2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 23  След.
 
 Об использовании математических понятий в физике
Сообщение08.11.2010, 16:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
 i  pittite:
Эта тема была отделена из темы "Методы математической физики" по предложению авторов ниже размещенных сообщений.

Кстати:

Alex-Yu в сообщении #370546 писал(а):
Но сама дивергенция это поток вектора через маленькую замкнутую поверхность делить на объем внутри этой поверхности (это определение дивергенции, что такое дивергенция).

Крайне неудачное определение, хотя и модное. А откуда заранее следует, что этот предел вообще существует и что он не зависит от формы стягиваемой области?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение08.11.2010, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #372393 писал(а):
Крайне неудачное определение, хотя и модное. А откуда заранее следует, что этот предел вообще существует и что он не зависит от формы стягиваемой области?...

За этими придирками - на курс матана. А в физике достаточно поверить, что в тех случаях, про которые рассказывается в учебнике, всё существует. В ваших объяснениях тоже есть ряд мест для придирок подобного плана, я смолчал только потому, что мне больше интересно, как ваши объяснения воспримет спрашивавший.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение08.11.2010, 18:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #372415 писал(а):
За этими придирками - на курс матана. А в физике достаточно поверить, что в тех случаях, про которые рассказывается в учебнике, всё существует.

В физике вообще не надо определять дивергенцию, не царское это дело. В физике её надо просто использовать. Не определяют же в физике, скажем, синус или косинус.

Это во-первых. А во-вторых, если в физике всё-таки переопределяют какие-то математические понятия по-своему, то такие определения должны быть как минимум интуитивно очевидны. Корректность "геометрического" определения дивергенции (тем более аналогичного определения ротора) -- неочевидна совершенно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение08.11.2010, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #372438 писал(а):
В физике вообще не надо определять дивергенцию, не царское это дело.

Да, но в физике надо понимать, что это такое, чувствовать, иметь образ. Если пойти за подаянием в матан, то легко получишь только определение, правила вычисления, и неодобрительный взгляд в довесок. А этого мало. Математика в физике используется как модель, и надо знать, как она сопоставляется реальному миру, и как устроена та часть реального мира, которой эта модель сопоставляется.

ewert в сообщении #372438 писал(а):
если в физике всё-таки переопределяют какие-то математические понятия по-своему

Чур нас, чур!

ewert в сообщении #372438 писал(а):
то такие определения должны быть как минимум интуитивно очевидны. Корректность "геометрического" определения дивергенции (тем более аналогичного определения ротора) -- неочевидна совершенно.

Не путайте очевидность определения с очевидностью корректности :-) Определение интеграла "площадь под кривой" очевидно даже для пятиклассника, а вот с корректностью... не мне вам рассказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение08.11.2010, 22:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #372503 писал(а):
Математика в физике используется как модель, и надо знать, как она сопоставляется реальному миру, и как устроена та часть реального мира, которой эта модель сопоставляется.

Безусловно согласен. Но должна же быть и некая иерархия. Конкретно про дивергенцию следует твёрдо знать, что это -- именно некая дифференциальная операция. И только после этого можно (и нужно) говорить, что это -- такое-то отношение, т.е. может быть интерпретирована как мера расходимости силовых линий поля. Но ни в коем случае не принимать это за определение дивергенции. В т.ч. и потому, что последняя формулировка просто лишена точного смысла, это -- всего лишь лирика.

Munin в сообщении #372503 писал(а):
Определение интеграла "площадь под кривой" очевидно даже для пятиклассника, а вот с корректностью... не мне вам рассказывать.

А вот тут проблемы как раз не с корректностью (во всяком случае, не в первую очередь с ней). А в недостаточной обобщаемости определения интеграла как площади. Если вбить себе в голову, что интеграл -- это площадь, и не держать в голове, что это сумма бесконечно большого количества бесконечно маленьких слагаемых, то каждый следующий тип интегралов так и будет являться некоторой загадкой, постоянно ставящей в тупик (проверено на опыте). И только потом, потом -- можно (и нужно) про площадь. Опять же -- вопрос иерархии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение08.11.2010, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #372529 писал(а):
Конкретно про дивергенцию следует твёрдо знать, что это -- именно некая дифференциальная операция.

