Энтропия и стрела времени

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1353355 писал(а):

Не растёт энтропия ансамбля.

То, что осредняется по $\Delta V_m$, это уже физическая энтропия? Она, ведь, возрастает со временем уже из-за этого осреднения?

[amon]

warlock66613 не мучайтесь, с кольцом тоже ничего не получится. Получится с отрезком, от концов которого частица упруго отражается, но это не гамильтьнова система (удар на конце).

[warlock66613]

amon в сообщении #1353366 писал(а):

Для предыдущей, как я понял, Вы согласились с тем, что энтропия, да и все остальное в ней - константа не зависящая от времени для любого начального распределения.

Да.

amon в сообщении #1353366 писал(а):

Я готов ее обсуждать если Вы готовы сформулировать условие периодичности $N$-частичной функции распределения (поворот всех частиц одновременно на один и тот же угол ничего не меняет) и напишете для нее уравнение Лиувилля с учетом этого обстоятельства.

Хорошо.

-- 11.11.2018, 20:43 --

Стоп, откуда взялось требование периодичности?

-- 11.11.2018, 20:49 --

realeugene в сообщении #1353370 писал(а):

То, что осредняется по $\Delta V_m$, это уже физическая энтропия? Она, ведь, возрастает со временем уже из-за этого осреднения?

Возрастает, но очень быстро становится примерно постоянной. Термодинамической энтропии она не соответствует. В общем, энтропия, но не человеческого масштаба.

-- 11.11.2018, 20:54 --

amon в сообщении #1353371 писал(а):

Получится с отрезком, от концов которого частица упруго отражается, но это не гамильтьнова система (удар на конце).

Давайте отрезок с пружинками на концах (упругое отражение за конечное время и расстояние).

Впрочем, я бы предпочёл кольцо, но не могу придумать, как сделать функцию распределения не меняющейся при общем повороте частиц.

-- 11.11.2018, 21:00 --

Но отрезок с пружинками даже интереснее.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1353372 писал(а):

Возрастает, но очень быстро становится примерно постоянной.

Почему? Разве, фазовые траектории не расходятся быстро, в результате в каждом элементарном объёме они в конце концов не перемешиваются, стартовав из окрестностей любых точек фазового пространства?

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1353375 писал(а):

в результате в каждом элементарном объёме они в конце концов не перемешиваются, стартовав из окрестностей любых точек фазового пространства?

Перемешиваются и очень быстро, после чего энтропия больше не растёт.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1353371 писал(а):

Получится с отрезком, от концов которого частица упруго отражается, но это не гамильтьнова система (удар на конце).

вообще-то гамильтонова

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1353379 писал(а):

вообще-то гамильтонова

Да, соврал. Гамильтонова. Эта задачка подробно рассмотрена у Пуанкаре в работе "Замечания о кинетической теории газов". Эта работа должна понравится warlock66613, если он ее не видел. Там как раз про по-разному определенную энтропию и возможные причины ее увеличения (по Пуанкаре - уменьшения, у него знак другой).

[pogulyat_vyshel]

Мне кажется, что уважаемым участникам беседы еще с текстом Синая "Введение в эргодическую теорию" ознакомиться не мешало бы. Книжка очень короткая и очень ясно написана, говорят, что это по мотивам его лекций для каких-то физиков.

[warlock66613]

Просмотрел "Введение в эргодическую теорию", ничего сильно полезного для данной темы не обнаружил. Так конечно книга хорошая - и полегче всего того, что я видел на эти темы до сих пор, но всё равно слишком сложная. (Интересно, может ли amon эффективно читать книги с таким подходом к изложению?)

