Гипотеза Римана

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #1234930 писал(а):

А можно хотя бы два примера?

Нельзя. Единственное что мне не нравится в аксиоме детерминированности - это то, что она противоречит аксиоме выбора. Последнюю же, как известно, можно сформулировать так: декартово произведение бесконечного семейства непустых множеств непусто.

Я не спорю, что всё это довольно спекулятивно. Но вот хоть убейте, не могу я назвать непустыми множествами такие штуки, и декартовым произведением - такую операцию над ними, что в результате получается пустое множество.

Парадокс Банаха-Тарского у моей интуиции больших возражений не вызывает - просто любопытный факт. Но непустые множества, в произведении дающие пустое - с этим смириться не могу. Никак. Это не множества, а что-то совсем другое.

Ну и вообще в целом, мне эстетически не нравятся идеи конструктивизма, а отрицание аксиомы выбора кажется из этой оперы.

-- 20.07.2017, 20:19 --

Skipper в сообщении #1234933 писал(а):

можно формализовать в ZFC, то скорее всего, ее расширять больше и не будут.
(и до последнего все доказательства в математике будут искать в рамках ZFC)

Skipper в сообщении #1234933 писал(а):

Но тут убедили что ZFC, настолько хороша, что ее и расширять видимо не придется

Ну, ZFC существует меньше ста лет, так что было бы очень опрометчиво так утверждать насчёт всего бесконечного будущего.
Тем более что даже в нынешней математической среде, вроде бы, есть мнения, что ZFC уже устарела и надо какую-нибудь теорию типов или теорию категорий вместо неё.

[Skipper]

Цитата:

Все нули дзета-функции вычислимы.

Вот теперь наконец я понял, к чему вот эту фразу писали (кажется даже в википедии была) -
Если ложность ГР - недоказуема в ZFC, то гипотеза Римана верна.

Но всё состыкуется, именно если учесть что "Все нули дзета-функции вычислимы" (кстати, кто это доказал?)

[vicvolf]

Чтобы опровергнуть ГР не обязательно предъявлять нетривиальный ноль дзета функции Римана с действительной частью отличной от $0,5$. Существует много эквивалентных формулировок ГР.

[Sonic86]

Skipper в сообщении #1234851 писал(а):

А может ли такое быть, что вот, с нынешней системой аксиом во всей математике,
ГР верна но недоказуема?

Может. Погуглите теорему Гудстейна например.

Anton_Peplov в сообщении #1234884 писал(а):

О неформальных теориях ни одна теорема Гёделя ничего не сообщает. Over 99% современной математики не формализовано. Доказательство гипотезы Римана ищут неформальное.

Вы действительно считаете, что неформальность имеет хоть какое-то значение? Совершенно очевидно, что ГР формализуема. Утверждений, эквивалентных ГР и более простых по формулировке, достаточно много (см., напр., в Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_h ... _functions).
Утверждение $(\forall \epsilon > 0)\left|\sum\limits_{n\leqslant x}\mu(n)\right|=o(x^{\frac{1}{2}+\epsilon})$ эквивалентно ГР и с его формализуемостью проблем явно сильно меньше (в Вики есть пример с функцией Ландау, где кванторов существования явно не видно)

Anton_Peplov в сообщении #1234904 писал(а):

Думаете, комплексные числа - что-то куда более конкретное и осязаемое, чем эти ваши абстрактные мощности? Ну-ну. Говорите, число, опровергающее гипотезу Римана, достаточно предъявить? А что это такое - предъявить? Выписать все знаки иррационального числа невозможно. Предъявить алгоритм, выписывающий любой знак невычислимого числа, невозможно.

Все нули дзета-функции Римана, очевидно, вычислимы.

Skipper в сообщении #1234910 писал(а):

Но а аксимы то сами (выбора к примеру) - могут быть в будущем опровергнуты?

У Вас пробелы в знаниях по аксиоматическим теориям, почитайте что-нибудь об этом. Пожалуйста.

Skipper в сообщении #1234938 писал(а):

"Все нули дзета-функции вычислимы" (кстати, кто это доказал?)

