Необходимость и достаточность условия для сходимости

[Brukvalub]

provincialka в сообщении #1164483 писал(а):

Нет! Так выглядит только один элемент из $\ell_\infty$

Более того, не всякий элемент такого вида лежит в $\ell_\infty$

[Aiyyaa]

И как мне привести примеры последовательностей данного пространства, одна из которых удовлетворяет и одна из которых не удовлетворяет заданному условию? Как узнать, сходится последовательность или нет?

[Otta]

Вы уже какую-нибудь последовательность элементов этого пространства приведите. Нестационарную. Прежде чем разбираться, кто чему удовлетворяет.

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164489 писал(а):

какую-нибудь последовательность элементов этого пространства

(0,$\frac{7}{8},...,\frac{n^3-1}{n^3},0,0,...$)

[Otta]

Еще раз. Вам уже говорили. Это последовательность чисел. Числа - элементы другого пространства. Давайте состряпаем последовательность из элементов $l_\infty$. То есть последовательность состоит из чего?

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #1164481 писал(а):

Выходит, вы не понимаете даже определения объекта, о котором пытаетесь рассуждать.

Совершенно точно
Aiyyaa
Попробуйте ответить на два вопроса (в такой последовательности):
1) Что такое элемент $\ell_\infty$?
2) Что такое последовательность элементов $\ell_\infty$?
Без правильных ответов на эти два вопроса обсуждение бесполезно.

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164499 писал(а):

То есть последовательность состоит из чего?

последовательность состоит из последовательностей чисел?

[Otta]

Aiyyaa в сообщении #1164501 писал(а):

последовательность состоит из последовательностей чисел?

Вот да. И эти последовательности - каждая - должны принадлежать $l_\infty$.
Отсюда получается двойная нумерация. Есть номера (у Вас $n$) для последовательностей-элементов пространства, а есть номера (у Вас $k$) для нумерации мест внутри них.

Берем, например, последовательность $x_n= (1,2,3,\ldots,n,0,0,\ldots)$. Принадлежит ли каждый ее элемент $x_n$ пространству $l_\infty$? Чему равно $x_n(k)$?

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164505 писал(а):

Принадлежит ли каждый ее элемент $x_n$ пространству $l_\infty$?

не принадлежит? потому что элементы данной последовательности - числа, а не последовательности чисел?

[Otta]

По-другому спрошу.
$x_n$ - последовательность. Какая - см. выше.
Чему равен $x_1$? $x_2$? $x_n$, наконец?

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164534 писал(а):

Чему равен $x_1$? $x_2$? $x_n$, наконец?

$x_1=1$ , $x_2=2$ , $x_n=n$

[Otta]

А написано что?
Цитирую:

Otta в сообщении #1164505 писал(а):

$x_n= (1,2,3,\ldots,n,0,0,\ldots)$

Вас цитирую:

Aiyyaa в сообщении #1164542 писал(а):

$x_n=n$

Сравните.
Ответьте еще раз на тот же вопрос. Вернее, на те же вопросы.

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164546 писал(а):

Ответьте еще раз на тот же вопрос.

$x_1=(1,0,0,...)$, $x_2=(1,2,0,0,...)$, $x_n=(1,2,...,n,0,0,...)$

[Otta]

Хорошо. Так является ли каждый элемент последовательности $x_1,x_2,\ldots$ элементом $l_\infty$?

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164549 писал(а):

Так является ли каждый элемент последовательности $x_1,x_2,\ldots$ элементом $l_\infty$?

не является? Потому что элементы данных последовательностей $x_1$, $x_2$,..., $x_n$ - числа, а не последовательности чисел?