Не спорю. Но я не заметил, что спрашивающий этого не знает. Я так понял, он этого просто не понимает образно.

ewert в сообщении #372529 писал(а):
А вот тут проблемы как раз не с корректностью (во всяком случае, не в первую очередь с ней). А в недостаточной обобщаемости определения интеграла как площади. Если вбить себе в голову, что интеграл -- это площадь, и не держать в голове, что это сумма бесконечно большого количества бесконечно маленьких слагаемых, то каждый следующий тип интегралов так и будет являться некоторой загадкой, постоянно ставящей в тупик (проверено на опыте). И только потом, потом -- можно (и нужно) про площадь. Опять же -- вопрос иерархии.

Не соглашусь. Как раз вбивание в голову, что это "сумма бесконечно большого количества бесконечно маленьких слагаемых", мешает обобщать это понятие, примерно на уровне "интеграл - это линейный функционал..." См., напр., интеграл от дельта-функции. Или произведение цепи на коцепь в симплектическом комплексе. И проблемы с корректностью - тоже именно у вашего определения. "Проверено на опыте" - преклоняюсь, но и дивлюсь, и не считаю за окончательный аргумент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение09.11.2010, 00:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #372550 писал(а):
Но я не заметил, что спрашивающий этого не знает.

Я не про спрашивавшего. А про одного из отвечавших, который геометрическое свойство дивергенции осмелился назвать её определением.

Munin в сообщении #372550 писал(а):
Как раз вбивание в голову, что это "сумма бесконечно большого количества бесконечно маленьких слагаемых", мешает обобщать это понятие, примерно на уровне "интеграл - это линейный функционал..."

Нисколько не мешает. Линейность этого функционала совершенно тривиальна (во всяком случае, на уровне здравого смысла). А до столь абстрактного обобщения надо ещё и дорасти.

Munin в сообщении #372550 писал(а):
"Проверено на опыте" - преклоняюсь, но и дивлюсь, и не считаю за окончательный аргумент.

Это никакой не аргумент, это просто констатация опытного факта. Люди, не понимающие, что такое кратный интеграл (не говоря уж о какой-нибудь чертовщине типа поверхностного) -- автоматом не могут воспроизвести и определение обычного одномерного. Могут лишь промямлить что-то про площадь (действительно частенько могут). Что само по себе уже прекрасно, конечно. Но -- бесперспективно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение09.11.2010, 00:49 


12/09/08

2262
ewert в сообщении #372393 писал(а):
Крайне неудачное определение, хотя и модное.
Знаете ли, очень неплохое определение. Для многих вещей существуют разные эквивалентные определения. При каком-то способе построения это свойство, а при каком-то — определение, а то определение наоборот свойство.
ewert в сообщении #372393 писал(а):
А откуда заранее следует, что этот предел вообще существует и что он не зависит от формы стягиваемой области?...
Ниоткуда. Потому в строгие определения, базирующиеся на пределах, включают слова «если этот предел существует». Простейший пример — производная (это такой-то предел, если он существует). Если не существует, то и фиг с ним, а вот если существует, то тут-то и вот оно, определение в действии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение09.11.2010, 01:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
вздымщик Цыпа в сообщении #372590 писал(а):
Потому в строгие определения, базирующиеся на пределах, включают слова «если этот предел существует». Простейший пример — производная (это такой-то предел, если он существует).

Не прокатит. Производная как типа в некотором смысле касательная -- интуитивно понятна, поскольку кривые у всех перед глазами, и касательные более-менее тоже. С дивергенцией как пределом отношения этот фокус не пройдёт, поскольку уследить интуитивно за потоками через замкнутые поверхности -- так просто не выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение09.11.2010, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #372584 писал(а):
А про одного из отвечавших, который геометрическое свойство дивергенции осмелился назвать её определением.

