Совместные чтения

[g______d]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1162741 писал(а):

Боюсь, что "физическая математика" и "математическая математика" у физиков в процессе обучения довольно быстро вступают в противоречие.

Не знаю, но думаю, что реже, чем кажется. "Математическая математика" там преподаётся по математическим учебникам и на математическом уровне строгости. "Физическая" её опережает по охвату тем, но достаточно стандартных оговорок в духе "математики вам позже расскажут, как это сделать строго, а нам важнее побыстрее получить ответ". Те же разговоры про интеграл сводятся к "да, формально он расходится, но для подобных интегралов есть процедура регуляризации, позволяющая приписать им число".

Дальше да, начнётся КТП, у которой с формализацией всё плохо, но большинство теоретиков отдаёт себе отчёт в том, что получить ответ -- это одно (и этим занимаются учебники по теорфизике), а доказать его математически -- это другое, и этим занимаются матфизики, с переменным успехом.

Как минимум один пример, где так происходит, -- это теорпоток физфака СПбГУ. Не думаю, что на других крупных физических факультетах ситуация сильно хуже.

[Munin]

А если надо получить ответ, который не написан в учебнике? Этим матфизики не занимаются?

-- 24.10.2016 23:56:55 --

arseniiv в сообщении #1162707 писал(а):

Вот же упомянутая вами

Нет, упомянутая мной - иная.

[g______d]

Munin в сообщении #1162786 писал(а):

А если надо получить ответ, который не написан в учебнике? Этим матфизики не занимаются?

Занимаются иногда, но не вижу, каким образом это относится даже к тому оффтопу, в который мы ушли.

[Munin]

А я вижу. Вы называете матфизиками не то же, что и я.

[amon]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1162799 писал(а):

Вы называете матфизиками не то же, что и я.

Я подозреваю, что уважаемый g______d называет матфизиками сотрудников кафедры матфизики СПбГУ. А что, Вы им в такой чести отказываете? ;)

[Munin]

(Оффтоп)

Нет, я их просто не знаю, и потому не могу классифицировать :-)

[Anton_Peplov]

Munin
Когда я развлекался попытками обобщить понятие производной на произвольное метрическое пространство, пришел OZ и сказал: "Дифференцируемость - это линейность в малом, а в произвольном метрическом пространстве линейности нет, так что ничего хорошего от таких попыток ждать не приходится". Этот пример имеет отношение к тому, что Вы называете смыслом производной?

[Munin]

Имеет, я думаю. То есть, OZ действовал именно в смысле обсуждения множества примеров: в каких-то пространствах ему была известна линейность и дифференцируемость, а в каких-то - нет, и он не увидел пути обобщения понятия на вторые. Собственно, сама операция обобщения понятия - подразумевает именно воспринимать понятие как набор примеров, а не как однозначную формулировку.

[g______d]

Я к тому, что на приличных физических факультетах в России в курсе математики учат именно математической математике, на математическом уровне строгости. Отличие от математического факультета только в акцентах на определённые области и в количестве часов.

(Оффтоп)

amon в сообщении #1162805 писал(а):

Я подозреваю, что уважаемый g______d называет матфизиками сотрудников кафедры матфизики СПбГУ.

Там две кафедры матфизики. Впрочем, физиков учит только одна. В данной конкретной цитате, да, я говорил ровно про тех конкретных матфизиков, которые учили ровно тех конкретных студентов.

Munin в сообщении #1162799 писал(а):

Вы называете матфизиками не то же, что и я.

Хотя это и оффтоп, но я более-менее признаю матфизикой области, охваченные статьями в Communications in Mathematical Physics и Journal of Mathematical Physics. Разумеется, есть и другие журналы, но именно области рано или поздно пересекаются с указанными двумя (или даже одним). Лично на мой вкус грань между "theoretical physics" и "mathematical physics" лежит где-то в области ответа на вопрос "доказывает ли автор хотя бы одну теорему", но это некоторый спорный момент.

И это скорее достаточное условие, чем необходимое.

[Munin]

g______d в сообщении #1162828 писал(а):

Я к тому, что на приличных физических факультетах в России в курсе математики учат именно математической математике, на математическом уровне строгости.

Ну мало ли чему учат. Здравый студент-физик отнесётся к этому математическому уровню строгости адекватно:

...А медикаментов груды
Мы - в унитаз, кто не дурак...

Разумеется, не до, а после сдачи экзамена.

