Анализ: Неограниченная вторая производная

[ewert]

provincialka в сообщении #1055324 писал(а):

А на интервале нельзя решать?

Нельзя просто потому, что ни к чему. Как говорил один автор (замечательный мелодически, но далеко не столь убедительный как поэт):
"Зачем опасные слова?// Любовь банальна -- и некстати."

-- Вс сен 20, 2015 23:12:18 --

GeometrIya в сообщении #1055327 писал(а):

Если эту задачу нельзя решить без интегралов

Интегралы тут с любой точки зрения не при чём. Хотя, конечно, при желании можно приплести что угодно к чему угодно.

[provincialka]

(орфография)

ewert в сообщении #1055328 писал(а):

не при чём

Не боитесь попасть в тему "Пообсуждаем грамотность"? Меня в свое время Yadryara сурово отучил от этой ошибки...

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1055334 писал(а):

Не боитесь попасть в тему "Пообсуждаем грамотность"?

Иногда боюсь; но уж точно не в этом случае. Тут уж -- без вариантов, и плявать, что тут могут нарекомендовать разные справочники. Это их личные дела..

[GeometrIya]

Мне кажется я додумалась до полу-аналитического метода решения этой задачи. Суть: предположить что случайно найденный переход "ограничена-неограничена" и есть искомое решение задачи. Тогда на моём примере $2x\cos (x^2)$ и есть Вторая неограниченная производная. Значит $\sin (x^2)$ есть Первая ограниченная производная. И остаётся найти такую функцию, производная от которой есть $\sin (x^2)$. Если я правильно понимаю интегралы, то нужно посчитать $\int \sin (x^2) dx$. Только вот не знаю как это сделать.

Да и потом не ясно - будет ли найденная функция ограничена. Но думается на это намекал mihailm своим вопросом. Если так - спасибо.

[mihailm]

Идейно все правильно.
Ответ такой и есть - интеграл от $\sin (x^2)$. Но это не очень хорошо для начинающих)
А $\sqrt[3] x$ не подойдет?

[GeometrIya]

Не вижу что-то нужного перехода. Функция $\sin (\sqrt[3]x)$ ограничена, но ограничены и её производные. Простите, не получается ничего сегодня.

(попробовала $\sin (x \sin x)$, но не знаю как интеграл посчитать)

[Brukvalub]

mihailm в сообщении #1055368 писал(а):

А $\sqrt[3] x$ не подойдет?

Эта функция НЕ ограничена!

[levtsn]

корень кубический умноженный на гауссиану

[INGELRII]

Кто-нибудь может проинтегрировать функцию $1 - \sqrt{ \frac {x} {x + 1} }$? Стыдно, но сам я успел разучиться. В результат потом подставим вместо икса модуль икса, и будет у нас ответ на всей числовой прямой.

[GAA]

При первом чтении начального сообщения я почему-то модифицировал (возможно, как и ewert) условие на привычное: сама функция и её первая производная должны быть ограничены, а вот вторая производная должна быть конечной и неограниченной.

Пусть для простоты функция должна быть задана на конечном отрезке, например, $[-1,1]$.

Можно совсем упростить и предварительно рассмотреть задачу: сама функция должна быть ограниченой, а вот производная должна быть конечной и неограниченной (на отрезке $[-1,1]$).

Пример
$f(x)= \left\{\begin{array}{l} x^2\sin(1/x^2), \quad x \ne 0, \\ 0, \quad x = 0. \end{array} \right$
[В нуле легко вычислить производную по определению; она равна нулю. В остальных точках $f'(x)= 2x\sin(1/x^2) - \frac{2}{x}\cos(1/x^2)$.]

Возвращаясь к задаче со второй производной. Просто нужно попробовать (как и писал ewert) несколько вариантов степеней $x$ перед функцией синус и в аргументе этой функции. Также очевидна модификация функции, чтобы она была определена на всей прямой.

Пример, конечно, очень широко известен. Поэтому непонятно зачем издеваться над ТС с интегралом. Производные старших порядков проходят, как правило, до интеграла (даже Римана).

Если конечность не требовать, то нет ни затруднений, ни смысла.

Редактирование: добавлен потерянный в спешке символ производной. Спасибо участнику, указавшему в ЛС на недостаток.

[GeometrIya]

После неудач с $\sin (x^2)$ и $\sin (x \times \sin (x))$ поступим так: поделим одну неудачу на другую:

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac {\sin (x^2)}{x}, & \quad x \neq 0 \\ 0, & \quad x = 0 \end{array} \right.$$

Тогда ($x \neq 0$):

$$f'(x) = 2\cos(x^2) - \frac {\sin (x^2)}{x^2}$$

$$f''(x) = -4x\sin(x^2) - \frac {2\cos (x^2)}{x} + \frac{2\sin (x^2)}{x^3}$$

Откуда (без интегралов) видим, что первая производная ограничена, а вторая - нет. Вопрос - каков был алгоритм нахождения этой функции? Ответ - "а что если?" или перебор, гадание.

mihailm в сообщении #1055368 писал(а):

А $\sqrt[3] x$ не подойдет?

Думаю что mihailm даёт (очередной) конструктивный намёк - мы (я) его ещё просто не прочитали(а).

P.S.
Думается что метод - будем откровенны - гадания на (научной) кофейной гуще - спровоцирован учителем проверить либо "функциональную" эрудицию учеников - глубину их запаса "правильных" заготовок либо их умение (быстро) конструировать и проверять обнадёживающие функции-кандидаты. Мой вывод - больше работать с разнообразными функциями и повышать свою функциональную грамотность (которая у меня, очевидно, хромает).

Следующий, полу-аналитический, метод на который я набрела благодаря mihailm подразумевает предыдущий как промежуточный этап, но нужно умение считать интегралы. Здесь у меня полный провал. Всё равно хотелось бы услышать маленький намёк от mihailm.

-- 21.09.2015, 20:32 --

Ой, прошу прощения - пока писала свой ответ появилось сообщение от GAA - надюсь мой ответ не будет выглядеть его копией.

[ewert]

GAA в сообщении #1055604 писал(а):

При первом чтении начального сообщения я почему-то модифицировал (возможно, как и ewert) условие на привычное: сама функция и её первая производная должны быть ограничены, а вот вторая производная должна быть конечной и неограниченной.

А иное прочтение и невозможно, ибо бессмысленно-тривиально. А так хоть какая-то, но задачка.

[mihailm]

GeometrIya в сообщении #1055605 писал(а):

...хотелось бы услышать маленький намёк от mihailm...

Просто корень кубический без синусов.

[GeometrIya]

$$f(x)=\sqrt[3]x, f'(x)=\frac {1}{3}x^{-\frac{2}{3}}, f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}}, \int \sqrt[3]x dx=\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$$

Сама функция неограничена. Степени последовательных производных убывают (они отрицательные) и для них при сколь угодно близком приближении аргумента к нулю справа или слева значение функции можно сделать сколь угодно малым или большим (в зависимости от знака функции). Наоборот, (если я правильно понимаю), степени при последовательном интегрировании будут расти и для сколь угодно больших (или малых) значений аргумента значение функций можно сделать сколь угодно большим. То есть нет ограничения. Значит - корень кубический не подходит.

[arseniiv]

Уже предлагали умножить его на гауссиану, чтобы «победить» неограниченность на бесконечности. Вообще, любая функция с достаточно тяжёлыми хвостами у графика сгодится — например, $1/(x^2+1)$. Такое уже интегрируется в элементарных.