Это тривиальное утверждение. Аналогичное утверждение: если функция непрерывная в $\mathbb{R}$, то все ее нули легко вычисляются любым подходящим численным методом, дающим нужное количество знаков после запятой. В $\mathbb{C}$ по сути то же самое, дзета-функция аналитична в $\mathbb{C}\setminus \{1\}$

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #1234956 писал(а):

Утверждение $\left|\sum\limits_{n\leqslant x}\mu(n)\right|\leqslant \sqrt{x}$ эквивалентно ГР

Это гипотеза Мертенса. Она не эквивалентна ГР и уже опровергнута.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #1234968 писал(а):

Это гипотеза Мертенса. Она не эквивалентна ГР и уже опровергнута.

Ага, чепуху написал, спасибо. Сейчас исправлю.

[Anton_Peplov]

Sonic86 в сообщении #1234956 писал(а):

Совершенно очевидно, что ГР формализуема.

Гипотеза-то, несомненно, формализуема. Но даже если представить, что ее формальное доказательство / опровержение в PA или даже в ZFC не существует (по теореме Геделя это, конечно, возможно), это не значит, что ее нельзя доказать. Просто доказательство не будет формализуемо в PA или, соответственно, в ZFC. Его можно будет формализовать в какой-нибудь более сильной теории, в которой будут свои недоказуемые и неопроверживые утверждения, но уже не ГР.

Sonic86 в сообщении #1234956 писал(а):

если функция непрерывная в $\mathbb{R}$, то все ее нули легко вычисляются любым подходящим численным методом, дающим нужное количество знаков после запятой

Может, я к вечеру соображаю плохо, но что-то не могу понять, почему так.

[Sonic86]

Anton_Peplov в сообщении #1234970 писал(а):

Может, я к вечеру соображаю плохо, но что-то не могу понять, почему так.

Ну порежем $\mathbb{R}$ на отрезки длиной 1. На каждом из них функция непрерывна,... а, надо дифференцируемости требовать
Хорошо, давайте возьмем дифференцируемые функции. Производная на отрезке достигает максимума $\omega$, значит функция в каждой точке прирастает не более чем на $\omega \Delta x$. Разрежем отрезок на отрезочки длиной $\frac{1}{2\omega}$ и вычислим значение функции в каждом конце отрезочка. Если знаки функции на отрезке совпадают, значит она там не обнуляется. И так мы можем зажимать нуль функции сколь угодно долго, а значит определить любое конечное число его знаков после запятой.
Проверьте, могу сильно тупить.

Anton_Peplov в сообщении #1234970 писал(а):

Его можно будет формализовать в какой-нибудь более сильной теории, в которой будут свои недоказуемые и неопроверживые утверждения, но уже не ГР.

Я бы очень сильно удивился, если бы оказалось, что истинность ГР зависит, например, от континуум-гипотезы. Я б поседел наверное... Все эти независимые аксиомы вне геометрии и кроме аксиомы выбора обычно никуда далеко из своих областей возникновения не вылазят.

[Someone]

Skipper в сообщении #1234938 писал(а):

Вот теперь наконец я понял, к чему вот эту фразу писали (кажется даже в википедии была) -
Если ложность ГР - недоказуема в ZFC, то гипотеза Римана верна.

С подобными рассуждениями нужно быть крайне осторожным. Из неопровержимости утверждения в некоторой аксиоматической системе не следует истинность этого утверждения. Примером может служить та же теорема Гудстейна, которая тут упоминалась. Эта теорема формализуема в языке арифметики Пеано (первого порядка), однако она недоказуема и неопровержима в арифметике Пеано. Однако в ZFC эту теорему можно доказать (ZFC — более сильная теория, чем арифметика Пеано). И тут сюрприз: можно построить модель арифметики Пеано, в которой теорема Гудстейна ложна, причём, если я правильно помню, предъявляется контрпример. Модель строится, естественно, с помощью ZFC.

И, самое забавное, никаких противоречий не возникает. Фокус в том, что теорема Гудстейна в ZFC доказывается для некоторой стандартной модели арифметики, а контрпример строится для нестандартной модели.

На самом деле эта ситуация является общей: если некоторое утверждение недоказуемо в формальной теории, то существует модель этой теории, в которой данное утверждение ложно.

Sonic86 в сообщении #1234974 писал(а):

Если знаки функции на отрезке совпадают, значит она там не обнуляется.

