Куда делись решения?

[Mikhail_K]

Someone в сообщении #1182283 писал(а):

Заданная ему система уравнений имеет единственное решение, которое легко найти.

Нет.
Он привёл два разных задания.
В первом всё действительно так, как Вы говорите.
Во втором (не связанном с первым) решений бесконечно много.

[Metford]

Shtorm в сообщении #1182281 писал(а):

зачем в школе давать такие задания, в которых полного решения школьник не получит - ибо не знаком с самой методикой решения?

Я согласен с Someone, что ТС сам себе жизнь усложнил. Однако сам метод в школе показывают (что уравнения можно складывать). Другое дело, что обычно его показывают на системах двух уравнений, где нет шансов вычеркнуть что-то нужное. С системами хотя бы трёх уравнений такая возможность есть, как нам тут показали.

(Оффтоп)

Вот разберётся ТС со своей ошибкой - покажу всё-таки ему метод Гаусса.

[Shtorm]

Someone, вот оно в чём дело! А я-то смотрю на пост amon и думаю, что мы решаем исходную систему без ошибок!

-- Пт янв 06, 2017 19:46:55 --

Mikhail_K, опс, надо мне тему внимательно перечитать заново!

[Rusit8800]

Mikhail_K в сообщении #1182285 писал(а):

Во втором (не связанном с первым) решений бесконечно много.

О, боже, для меня это, конечно, открытие. Это задача из ЗФТШ. Нужно было сравнить эти системы с системой

$$\[\left\{ \begin{gathered} x + y = 6 \hfill \\ x + z = - 7 \hfill \\ y + z = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $$

и показать, равносильны ли они, или нет.
Интересно, а можно как-то найти полное множество всех решений без использования определителей. И вообще с чем связана потеря корней, ведь вычислительных ошибок не было?

-- 06.01.2017, 19:48 --

Metford в сообщении #1182286 писал(а):

Вот разберётся ТС со своей ошибкой

А я разве ее не нашел? Я потом еще нашел третье решение.

[Metford]

Rusit8800 в сообщении #1182289 писал(а):

Интересно, а можно как-то найти полное множество всех решений без использования определителей

А определители в таком случае лучше и не привлекать. Вычислительных-то ошибок не было - принципиальная была. Вы не обратили внимание, как подменили три уравнения двумя. А два линейных уравнения с тремя неизвестными имеют бесконечно много решений. Произошла подмена, когда Вы занимались сложением исходных уравнений. Одно из Ваших трёх уравнений является комбинацией двух других, а изначально так не было.

[Rusit8800]

Цитата:

А определители в таком случае лучше и не привлекать. Вычислительных-то ошибок не было - принципиальная была. Вы не обратили внимание, как подменили три уравнения двумя. А два линейных уравнения с тремя неизвестными имеют бесконечно много решений. Произошла подмена, когда Вы занимались сложением исходных уравнений. Одно из Ваших трёх уравнений является комбинацией двух других, а изначально так не было.

То есть изначальная система имеет конечное число решений?

[Metford]

Я Вам больше скажу: единственное оно.

Там вообще так: либо одно, либо бесконечно много, либо ни одного. Вы с геометрической интерпретацией систем линейных уравнений не встречались?

[Rusit8800]

amon в сообщении #1182278 писал(а):

Тогда в системе

$$ \[\left\{ \begin{gathered} y - z = 13 \hfill \\ x - z = 11 \hfill \\ x - y = - 2 \\ \end{gathered} \right.\]$$

вычтете из предпоследнего уравнения последнее и поразмышляйте над результатом.

Мда...

-- 06.01.2017, 19:57 --

Metford в сообщении #1182292 писал(а):

Вы с геометрической интерпретацией систем линейных уравнений не встречались?

Встречался, но только когда уравнений два. Там либо прямые параллельны, либо пересекаются, либо совпадают.

[Shtorm]

Rusit8800 в сообщении #1182289 писал(а):

Интересно, а можно как-то найти полное множество всех решений без использования определителей.

Можно. Для этого служит метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. А определитель используется в методе Крамера и методе обратной матрицы для решения таких систем. Но если определитель основной матрицы системы равен нулю, то без применения всех методов можно сказать, что система либо несовместная, либо неопределённая совместная.

[Rusit8800]

Metford в сообщении #1182292 писал(а):

Там вообще так: либо одно, либо бесконечно много, либо ни одного.

А если уравнений три, то их не может быть два?

-- 06.01.2017, 20:00 --

Shtorm в сообщении #1182296 писал(а):

Можно. Для этого служит метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. А определитель используется в методе Крамера и методе обратной матрицы для решения таких систем. Но если определитель основной матрицы системы равен нулю, то без применения всех методов можно сказать, что система либо несовместная, либо неопределённая совместная.

