Необходимость и достаточность условия для сходимости

[Otta]

Я не спрашиваю про "элементы данных последовательностей $x_1$, $x_2$,..., $x_n$", - это действительно числа.
Что такое последовательность $x_1,x_2,\ldots$? Какой у нее первый элемент?

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164551 писал(а):

Что такое последовательность $x_1,x_2,\ldots$?

числовые последовательности?

Otta в сообщении #1164551 писал(а):

Какой у нее первый элемент?

единица?

[Otta]

И где Вы в этой последовательности увидели единицу?

[Aiyyaa]

последовательность $x_1,x_2,\ldots$ это последовательность последовательностей? И её первый элемент это числовая последовательность $x_1$?

[Otta]

Ну наконец-то.

Так вот. Возвращаемся на несколько постов назад. Верно ли, что каждый элемент этой последовательности (и первый, и второй, и так далее) принадлежит Вашему пространству?

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164560 писал(а):

Верно ли, что каждый элемент этой последовательности (и первый, и второй, и так далее) принадлежит Вашему пространству?

да, потому что каждый элемент последовательности является последовательностью чисел?

[Otta]

Aiyyaa в сообщении #1164564 писал(а):

да, потому что каждый элемент последовательности является последовательностью чисел?

В $l_\infty$ попадает не любая числовая последовательность. Какая? Проверяйте.

[Aiyyaa]

элементами $l_\infty$ являются последовательности ограниченных последовательностей? Элементы последовательности $x_n$, то есть $x_1$, $x_2$,... являются ограниченными последовательностями, поэтому они попадают в $l_\infty$?

[Otta]

Aiyyaa в сообщении #1164570 писал(а):

Элементы последовательности $x_n$, то есть $x_1$, $x_2$,... являются ограниченными последовательностями, поэтому они попадают в $l_\infty$?

Что-что является?
Еще раз. Желательно с обоснованием.

-- 31.10.2016, 02:17 --

Aiyyaa в сообщении #1164570 писал(а):

элементами $l_\infty$ являются последовательности ограниченных последовательностей?

Теперь возвращаемся обратно и смотрим определение $l_\infty$.

Aiyyaa, Вам учебник нужно читать. Подольше и почаще.

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164572 писал(а):

Еще раз. Желательно с обоснованием.

$x_1$ является ограниченной числовой последовательностью, $x_2$ является ограниченной числовой последовательностью, и так далее, то есть все элементы последовательности $x_1,x_2,\ldots$ являются ограниченными числовыми последовательностями в пространстве $l_\infty$, элементами которого являются последовательности ограниченных последовательностей.

[Otta]

Все было бы прекрасно, если бы не

Aiyyaa в сообщении #1164574 писал(а):

в пространстве $l_\infty$, элементами которого являются последовательности ограниченных последовательностей.

Что является его элементами?
Кстати, чем ограничена $x_n$?

[Aiyyaa]

элементами пространства $l_\infty$ являются ограниченные последовательности?

[Otta]

Да. А последовательность, состоящая из элементов этого пространства - последовательность, элементами которой являются опять же что?

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164580 писал(а):

элементами которой являются опять же что?

ограниченные последовательности?

[Otta]

Да.
Итак, у нас есть пространство из ограниченных последовательностей. Последовательность в таком пространстве - это последовательность из последовательностей, лежащих в в этом пространстве, то есть ограниченных. Ограничены ли последовательности $x_n$ из моего примера, то есть верно ли, что они являются элементами этого пространства? Если да, то чем? Если нет, то почему.