Куда делись решения?

[Rusit8800]

Есть такая система:

$$\[\left\{ \begin{gathered} 2x + y + z = - 1 \hfill \\ x + 2y + z = 1 \hfill \\ x + y + 2z = - 12 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

У меня вышло такое решение:

$$\[\left\{ \begin{gathered} 2x + y + z = - 1 \hfill \\ x + 2y + z = 1 \hfill \\ x + y + 2z = - 12 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 4(x + y + z) = - 12 \hfill \\ x + 2y + z = 1 \hfill \\ 3x + 3y + 2z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y + z = - 3 \hfill \\ 3(x + y + z) = z \hfill \\ x = 1 - (x + y + z) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} z = - 9 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

То есть тройка решений $\[(x,y,z) = (2,4, - 9)\]$.
Что-то подобное происходит с аналогичной системой:

$$ \[\left\{ \begin{gathered} y - z = 13 \hfill \\ x - z = 11 \hfill \\ x - y = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 11 + z \hfill \\ x = y - 2 \hfill \\ y - z = 13 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = z + 13 \hfill \\ x = 13 \hfill \\ z = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 13 \hfill \\ z = 2 \hfill \\ y = 15 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $$

Теперь пропала тройка $\[(2,4, - 9)\]$. Но это же системы-следствия, там могут появится только лишние тройки решений, почему они пропадают?

[Metford]

Rusit8800 в сообщении #1182253 писал(а):

Но тройка $\[(13,15,2)\]$ тоже удовлетворяет системе.

Правда?

[Mikhail_K]

Rusit8800 в сообщении #1182253 писал(а):

Но тройка $\[(13,15,2)\]$ тоже удовлетворяет системе.

В самом деле?

Rusit8800 в сообщении #1182253 писал(а):

Теперь пропала тройка $\[(2,4, - 9)\]$.

Поясните, откуда Вы взяли $x=y-z$ после первого знака $\Leftrightarrow$

Rusit8800 в сообщении #1182253 писал(а):

Но это же системы-следствия, там могут появится только лишние корни, почему они пропадают?

Тогда пишите уж $\Rightarrow$, а не $\Leftrightarrow$.

[Pphantom]

Rusit8800 в сообщении #1182253 писал(а):

Но тройка $\[(13,15,2)\]$ тоже удовлетворяет системе.

Вы в этом уверены?

[Rusit8800]

Pphantom в сообщении #1182258 писал(а):

Вы в этом уверены?

Mikhail_K в сообщении #1182257 писал(а):

В самом деле?

Metford в сообщении #1182256 писал(а):

Правда?

Извиняюсь, исправил

-- 06.01.2017, 17:17 --

Mikhail_K в сообщении #1182257 писал(а):

Поясните, откуда Вы взяли $x=y-z$ после первого знака $\Leftrightarrow$

Вместо $z$ там $2$. В тетради коряво написано

-- 06.01.2017, 17:17 --

То есть $x=y-2$

[Pphantom]

Чему равен определитель второй системы? И что бы это значило?..

[Mikhail_K]

Pphantom в сообщении #1182264 писал(а):

Чему равен определитель второй системы? И что бы это значило?..

Насколько я понял, вопрос ТС не в том, почему решение не единственное.
А в том, что, как ему кажется, он пишет следствия исходной системы, и получает то, что получает. Если мы пишем следствия, то могут появиться лишние корни, но имеющиеся исчезнуть не могут - и в этом он прав. А у него исчезают.

Причина, разумеется, в том, что он пишет неверные следствия.
Во второй системе, после второй стрелочки - откуда взялось $x=13$ и $z=2$?

[Pphantom]

Mikhail_K в сообщении #1182266 писал(а):

Насколько я понял, вопрос ТС не в том, почему решение не единственное.
А в том, что, как ему кажется, он пишет следствия исходной системы, и получает то, что получает.

Это я решил подбираться издалека.

[Rusit8800]

Mikhail_K в сообщении #1182266 писал(а):

Во второй системе, после второй стрелочки - откуда взялось $x=13$ и $z=2$?

$$\[\left\{ \begin{gathered} y = z + 13 \hfill \\ x = (z + 13) - z \hfill \\ z = x - 11 = 13 - 11 = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

-- 06.01.2017, 18:51 --

Ой, там же $\[y - 2,{\text{а не }}y - z\]$

-- 06.01.2017, 18:51 --

Ошибку понял

-- 06.01.2017, 18:53 --

Но подождите, почему тогда тройка $\[(13,15,2)\]$ подходит? Она же получена при неправильном решении.

-- 06.01.2017, 18:57 --

А если решать в исправленном виде, то получится третье решение: $(11,13,0)$. Что происходит?!

[Metford]

Rusit8800 в сообщении #1182274 писал(а):

Но подождите, почему тогда тройка $\[(13,15,2)\]$ подходит?

А вот Вам тут давеча вопрос об определителе задавали. Вы ничего не скажете по этому поводу?

[Rusit8800]

Metford в сообщении #1182275 писал(а):

А вот Вам тут давеча вопрос об определителе задавали. Вы ничего не скажете по этому поводу?

К сожалению, ничего. С определителями я не знаком, а задача рассчитана на школьные знания.

[amon]

Rusit8800 в сообщении #1182276 писал(а):

С определителями я не знаком

Тогда в системе

$$ \[\left\{ \begin{gathered} y - z = 13 \hfill \\ x - z = 11 \hfill \\ x - y = - 2 \\ \end{gathered} \right.\]$$

вычтете из предпоследнего уравнения последнее и поразмышляйте над результатом.

[Metford]

(Оффтоп)

Всё-таки жаль, что в школе не показывают метод Гаусса. Не вдаваясь в детали, просто как чисто механически выполняемую процедуру. В школе же любят иногда подбросить систему четырёх уравнений, чтобы дети помучились. Вот на такой и показать.
Тогда была бы осторожность при работе с уравнениями, и подобные "открытия" не случались бы.

[Shtorm]

Metford, тут надо и другое сказать: зачем в школе давать такие задания, в которых полного решения школьник не получит - ибо не знаком с самой методикой решения? Тут либо нарушение методики преподавания, либо учитель, не подумав, составил такую систему и даже не понял, какую подставу сделал. Или же третий вариант: учитель объяснял что-то про такие системы, но автор темы либо забыл, либо пропустил.

[Someone]

Shtorm в сообщении #1182281 писал(а):

тут надо и другое сказать: зачем в школе давать такие задания, в которых полного решения школьник не получит - ибо не знаком с самой методикой решения?

А ему никто и не давал такого задания. Заданная ему система уравнений имеет единственное решение, которое легко найти. А в том, что он заданную ему систему заменил другой, которая имеет бесконечное множество решений, виноват, скорее всего, он сам.