А можно это сделать, пользуясь только школьными знаниями, кроме того примера, который привел amon?

[Metford]

Rusit8800 в сообщении #1182293 писал(а):

Встречался, но только когда уравнений два. Там либо прямые параллельны, либо пересекаются, либо совпадают.

Правильно. Вот подобная логика работает и в других случаях. Только представить себе можно ещё максимум трёхмерный. Там уравнения задают плоскости - вот и сообразите.

Сейчас с силами соберусь и покажу Вам, как можно не впасть в ошибку с получением линейно зависимых уравнений (так называется то, что Вы сделали).

[Shtorm]

Metford в сообщении #1182292 писал(а):

Я Вам больше скажу: единственное оно.

Там вообще так: либо одно, либо бесконечно много, либо ни одного. ....

Въедливые математики иногда ещё уточняют на каком множестве находятся решения системы. А то может быть и два решения

[Metford]

Rusit8800 в сообщении #1182297 писал(а):

А можно это сделать, пользуясь только школьными знаниями, кроме того примера, который привел amon?

Вы будете смеяться, но по своей сути метод Гаусса использует вполне себе школьные знания Подождите чуть-чуть.

Shtorm в сообщении #1182299 писал(а):

Въедливые математики иногда ещё уточняют на каком множестве находятся решения системы. А то может быть и два решения

Ну, это явно не про нашу систему

-- 06.01.2017, 19:10 --

Rusit8800
Вот посмотрите, как можно было избежать Вашей ошибки. Метод Гаусса называется по науке. Просто выписываю все коэффициенты системы, чертой отделяю правую часть:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2& 1 &1&-1 \\ 1& 2 &1 &1 \\ 1& 1 &2 &-12 \end{array}\right).$$

А дальше делаем то же, что с уравнениями: строки можно складывать, умножая их при этом на отличное от нуля число. Только теперь Вы уже не вычеркнете что-то нужное. Последовательность такая может быть (а может быть и другая - два разных человека сделают по-разному): вычесть вторую строку из первой и из третьей:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1& -1 &0&-2 \\ 1& 2 &1 &1 \\ 0& -1 &1 &-13 \end{array}\right).$$

Из второй строки вычитаем первую, потом третью строку умножаем на 3 и складываем со второй:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1& -1 &0&-2 \\ 0& 3 &1 &3 \\ 0& -1 &1 &-13 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1& -1 &0&-2 \\ 0& 3 &1 &3 \\ 0& 0 &4 &-36 \end{array}\right).$$

Дальше последнюю строку делим на 4, вычитаем её из второй строки (которую потом делим на 3 и прибавляем к первой)

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1& -1 &0&-2 \\ 0& 3 &1 &3 \\ 0& 0 &1 &-9 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1& -1 &0&-2 \\ 0& 3 &0 &12 \\ 0& 0 &1 &-9 \end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1& 0 &0&2 \\ 0& 1 &0 &4 \\ 0& 0 &1 &-9 \end{array}\right).$$

В последнем столбце решение Вашей системы. Главное – чтобы слева от черты на диагонали единицы стояли (станет очевидно, если к системе уравнений вернуться). Не из школы тут только форма записи, но зато в ней всегда видите, что делаете. Алгоритм простой: получить слева ступеньки, а потом получить чистую диагональ из единиц. В терминах уравнений это просто последовательное исключение переменных.

Понятно, что для такой простой системы этот метод - тяжёлая артиллерия. Но знать его ну очень полезно.

[Shtorm]

Rusit8800 в сообщении #1182297 писал(а):

А если уравнений три, то их не может быть два?

Как раз в дисциплине "Линейная алгебра" перед темой "метод Гаусса", есть тема "Эквивалентные или элементарные преобразования матриц" - эта тема как раз равносильна сложению и вычитанию уравнений в системе. Так вот там доказывается, что нулевая строка матрицы может быть отброшена в итоге. Это равносильно тому, что исходная система из 3-ёх уравнений превращается в систему из двух уравнений - после преобразований. И если при этом хотя бы в одном из уравнений по три переменных -то уж точно система изначальная имеет бесконечное множество решений.

[Someone]

Rusit8800 в сообщении #1182289 писал(а):

Нужно было сравнить эти системы с системой

$$\[\left\{ \begin{gathered} x + y = 6 \hfill \\ x + z = - 7 \hfill \\ y + z = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $$

и показать, равносильны ли они, или нет.

Ах, даже так. А я, грешным делом, подумал, что вторую систему Вы получили, заменяя уравнения первой системы их попарными разностями.