Куда делись решения?

[Shtorm]

Rusit8800 в сообщении #1182297 писал(а):

Shtorm в сообщении #1182296 писал(а):

Можно. Для этого служит метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. А определитель используется в методе Крамера и методе обратной матрицы для решения таких систем. Но если определитель основной матрицы системы равен нулю, то без применения всех методов можно сказать, что система либо несовместная, либо неопределённая совместная.

А можно это сделать, пользуясь только школьными знаниями, кроме того примера, который привел amon?

Ну Metford наверное ниже подробнее объяснит Вам. А я так вкратце скажу: просто умножаем строки системы на определённые коэффициенты, складываем, вычитаем - мы можем это делать много раз с одними и теми же строками - в итоге при сложении каких-то двух строк, в какой-то момент преобразований, - всё зануляется. В смысле не всё - а только определённая строка зануляется. Количество уравнений в системе становится на одно меньше. А в оставшихся уравнениях - переменных по прежнему три штуки. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Придав произвольное численное значение одной из переменных - Вы находите численные значения других переменных. Это будет частное решение. И таких решений - бесконечно множество. Если $x,y,z \in\mathbb{R}$.

[Rusit8800]

Someone в сообщении #1182311 писал(а):

А я, грешным делом, подумал, что вторую систему Вы получили, заменяя уравнения первой системы их попарными разностями.

Так и есть. Это была система-следствие. Их нужно проверить на равносильность.

-- 06.01.2017, 20:30 --

Metford в сообщении #1182300 писал(а):

Понятно, что для такой простой системы этот метод - тяжёлая артиллерия. Но знать его ну очень полезно.

Спасибо, буду знать.

[Metford]

Я бы лучше так предложил. Если Rusit8800 интересно, можно взять конкретную систему с бесконечным числом решений, а он её попробует решить методом Гаусса. Ну, по крайней мере, довести до момента вычёркивания нулевой строки, чтобы было о чём дальше говорить. Правда ведь, ничего сверхсложного и превышающего школьный уровень тут нет.

[Rusit8800]

Mikhail_K в сообщении #1182315 писал(а):

Во второй задаче в системе изначально одно уравнение было комбинацией двух других, и система изначально имела бесконечно много решений.

Именно. Видимо примера amon'а достаточно, чтобы показать, что эта система имеет бесконечно много решений. Shtorm объяснил это в общем случае. А как доказать, что система имеет единственное решение(чтобы только использовать "школьные" преобразования)?

-- 06.01.2017, 20:35 --

Metford в сообщении #1182317 писал(а):

Правда ведь, ничего сверхсложного и превышающего школьный уровень тут нет.

Да, но мне бы сначала это в совершенстве освоить на "более школьном" уровне, а потом уже на более продвинутом.

[Metford]

Rusit8800 в сообщении #1182318 писал(а):

Да, но мне бы сначала это в совершенстве освоить на "более школьном" уровне, а потом уже на более продвинутом.

Хм. А на школьном уровне, насколько мне представляется, есть по-хорошему только метод исключения переменных. Т.е. Вы берёте из одного уравнения выражаете переменную, подставляете её во все остальные уравнения. Потом таким манером исключаете переменные дальше. Если в какой-то момент Вы приходите к тому, что у Вас в системе возникают два одинаковых уравнения, то однозначно систему Вы решить не можете - это очевидно. Если процесс приводит к чудесному равенству вроде $1=2$, то система противоречивая (несовместная). Если процесс счастливо заканчивается нахождением значения последней не исключённой переменной - решение единственное. Фактически именно это, но в другом антураже, я выше и сделал.
А не на школьном уровне для таких случаев есть теорема Кронекера-Капелли.

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1182318 писал(а):

Да, но мне бы сначала это в совершенстве освоить на "более школьном" уровне, а потом уже на более продвинутом.

А на "более школьном" делают то же самое, только не пишут расширенную матрицу, а манипулируют непосредственно уравнениями.
Только нужно соблюдать осторожность: делать одно преобразование зараз, не более чем с двумя уравнениями, и заменять результатом преобразования одно из тех уравнений, которые участвовали в преобразовании.