Не понял, что здесь криминального, см. замечание вздымщика Цыпы. Вопрос о том, выводить ли A из B или B из A при наличии взаимной выводимости, всегда считал второстепенным.

ewert в сообщении #372584 писал(а):
Линейность этого функционала совершенно тривиальна (во всяком случае, на уровне здравого смысла). А до столь абстрактного обобщения надо ещё и дорасти.

Вот как раз дорасти эта самая "сумма бесконечно большого..." и мешает. Страшно мешает. (Не о линейности речь, разумеется. Кстати, тривиальна ли линейность при определении через "сумму"? мне нет.)

ewert в сообщении #372584 писал(а):
Люди, не понимающие, что такое кратный интеграл (не говоря уж о какой-нибудь чертовщине типа поверхностного) -- автоматом не могут воспроизвести и определение обычного одномерного.

А, вот вы о каких обобщениях. Знаете, имхо, если такие люди воспроизводят определение обычного одномерного через "площадь", это уже хорошо. Прямо на это опираясь, можно давать определения двойного и тройного интегралов, говоря про функцию плотности массы и суммарную массу фигуры или тела. После этого и преобразование кратного в повторный просто и наглядно. И дельта-функции как точки конечной массы в области интегрирования сюда тоже вписываются замечательно. Плохо только то, что придётся к таким людям индивидуально подстраиваться, а не давать одно определение всему потоку. Может, и всему потоку дать тот вариант, от которого вы морщитесь?

По некотором размышлении, я вообще считаю, что определение через "площадь" отвечает на вопрос что такое интеграл, а определение через "сумму" - всего лишь на вопрос как интеграл находится. Понятно, что здесь второстепенно. Умея его находить, но не зная, зачем и в каких случаях это делать, человек может научиться решать чужие задачи, в которых интеграл уже есть, но не сможет решать такие, в которых интеграл надо записать, и тем более не сможет ставить своих, опирающихся на это понятие.

вздымщик Цыпа в сообщении #372590 писал(а):
Ниоткуда. Потому в строгие определения, базирующиеся на пределах, включают слова «если этот предел существует».

Причём можно ещё сформулировать условия, при которых он существует, и добавить их в определение дивергенции. Будет совсем красота. Правда, эти условия, как я понимаю, выражаются либо через координаты, либо через очень продвинутый геометрический язык, который в момент определения дивергенции совсем неуместен.

-- 09.11.2010 01:58:31 --

ewert в сообщении #372622 писал(а):
Производная как типа в некотором смысле касательная

Странная у вас позиция. Производную как типа касательную вы допускаете, а интеграл как типа площадь - нет.

ewert в сообщении #372622 писал(а):
С дивергенцией как пределом отношения этот фокус не пройдёт, поскольку уследить интуитивно за потоками через замкнутые поверхности -- так просто не выйдет.

Вполне выходит. Если картину "силовых линий" использовать. Ну и поверхностями рекомендуется на первых порах ограничиться типа сферы или куба, а более сложные себе не представлять, просто помнить про теорему Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение09.11.2010, 02:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #372624 писал(а):
Знаете, имхо, если такие люди воспроизводят определение обычного одномерного через "площадь", это уже хорошо.

Ну, опыт показывает, что это плохо. Эти люди не могут обобщить интеграл даже и на кратный, не то что на какие-то там обобщённые функции (которым их, кстати, и не учат).

Munin в сообщении #372624 писал(а):
определение через "площадь" отвечает на вопрос что такое интеграл, а определение через "сумму" - всего лишь на вопрос как интеграл находится.

В точности наоборот. Интеграл (в идейном отношении) -- это никакая не площадь, это именно некое обобщение суммы.

Munin в сообщении #372624 писал(а):
Производную как типа касательную вы допускаете, а интеграл как типа площадь - нет.

Это вырвано из контекста. Противопоставление было не производной интегралу, а дивергенции производной.

