Необходимость и достаточность условия для сходимости

[Aiyyaa]

Объясните пожалуйста, как сделать это задание.
Имеется пространство $\ell_\infty$, и есть условие:
$\forall k\in\mathbf{N}$ существует предел числовой последовательности $x_n(k)$.
Нужно ответить, является ли заданное условие для сходимости последовательности $x_n(k)$ в метрическом пространстве $\ell_\infty$?
Объясните пожалуйста, как сделать это задание?:
a) необходимым;
б) достаточным;
в)необходимым и достаточным.
Объясните пожалуйста, как сделать это задание?
Я знаю, что метрикой пространства $\ell_\infty$ является
$d(x_n,y_n)=\sup\limits_{k\in\mathbf{N}}|x_n(k)-y_n(k)|$. Сходимось последовательности означает существование предела в метрическом пространстве, то есть
$\forall \varepsilon>0\, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_\varepsilon\, d(x_n,a) \leqslant \varepsilon$.

[Otta]

Aiyyaa
Приведите, пожалуйста, пример последовательности из этого пространства, которая 1) удовлетворяет этому условию, 2) не удовлетворяет ему.

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164434 писал(а):

пример последовательности из этого пространства, которая 1) удовлетворяет этому условию, 2) не удовлетворяет ему.

я не понимаю, мне нужно привести пример последовательности, которая сходится по метрике из пространства $\ell_\infty$, то 2 последовательности $x_n(k)$ и $a(k)$, такие, что $a=\lim\limits_{n\to\infty}x_n(k)$ и такую последовательность, к которой невозможно подобрать такой функции, к которой бы она сходилась?

[Otta]

Нет. У Вас есть условие, которое предлагается проверить на необходимость (или достаточность). Какое?
Вот и приведите пример двух последовательностей. Обе из $\ell_\infty$.
Первая - чтобы удовлетворяла этому условию.
Вторая - чтобы не удовлетворяла.

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164447 писал(а):

Первая - чтобы удовлетворяла этому условию.

гармонический ряд $x_n=\frac{1}{n}$ сходится,

Otta в сообщении #1164447 писал(а):

Вторая - чтобы не удовлетворяла.

ряд $y_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ не сходится

[Otta]

Про сходится и не сходится речи не было. Была речь про условие. Какое условие Вам надо проверять на необходимость (достаточность) для сходимости?

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164457 писал(а):

Про сходится и не сходится речи не было. Была речь про условие. Какое условие Вам надо проверять на необходимость (достаточность) для сходимости?

Вот это условие:
$\forall k\in\mathbf{N}$ существует предел числовой последовательности $x_n(k)$.

[Otta]

Отлично. С условием временно разобрались. А вот теперь неплохо бы понять, кто лежит в $\ell_\infty$. Что является элементами этого пространства?

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164463 писал(а):

кто лежит в $\ell_\infty$. Что является элементами этого пространства?

$\ell_\infty$ является пространством последовательностей, следовательно в нём лежат числовые последовательности

[Brukvalub]

Aiyyaa в сообщении #1164454 писал(а):

гармонический ряд $x_n=\frac{1}{n}$ сходится,

Давно ли он начал сходиться?

[provincialka]

Brukvalub в сообщении #1164471 писал(а):

Давно ли он начал сходиться?

С тех пор, как потерял знак суммы

Aiyyaa а как, по вашему, выглядит последовательность, элементы которой лежат в $l_{\infty}$?

[Aiyyaa]

provincialka в сообщении #1164474 писал(а):

выглядит последовательность, элементы которой лежат в $l_{\infty}$?

ну бесконечное количество чисел в скобках, что-то вроде $(1, \frac{1}{n},\frac{1}{n^2},...)$

[Brukvalub]

Aiyyaa в сообщении #1164480 писал(а):

ну бесконечное количество чисел в скобках, что-то вроде $(1, \frac{1}{n},\frac{1}{n^2},...)$

Это ошибочное представление. Выходит, вы не понимаете даже определения объекта, о котором пытаетесь рассуждать. Пока вам рано решать подобные задачи.

[Red_Herring]

Aiyyaa в сообщении #1164430 писал(а):

Сходимось последовательности

чего последовательности?

[provincialka]

Aiyyaa в сообщении #1164480 писал(а):

ну бесконечное количество чисел в скобках, что-то вроде $(1, \frac{1}{n},\frac{1}{n^2},...)$

Нет! Так выглядит только один элемент из $\ell_\infty$. А в последовательности таких элементов -- бесконечное множество.