[Rusit8800]

Metford в сообщении #1182320 писал(а):

. Если в какой-то момент Вы приходите к тому, что у Вас в системе возникают два одинаковых уравнения, то однозначно систему Вы решить не можете - это очевидно.

Да, кстати, при решении этой системы был такой случай.

Мда, теперь я как-то боюсь складывать и умножать уравнения...

[Shtorm]

Rusit8800, не бойтесь, просто надо делать последовательно, как указал Someone.

[Rusit8800]

Ну хорошо, с линейными уравнениями вроде разобрались. Да и в общем виде есть универсальные методы решения СЛАУ.
А если системы нелинейные? Я думаю, на школьном уровне можно воспользоваться советами Someone, но мне просто интересно как быть в общем виде? Есть ли у математиков что-то стоящее для этого случая, как для СЛАУ?

[Shtorm]

Rusit8800, когда система нелинейная алгебраическая, то разные уравнения в системе могут иметь разные наивысшие степени, поэтому остаётся метод последовательного исключения переменных - выражая из одного и подставляя в другое. Можно использовать замену переменных. Если все переменные в алгебраической системе возведены в одну и ту же степень, то можно их все заменить на новые переменные в первой степени и применить опять метод Гаусса. Ну и если в системе будет алгебраическое уравнение степени выше четвёртой - то в общем виде не решается. Только в частных случаях. Но всегда остаются численные методы решения или приближённые методы решения - вот эти методы пожалуй можно назвать универсальными.

[Rusit8800]

Shtorm в сообщении #1182330 писал(а):

алгебраическое уравнение степени выше четвёртой - то в общем виде не решается

Кстати, отходя от темы, если нет формулы, выражающей корни произвольного уравнения высшей степени через радикалы, то неужели никто не придумал какой-нибудь альтернативной формулы точного выведения корней или тут все так же глухо, как с общим методом решения диофантовых уравнений?

[provincialka]

Rusit8800 в сообщении #1182335 писал(а):

неужели никто не придумал какой-нибудь альтернативной формулы точного выведения корней или тут все так же глухо, как с общим методом решения диофантовых уравнений?

Что значит "альтернативной формулы" ? Через логарифмы что ли? Или синусы? Вы про теорию Галуа слышали?

[AV_77]

Rusit8800 в сообщении #1182326 писал(а):

А если системы нелинейные? Я думаю, на школьном уровне можно воспользоваться советами Someone, но мне просто интересно как быть в общем виде? Есть ли у математиков что-то стоящее для этого случая, как для СЛАУ?

По крайней мере теоретически системы нелинейных уравнений решать можно (алгоритм Бухбергера позволяет свести систему нелинейных уравнений к одному уравнению от одной переменной). Здесь все упирается в вопрос поиска корней многочленов степени выше 4. С помощью радикалов они не выражаются, но можно использовать некоторые спецфункции типа гипергеометрических.

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1182335 писал(а):

неужели никто не придумал какой-нибудь альтернативной формулы точного выведения корней

Да есть, вроде бы, какие-то специальные функции. Только польза-то от них какая? Даже от выражений корней уравнений третьей и четвёртой степени через радикалы пользы гораздо меньше, чем Вы думаете. Обычно применяются численные методы, позволяющие вычислить корни с наперёд заданной точностью.

[Shtorm]

Rusit8800, возвращаясь к СЛАУ, следует уточнить, что в процессе правильного преобразования системы, может получится так, что останется только одно уравнение, а все остальные занулятся. Тогда для поиска частных решений необходимо будет придать произвольные численные значения сразу двум переменным. Это если система была с тремя переменными, а если переменных в системе больше, то и большим переменным придётся придавать произвольные значения.

Далее, возвращаясь к системам нелинейных алгебраических уравнений, которые нужно решить точно аналитически (исходя из условия задания), следует упомянуть некоторые системы, которые могут возникнуть при нахождении экстремумов функции двух переменных. Вот попробуйте решить систему:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 6y-2xy-y^2=0 \\ 6x-2xy-x^2=0 \\ \end{array} \right.$$

Возможно Вам покажется система очень простой и Вы знаете как её решать. А вот многие и многие мои студенты-первокурсники увидев такую систему впадают в ступор. Другие же быстро решают - но теряют при этом половину решений (если не больше). Это как раз таки в тему "Куда делись решения?"