Munin в сообщении #372624 писал(а):
Вполне выходит. Если картину "силовых линий" использовать.

Не выходит. Попробуйте нарисовать линии тока для просто течения жидкости и посчитать стрелочки. Ничего толкового не выйдет. Я ж говорю -- это не более чем лирика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение09.11.2010, 10:45 


31/10/10
404
Мне все же думается, что начинать всегда следует с простого. Во всяком случае вся наша система образования в школе и в университете так построена. Сначала вам говорят самые простые вещи, которые понять можно и на пальцах. Не ругать же на этом этапе преподавателей, за то, что их определения в общем случае некорректны. Через время знания становятся все более обширнее, пропускаясь через призму постепенного обобщения, а определения все более корректными. Наконец дядя в очках и с умным видом говорит: "Ну вот и все, это и есть теория всего :D ".
Так что, видимо для первого знакомства можно в определении дивергенции обойтись и без заумных для новичков и понятных (естественно :D ) для вас строгих и общих определений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение09.11.2010, 12:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #372629 писал(а):
Эти люди не могут обобщить интеграл даже и на кратный, не то что на какие-то там обобщённые функции (которым их, кстати, и не учат).

А что, перед ними ставится задача самостоятельно обобщить, а не освоить предоставленное преподавателем обобщение?

ewert в сообщении #372629 писал(а):
Интеграл (в идейном отношении) -- это никакая не площадь, это именно некое обобщение суммы.

Я не могу отвечать на столь нечётко сформулированные вещи. "В идейном отношении", "некое обобщение" - поди пойми, что вы имеете в виду. Для меня интеграл в идейном отношении - это некое обобщение интеграла. В смысле, некоторой цельной обобщающей характеристики, которая характеризует более детально заданный объект. К суммам и площадям это понятие несводимо, оно более первично, это как раз суммы и площади суть частные проявления этой идеи. Но вот чтобы как раз дать такое первичное понятие, проиллюстрировать его площадью или весом фигуры - наиболее наглядный образ. Разумеется, про сумму надо упомянуть, но через секунду, когда возникнет следующий вопрос: а как посчитать эту площадь или вес. Заметьте, идея разбиения на малые части сама по себе не элементарна, её в курсе физики вводят классе в девятом, и тогда она ещё идёт с трудом.

ewert в сообщении #372629 писал(а):
Это вырвано из контекста. Противопоставление было не производной интегралу, а дивергенции производной.

Ничего, меня всё равно интересует, будете ли вы настаивать на лишении понятия производной наглядности за-ради строгости (и скучности!) определений, или нет.

ewert в сообщении #372629 писал(а):
Не выходит. Попробуйте нарисовать линии тока для просто течения жидкости и посчитать стрелочки.

Пробовал, неоднократно, и что? Надеюсь, вы не забываете о том правиле, что у "силовых линий" есть ещё и плотность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение09.11.2010, 13:26 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
Munin в сообщении #372682 писал(а):
Ничего, меня всё равно интересует, будете ли вы настаивать на лишении понятия производной наглядности за-ради строгости (и скучности!) определений, или нет.


Хорошо сказано у Займана (по памяти потому приблизительно): "нет ничего более отталкивающего для нормального человека, чем клиническая последовательность определений, аксиом и теорем, порождаемая чистыми математиками". Надеюсь у математиков есть чуство юмора и они не обидятся:-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Методы математической физики
Сообщение09.11.2010, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex-Yu в сообщении #372709 писал(а):
Хорошо сказано у Займана (по памяти потому приблизительно): "нет ничего более отталкивающего для нормального человека, чем клиническая последовательность определений, аксиом и теорем, порождаемая чистыми математиками". Надеюсь у математиков есть чуство юмора и они не обидятся:-)

Дык, что интересно, чистыми математиками порождается совсем другое, но вот до учебников и лекций оно зачастую именно в таком клиническом виде и докатывается. Ни кульминации, ни концовки, ни смысла.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 331 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 23  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group