Конечно, собеседник в таком случае должен быть настроен на конструктив; я, по-Вашему, не настроен?
На мой взгляд, Вы либо не настроены на конструктивное обсуждение, либо совсем некомпетентны в данном вопросе.
Проблема, теперь только в том, по какому принципу отличать другие не-множества от множеств.
Либо, множество всех множеств единственное такое не-множество?
Здесь упоминалась теория множеств NGB. Основными объектами этой теории являются классы. Множество - это класс, который является элементом какого-нибудь класса.
Я и говорю, что всё зависит от того, как понимать полную формальность.
Если, как формальность формальной логики, то всё в порядке (кроме теоремы Геделя с оговорками по моей плавающей терминологии).
Я понимаю формальную теорию так, как это принято в математике. А Вы как?
Было время (относительно недавно) когда считалось, что существует такая система аксиом, в которой можно доказать вообще любое утверждение;
Система, "в которой можно доказать вообще любое утверждение", противоречива и, с точки зрения математики, никакого интереса не представляет. Подозреваю, что Вы хотели сказать что-то другое.
Но сама применимость правил вывода (тот факт, что рассуждения действительно будут "правильными") совсем не очевидна и полагается как само собой разумеющееся, исходя только из пресловутого здравого смысла (философии).
Нет. Здравый смысл и философия здесь ни при чём. В формальной теории правила вывода задаются, и никаких сомнений в их применимости нет. Просто по определению. Все сомнения остаются за пределами формальной теории. Я уже об этом говорил.
Например, сами аксиомы нужно будет откуда-то брать
Этот вопрос также не имеет отношения к формальной теории. В ней аксиомы просто есть. Откуда Вы их возьмёте - это Ваша проблема, а не проблема формальной теории.
Кстати говоря, Вы не задумывались, почему машинный вывод новых теорем неизменно приводил к одному и тому же результату: система в какой-то момент останавливалась в своём развитии?
Я не в курсе. Я читал, что компьютерная программа доказательства теорем генерирует новые теоремы, но, с человеческой точки зрения, все эти теоремы совершенно не интересны. А доказать какую-нибудь теорему, интересную человеку, не удаётся. А живые математики каким-то образом ухитряются находить и доказывать интересные теоремы.
Логическим путём вы только лишь проверяете истинность или ложность утверждений -- из этого процесса вас можно, в принципе, исключить.
Узнать истинно ли некоторое новое утверждение вы только таким путём не сможете (по теореме Геделя).
Ерунда какая-то. Исключить меня пока не удаётся. И я не согласен, что моя деятельность не даёт нового знания. Если я сформулировал и доказал новую теорему, которую ранее никто не знал, это по всем человеческим критериям есть новое знание. Несмотря на то, что "в принципе" эта теорема выведена из аксиом, сформулированных задолго до моего рождения.
Причём тут теорема Гёделя - совершенно непонятно. Что Вы называете "новым" утверждением? Разумеется, я могу "набрести" на утверждение, которое в данной формальной системе недоказуемо и неопровержимо, но Вы, как мне кажется, имеете в виду что-то другое.
Теория нужна, чтобы получить новое точное и достоверное знание (причём, не одним только логическим путём), а как по-Вашему?
Теория (если это не болтология) состоит из некоторых исходных положений, из которых логическим путём выводятся другие утверждения. То, что логическим путём не выводится, не может быть получено из данной теории. Такое положение, кстати, не только в математике.
Строго говоря, противоречие -- это, когда утверждение можно одновременно и доказать, и опровергнуть (теорема Геделя такого не утверждает).
Но велика ли разница между тем, что можно и доказать, и опровергнуть и тем, что нельзя ни доказать, ни опровергнуть?
Разница есть (совместность либо противоречивость аксиоматики), но принципиальна ли она в контексте того, зачем теория требуется?
Я всё-таки не понял, что значит - "велика ли разница?" Если теория противоречива, то в ней "доказуемо" любое утверждение, поэтому такая теория бессмысленна. Если в теории не любое утверждение можно либо доказать, либо опровергнуть, то теория вполне может быть полезной, поскольку хоть что-то она доказать позволяет.
Но, если все множества будут составляться только из пустого множества, так не получится множество стульев, например.
Стулья не являются объектами теории множеств, и им не обязательно в этой теории появляться. Если Вам позарез нужны множества стульев, рассмотрите теорию множеств с атомами.
Атомами в теории множеств называют объекты, которые могут быть элементами множеств, но сами множествами не являются. Например, берёте все стулья и объявляете их атомами. Другой вариант - ограничиваетесь стандартной теорией множеств ZFC или NGB и в её рамках некоторые множества называете "стульями" (обычно такой подход вполне достаточен; математический анализ, например, строится "на ура").
Ещё бы: просто замена стульев на множества атомов, из которых они состоят.
Вы неправильно поняли термин "атом".
Можно было бы и просто ввести в качестве аксиомы утверждение "множество всех множеств -- это не множество и только оно", и поступить аналогично с другими парадоксами.
Нельзя. Всё время будут "вылезать" парадоксы. Требуется более радикальное решение.
Подобно можно из логики предикатов исключить недоказуемые утверждения (по самому этому признаку).
Нельзя. Вы не сможете описать синтаксис языка. Да и зачем их исключать? Ещё одна проблема: если высказывание
доказуемо, то
- недоказуемо (если, конечно, теория непротиворечива), и
придётся исключить. А если доказуемо
, то исключить придётся
, и ситуация становится совсем весёлой.
В случае же теории множеств нам нужно предельно общее понятие множества ("множества чего угодно").
Кому оно нужно и зачем? Занимаюсь математикой чуть не всю жизнь, и ни разу не испытывал потребности в "множестве чего угодно". Для математических нужд в большинстве случаев достаточно множеств, построенных на основании аксиом ZFC, исходя из пустого множества (даже атомы не нужны).
Можно преодолеть затруднения, но только по рецепту "если хочешь быть счасливым -- буть им", а не относительно желаний (это-то не опасно; опасно здесь -- относительно нужд).
???
Вы предлагаете выход из затруднений, я на это предлагаю более простой выход: игнорировать затруднения.
По крайней мере, это логичный выход.
Это не выход. Фактически Вы заявляете: "пусть теория будет противоречивой, не будем обращать на это внимание".
Затруднения появляются не потому, что нам захотелось их найти на свою некоторую часть тела, а потому, что нам требуется чего-то добиться, но не выходит.
Чего именно Вы хотите добиться и зачем?
P.S. Прошу прощения за некоторые повторы ранее сказанного другими участниками.
Добавлено спустя 3 минуты 5 секунд:AD писал(а):
pc20b писал(а):
Парадокс Рассела, как и любой парадокс, не может ничего "показывать".
Есть такая штука - называется "доказательство методом "от противного"". Проходили?
AD, не обращайте на него внимания, а то он всю тему загадит своими глупостями. Он уже широко "отметился" в физике, биологии, филологии, ..., теперь решил взяться за математику.