[Anton_Peplov]

Я бы хотел продолжить разговор о смысле математических понятий, потому что чувствую, что здесь зарыто что-то важное.

Представим себе человека, который никогда не играл в шахматы. Ему дали список правил и поручили следить за партией. Он сможет констатировать, что – да, каждый ход сделан по правилам, и – да, это мат. Он видит, что поставлен мат, но не понимает, почему он поставлен. «Потому что король ходит так, а ферзь этак» – не ответ. Правила, регулирующие возможные и невозможные ходы – это еще не все шахматы (в принципе, все шахматы выводимы из этих правил, но на практике такой вывод непосилен ни человеку, ни существующим компьютерам). Игрок проиграл, потому что не развивал фигур / упустил центр / не берег пешек и так далее. В шахматах есть свои законы, свои причинно-следственные связи. А наш наивный наблюдатель не знает их, не понимает, как здесь все устроено.

Равно и вся математика, в принципе, выводима из определений, но это точно такое же "в принципе". Я предлагаю различать формальное понятие, которое можно считать тождественным определению, и когнитивное понятие, которое хранится у нас в голове и с которым мы на самом деле работаем, пытаясь что-то доказать, опровергнуть, обобщить или вычислить. Когнитивное понятие может даже противоречить формальному (например, я какое-то время был свято уверен, что внутренность открытого связного множества совпадает с внутренностью его замыкания). Но самое важное - из бесконечного множества следствий, свойств и взаимосвязей с другими понятиями, которые в принципе выводимы из определения и в этом смысле архивированы в нем, когнитивное понятие содержит далеко не все, а лишь конечное (и очень небольшое) множество, но зато таких следствий, свойств и взаимосвязей, о которых мы помним или легко можем вспомнить. Кстати, ошибочно считать, что когнитивное понятие вполне вербализуемо. Немалую его часть занимает невербализованное и неотрефлексированное знание, наработанное интуицией, которая подсказывает верные ходы в доказательствах и опровержениях или пути плодотворных обобщений.

Когнитивные понятия иногда образуются с трудом, несмотря на от зубов отскакивающие определения. Именно это чувство "каждый ход сделан по правилам, но я не понимаю, что происходит" у меня возникает при изучении, например, дифференциального исчисления. Вот тут ТС спрашивает про инвариантность формы первого дифференциала. А я в свое время так и не понял, чем это первый так сильно отличается от второго, что первый инвариантен, а второй - нет. То есть я честно доказал и инвариантность первого, и неинвариантность второго, и - да, каждый ход сделан по правилам... Но, черт возьми, Холмс, что за всем этим стоит?

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1162932 писал(а):

Я бы хотел продолжить разговор о смысле математических понятий, потому что чувствую, что здесь зарыто что-то важное.

Я по этому поводу уже всё сказал раньше, а в этой теме не жду больших отклонений в стороны.

«Как упростить преподавание матанализа нематематикам?»
«Об использовании математических понятий в физике»
и далее по ссылкам.

Anton_Peplov в сообщении #1162932 писал(а):

Игрок проиграл, потому что не развивал фигур / упустил центр / не берег пешек и так далее. В шахматах есть свои законы, свои причинно-следственные связи. А наш наивный наблюдатель не знает их, не понимает, как здесь все устроено.

Увы, некоторые настаивают, что излагать математику надо на уровне "вот вам правила шахмат, в них всё заложено".

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1162936 писал(а):

Увы, некоторые настаивают, что излагать математику надо на уровне "вот вам правила шахмат, в них всё заложено".

Может быть, потому, что эмпирические правила типа "захвати центр, не оголяй короля почем зря и береги пешки" самими математиками недостаточно осознаны, не перенесены на бумагу? Не помню, чтобы я встречал что-то интереснее, чем "не получилось доказать - попробуй опровергнуть, не получилось опровергнуть - попробуй снова доказать, заметив, что именно делает негодными придуманные тобой контрпримеры", и то это тривиальное наблюдение, которое даже я в своих школярских упражнениях независимо повторил, подавалось (у Панова) как метод математика имярек, усвоенный его учениками.
Если кто-то мне скажет: "Да нет же, вот книжка, в которой все эти эмпирические правила давно расписаны" - буду благодарен:)

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1162946 писал(а):

Если кто-то мне скажет: "Да нет же, вот книжка, в которой все эти эмпирические правила давно расписаны" - буду благодарен:)

Да нет же, вот книжка, в которой все эти эмпирические правила давно расписаны (стр. 202).

[Anton_Peplov]

О, спасибо, прочту.