуют множества перыой категории :)


1) Прежде всего, я нигде не говорил, что все точки $x$ и $y$ удовлетворяют этому неравенству. Я говорил об объединении интервалов, все точки которых удовлетворяют этому неравенству. Такие интервалы существуют всегда, когда функция имеет точки непрерывности. Если $x_0\in\mathbb{R}$ - точка непрерывности функции $f(x)$, то, по определению, для любого $n\in\mathbb{N}$ существует такое число $\delta>0$, что для всех $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ выполняется неравенство $|f(x)-f(x_0)|<\frac{1}{2n}$. Тогда для любых $x,y\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ получаем
$$|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(x_0)+f(x_0)-f(y)|\leqslant$$
$$\leqslant|f(x)-f(x_0)|+|f(y)-f(x_0)|<\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}$$,
откуда следует, что интервал $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ содержится в нашем множестве $U_n$ вместе с точкой непрерывности $x_0$. Так как мы предположили, что функция $f(x)$ непрерывна во всех рациональных точках, отсюда следует, что открытое (как объединение интервалов) множество $U_n$ содержит все рациональные точки и, следовательно, всюду плотно на числовой прямой, а его дополнение $F_n=\mathbb{R}\setminus U_n$ замкнуто и нигде не плотно.

2) Пусть нам задана последовательность нигде не плотных множеств $F_n\subseteq\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$. Нужно доказать, что множество иррациональных чисел не содержится в $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$. Напротив, заранее будем предполагать, что множество рациональных чисел содержится в этом объединении. Если это вдруг не так, то перечислим все рациональные числа в виде последовательности $\{r_n:n\in\mathbb{N}\}$ (надеюсь, Вы знаете, как это сделать) и заменим каждое из множеств $F_n$ множеством $F_n\cup\{r_n\}$; при этом все наши множества останутся нигде не плотными.
Так как множество $F_1$ нигде не плотно, существует отрезок $[a_1,b_1]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_1$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_1-a_1\leqslant 1$.
Предположим, что для некоторого $n\in\mathbb{N}$ уже построен отрезок $[a_n,b_n]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_n$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_n-a_n\leqslant\frac{1}{n}$.
Так как множество $F_{n+1}\cap(a_n,b_n)$ нигде не плотно, существует отрезок $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]\setminus F_{n+1}$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_{n+1}-a_{n+1}\leqslant\frac{1}{n+1}$, и мы можем продолжать построение неограниченно.
Кроме перечисленных свойств, наше построение обеспечивает выполнение условия
$$[a_1,b_1]\supseteq[a_2,b_2]\supseteq[a_3,b_3]\supseteq\ldots\supseteq[a_n,b_n]\supseteq\ldots$.
По теореме о стягивающейся последовательности отрезков (надеюсь, Вы её помните), существует единственная точка $q_0\in\mathbb{R}$, принадлежащая всем отрезкам $[a_n,b_n]$, $n\in\mathbb{N}$. Точка $q_0$, по построению, не принадлежит $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$ и, в частности, не является рациональным числом.
Таким образом, множество иррациональных чисел не содержится в $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$ и, следовательно, не является множеством первой категории.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2005, 20:21 
Так вот читаю но интересно док-во того что множество открыто тогда и только тогда когда дополнительное множество является замкнутым...ламовато но в голове док-ва нет а ето есть задача...:)

  
                  
 
 
Сообщение09.11.2005, 09:54 
А как доказать что множество открыто тогда и только тогда когда дополнительное множество является замкнутым :D :D :D

  
                  
 
 
Сообщение09.11.2005, 13:02 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
По определению открытого и замкнутого множества.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2005, 18:17 
dm писал(а):
По определению открытого и замкнутого множества.


Может ты это всё напишешь... Подробно если не в падлу. ПЛИИИИИИИИИИИИЗ!!!! :lol: :lol: :lol:

  
                  
 
 
Сообщение10.11.2005, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14812
Новомосковск
Anonymous писал(а):
dm писал(а):
По определению открытого и замкнутого множества.
Может ты это всё напишешь... Подробно если не в падлу. ПЛИИИИИИИИИИИИЗ!!!! :lol: :lol: :lol:


Господи, да что же за вопрос такой!

Главное, ответ зависит от определения открытых и замкнутых множеств.

В рамках общей топологии открытые множества вводятся аксиоматически и, соответственно, никак не определяются, лишь требуется, чтобы открытые множества топологического пространства $X$ удовлетворяли следующим простым аксиомам (символ $\Lambda$ обозначает пустое множество; я так привык; если Вы привыкли к символу $\varnothing$, замените $\Lambda$ на $\varnothing$):

Т1. множества $\Lambda$ и $X$ открыты;
Т2. объединение любого семейства открытых множеств открыто;
Т3. пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто.

После этого замкнутые множества определяются как дополнения открытых.
Поэтому при таком подходе ответ на Ваш вопрос - по определению.

Другая ситуация, если исходным понятием является окрестность точки. Вероятно, Вас интересует в основном случай числовой прямой, где окрестностями точки $x\in\mathbb R$ называют интервалы вида $(x-\delta,x+\delta)$, где $\delta$ - любое положительное число (иногда - просто любые интервалы, содержащие точку $x$, это совершенно эквивалентно). Я дальше всё формулирую для множества действительных чисел, но в произвольном топологическом пространстве тоже можно ввести понятие окрестности точки (например, можно считать окрестностью точки любое открытое множество, содержащее эту точку; можно также ввести окрестности аксиоматически, но я не буду выписывать соответствующие аксиомы, хотя они очень просты).
Для определения открытого множества обычно используется понятие внутренней точки: точка $x\in\mathbb R$ называется внутренней точкой множества $M\subseteq\mathbb R$, если эта точка имеет окрестность, содержащуюся в множестве $M$. Заметим, что внутренняя точка множества автоматически ему принадлежит.
Множество $U\subseteq\mathbb R$ называется открытым, если каждая его точка является внутренней. Определённые таким образом открытые множества удовлетворяют перечисленным выше аксиомам открытых множеств.
Для определения замкнутого множества обычно используется понятие точки прикосновения множества: точка $x\in\mathbb R$ называется точкой прикосновения множества $M\subseteq R$, если каждая окрестность точки $x$ имеет непустое пересечение с множеством $M$.
Множество $F\subseteq\mathbb R$ называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.

Теперь для доказательства того, что множество $F\subseteq\mathbb R$ замкнуто тогда и толоько тогда, когда его дополнение $U=\mathbb R\setminus F$ открыто, достаточно заметить, что точка $x\in\mathbb R$ является точкой прикосновения множества $F$ тогда и только тогда, когда она не является внутренней точкой множества $U$.

P.S. Почему здесь (именно на этой странице) такие длинные строки? Неудобно читать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2005, 23:59 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Исправлено.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2005, 00:08 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
А почему вы пустое множество обозначаете лямбдой? Это какая-то математическая школа?

Вообще-то я хотел спросить, зачем самому пространству быть открытым в определении топологии. Посмотрел КоФо, и там действительно так. Вот только зачем мы вписываем это в аксиомы? Это для лучшей совместимости с другими мат. объектами, типа как "0!=1"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2005, 00:14 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Dan_Te писал(а):
Вообще-то я хотел спросить, зачем самому пространству быть открытым в определении топологии. Посмотрел КоФо, и там действительно так. Вот только зачем мы вписываем это в аксиомы? Это для лучшей совместимости с другими мат. объектами, типа как "0!=1"?

Чтобы антидискретная топология $\{\varnothing,X\}$ была топологией. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2005, 00:16 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Да, точно. А более существенные применения есть? =))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 76 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group