-- 11.11.2018, 23:32 --

Так это, на какой гамильтоновой системе мы остановимся? Я предлагаю идеальный газ на отрезке с пружинками на концах. Так как в варианте с окружностью можно придраться к симметрии, а в варианте без пружинок - к удару. (Но вообще мне почти всё равно. Разве что с окружностью я знаю где готовый расчёт взять, а для отрезка придётся его подкорректировать.)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Можно спросить, что такого страшного в окружности и в отрезке с соударениями с его границами? Окружность можно получить, если склеить у прямой все точки вида $x + nC, n\in\mathbb Z$, такой отрезок — если склеить у прямой все точки вида $x + 2nC, -x + (2n + 1)C, n\in\mathbb Z$, с соответственно переносящейся с прямой динамикой. То есть мы просто оперируем целым счётным семейством точек вместо каждой одной, но зато движущихся себе без проблем. Ничего страшного это добавлять не должно, по идее.

[pogulyat_vyshel]

warlock66613 в сообщении #1353409 писал(а):

Так это, на какой гамильтоновой системе мы остановимся? Я предлагаю идеальный газ на отрезке с пружинками на концах. Так как в варианте с окружн

Давайте с окружностью, так технически проще

-- 12.11.2018, 00:07 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1353414 писал(а):

получить, если склеить у прямой все точки вида $x + nC, n\in\mathbb Z$, такой отрезок — если склеить у прямой все точки вида $x + 2nC, -x + (2n + 1)C, n\in\mathbb Z$, с соответственно переносящейся с прямой динамикой. То есть мы просто оперируем целым счётным се

Кэп всегда рядом

[warlock66613]

В общем, случай с окружностью разобран в "The physical basis of the direction of time" Zeh в разделе "Appendix: A Simple Numerical Toy Model" (после эпилога). Там содержится notebook для Wolfram Mathematica со всеми расчётами. В частности, там есть раздел 3 под названием "Exact Model". И там есть графики зависимости энтропии от времени. И это не прямая линия. А если кто-то захочет чтобы я переизложил это от своего имени здесь, на форуме - скажите, и я это сделаю.

[arseniiv]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1353416 писал(а):

Кэп всегда рядом

Не, я просто не понял, почему они избегаются тогда, откуда берутся трудности?

[pogulyat_vyshel]

ну мне просто хотелось бы понять, как вот это

warlock66613 в сообщении #1353423 писал(а):

И там есть графики зависимости энтропии от времени. И это не прямая линия.

сочетается вот с этим

amon в сообщении #1352945 писал(а):

Берем замкнутую лиувиллеву систему. Пусть функция распределения в какой-то момент - $f(X,t).$ Здесь $t$ - время, а $dX=\prod\limits_{i}dp_idq_i$ - канонические переменные, описывающие систему.
$S=-\int \ln f(X,t)\,f(X,t)dX$
$\frac{dS}{dt}=-\int \frac{df}{dt}(1+\ln f)dx$
По теореме Лувилля $\frac{df}{dt}=0,$ значит $\frac{dS}{dt}=0$ для любой функции распределения.

кстати, а интеграл-то по какому множеству берется?

[warlock66613]

pogulyat_vyshel, считаются разные величины.

amon берёт ансамбль одинаковых систем, находящихся в разных микросостояниях, считает энтропию этого ансамбля (которая, грубо говоря, равна логарифму числа систем) и показывает, что эта энтропия не изменяется со временем (что логично, так как если мы взяли пять систем, то они так и останутся пятью системами).

Я же (и Zeh) беру одну систему. Каждому микросостоянию этой системы сопоставляется макросостояние (проекция её микросостояния в некоторое пространство существенно меньшей размерности). По мере эволюции микросостояния эволюционирует и макросостояние. Каждому макросостоянию можно сопоставить эквивалентный ансамбль (которого на самом деле не существует, на самом деле система у нас только одна) и посчитать его энтропию. Разным макросостояниям соответствуют разные ансамбли, с разной энтропией, поэтому при эволюции системы её энтропия - логарифм количества всех способов, которыми можно осуществить текущее макросостояние, то есть количества всех точек пространства микросостояний, проецирующихся в текущую точку пространства макросостояний, - изменяется.