В
сообщении исправлена опечатка в выражении для второй производной: слагаемое
должно входить со знаком «+».
Human, я тут приведу саморазоблачение. На первом курсе нам на лекции доказали, что функция
не имеет предела при
,
— при
, а функция
является непрерывной, но не имеет ни правой, ни левой производной в нуле. На занятии рассмотрели, что при увеличении показателя степени
на 1 получается дифференцируемая, но не непрерывно дифференцируемая функция (в нуле). И только потом нам было предложено рассмотреть, что будет происходить при различных значениях показателя степени
и построить пример дифференцируемой функции с неограниченной производной на отрезке. Тут легко было подобрать степень
перед синусом от
. А
в аргументе синуса — это для красоты. Такой пример приведен в книге Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе, 1967.
Я когда набирал сообщение, то специально заглянул в книгу и переписал пример 1 в 1 (а то начал в который раз набирать с синусом от единицы на x). В этой книге как раз в старом стиле оговаривается
конечность производной.
GeometrIya1. Для вычисления по определению второй производной в нуле
можно воспользоваться правилом Лопиталя, но можно и грубой асимптотикой для
:
. Для
достаточно совсем грубой асимптотики.
В данном случае вычислить вторую производную в нуле можно и другим способом:
При вычислении потребуются всё те же асимптотики. В данном случае этот способ не легче.
2. По поводу примера из Гельбаума. Вы сначала с ним разберитесь. А потом и модифицировать будет легко. И не смотрите на бесконечность. Это пример для отрезка. Имхо, построить функцию дифференцируемую, но с неограниченной производной на отрезке — хоть немного, но интересно, а уже с неограниченной второй производной — совсем скучно (идея та же, только технически чуть-чуть сложнее).
По поводу производных, вообще.
У Фихтенгольца (в трехтомнике) не формулируется явно, что производная должна рассматриваться в точке непрерывности функции, но и никаких примеров и утверждений для
предельного отношения предела разностного отношения в точке разрыва не приводится. Одна из геометрических интерпретацией производной — это тангенс угла наклона касательной. В точке разрыва касательной нет. Пример функции
тому хорошая иллюстрация.