В конструктивизме есть всякие сюрпризы. Отношение порядка "$<$" (или "$\leqslant$") на множестве конструктивных действительных чисел алгоритмически неразрешимо.

[Anton_Peplov]

Sonic86 в сообщении #1234974 писал(а):

Если знаки функции на отрезке совпадают, значит она там не обнуляется.

А. Не, тут дифференцируемость не нужна, непрерывности достаточно. Конкретно в этом алгоритме есть к чему прицепиться (скажем, он зациклится, если конец отрезка угодил точно в нуль функции), но идея понятна. Тот факт, что

Someone в сообщении #1234980 писал(а):

Отношение порядка "$<$" (или "$\leqslant$") на множестве конструктивных действительных чисел алгоритмически неразрешимо.

можно обойти: мы же не обязаны во что бы то ни стало вычислить знак, который функция принимает на конце именно этого отрезка. Возьмем некоторый подотрезок вблизи конца и алгоритм, перечисляющий все числа на нем, а дальше по диагонали: на первом числе алгоритм вычисления знака функции делает первый шаг, на втором два шага, возвращается к первому и делает второй шаг, потом делает три шага для третьего числа, и т.д. Рано или поздно на одном из этих чисел алгоритм вычисления знака остановится, и можно будет переходить к следующему концу отрезка / концу следующего отрезка.

Sonic86 в сообщении #1234974 писал(а):

Я бы очень сильно удивился, если бы оказалось, что истинность ГР зависит, например, от континуум-гипотезы. Я б поседел наверное... Все эти независимые аксиомы вне геометрии и кроме аксиомы выбора обычно никуда далеко из своих областей возникновения не вылазят.

Давайте восстановим контекст.
atlakatl: гипотеза Римана может оказаться недоказуемой и неопровержимой (по теореме Геделя такие утверждения есть).
Anton_Peplov: Гедель не при делах, мы ищем неформальное доказательство. Не сможем формализовать его в ZFC - формализуем где-нибудь еще.
Sonic86: я бы сильно удивился, если бы гипотеза Римана оказалась недоказуемой и неопровержимой в ZFC.

Да, я бы тоже сильно удивился. Но это показывает только слабость исходной реплики atlakatl.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1234992 писал(а):

Рано или поздно на одном из этих чисел алгоритм вычисления знака остановится

А ноль как же? (Заранее признаю, что влезаю без ознакомления с контекстом.)

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1235011 писал(а):

А ноль как же?

Что - ноль?

[arseniiv]

На нуле вычисление знака не заканчивается, кажется. Во всяком случае, мы не можем спросить у числа, равно ли оно нулю, и получить ответ «да», чтобы вернуть результатом вычисления знака 0. Так что за конечное время мы получим только два из возможных результатов $\pm1$. Теперь предположим, что та другая функция, которую вы имели в виду, нулевая на всём подотрезке, который вы тоже имели в виду. И ещё я что-то не уверен, что множество конструктивных вещественных чисел какого-то отрезка перечислимо.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1235014 писал(а):

Теперь предположим, что та другая функция, которую вы имели в виду, нулевая на всём подотрезке, который вы тоже имели в виду.

Хм. Да, тогда алгоритм ломается. Ну ладно, пусть алгоритм будет для непрерывных функций, не равных тождественно нулю ни на каком промежутке.

arseniiv в сообщении #1235014 писал(а):

И ещё я что-то не уверен, что множество конструктивных вещественных чисел какого-то отрезка перечислимо.

Ну пусть неперечислимо. Нафиг нам не надо перечислять именно множество всех конструктивных вещественных чисел подотрезка. Нам надо найти на подотрезке одно (прописью - одно) какое-нибудь число, для которого мы сможем определить знак функции. Берем концами подотрезка рациональные числа и перечисляем все рациональные числа между ними. Если хотя бы на одном из этих чисел функция отлична от нуля, алгоритм остановится (а если она равна нулю во всех рациональных числах подотрезка, то и на всем подотрезке тоже, тогда см. п. 1).

[Modest]

Обсуждение смысла обозначения $O(n^{\frac12+\varepsilon})$ и сопутствующая дискуссия перенесены в ПРР(М).