2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Анализ: Неограниченная Вторая Производная
Сообщение22.09.2015, 09:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940

(Вроде бы решения уже можно выкладывать...)

$e^{-3x}\sin(e^{2x})$. На самом деле было уже.

UPD: Кстати, неправильно. Надо заменить $x$ на $x^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная Вторая Производная
Сообщение22.09.2015, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
GeometrIya в сообщении #1055728 писал(а):
$$f(x)=\sqrt[3]x, f'(x)=\frac {1}{3}x^{-\frac{2}{3}},..$$
...
А в нуле какая тут производная? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная Вторая Производная
Сообщение22.09.2015, 18:42 


06/01/15
21
В нуле производная обращается в бесконечность, то есть сама функция в этой точке не дифференциируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение23.09.2015, 16:43 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
GeometrIya, в своём сообщении Вы не указали значения первой и второй производной в нуле, но эти значения легко вычислить.

На мой взгляд, Ваш пример$$f(x) = \left\{
 \begin{array}{ll}
  \frac {\sin (x^2)}{x}, & \quad x \neq 0 \\
  0, & \quad x = 0
 \end{array}
\right.$$вполне хороший.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение23.09.2015, 22:43 


06/01/15
21
Поскольку в нуле мы определили эту функцию как ноль, то первая и последующие производные постоянной величины будут равны нулю.
Ещё я поработала с этой функцией и нашла что 1) можно продолжать конструировать ей подобные одновременно повышая степени независимой переменной:
$$\frac{\sin(x^3)}{x^2}, \frac {\sin(x^4)}{x^3}, ...$$
и 2) если повышать степени только $x$ в знаменателе то задача обобщается - показатель степени $n$ равен числу первых $n$ ограниченых производных, а $(n+1)$-aя не ограничена.

Понимаю что Вы даёте мне намёки, но что-то упускаю потому что наверное пробелы в теории (у Фихтенгольца, которого я читаю помимо школьной программы, не очень много на тему ограниченности или я невнимательно читала, и поскольку оценки за эту задачу всё равно не будет - хочется докопаться до предлагаемого намёком решения - для себя, для понимания). Например:
$$x^2 \sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)$$
Если взять
$$x \sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)$$
то хотя первая производная и ограничена - но так же ограничены и все последующие.. Не подходит.
Если взять
$$x^2 \sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)$$
уже рассматривали. Не подходит.
$$x^3 \sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)$$
первая производная тем более не ограничена. Не подходит.
Тоесть если повышать степени $x$ перед синусом то теряем необходимую неограниченность первой производной, а если их понижать то получается что все последующие производные ограничены и нет возможности создать переход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение23.09.2015, 23:39 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
GeometrIya в сообщении #1056109 писал(а):
Поскольку в нуле мы определили эту функцию как ноль, то первая и последующие производные постоянной величины будут равны нулю.
Нет. Нулю будет равна производная постоянной функции. Например, функции $y \equiv 0$ — функции, со значениями 0 для всех $x$. В случае $$f(x) = \left\{
 \begin{array}{ll}
  \frac {\sin (x^2)}{x}, & \quad x \neq 0 \\
  0, & \quad x = 0
 \end{array}
\right.$$ функция положена равной нулю только в одной точке $x=0$; от этого она не превратится в постоянную функцию. В качестве банального примера можно рассмотреть функцию «знак»:
$$\operatorname{sgn} x = \left\{
\begin{array}{lll}
  -1, & \quad x < 0; \\
  0,  & \quad x = 0; \\
 +1, & \quad x > 0.
 \end{array}$$Легко вычислить производную по определению и получить
$$\operatorname{sgn}' x = \left\{
\begin{array}{lll}
  0, & \quad x < 0; \\
  +\infty, & \quad x = 0; \\
  0, & \quad x > 0.
 \end{array}$$Проверьте, пожалуйста. На остальное я отвечу после вычисления производных Вашей функции в нуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение24.09.2015, 08:06 


06/01/15
21
Поняла, погорячилась.
1) Для существования производной должен существовать предел отношения разности значений функции к величине малого интервала. Для существования этого предела должны существовать и быть равными по величине оба односторонних предела. Для $x>0$ имеем:
$$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta, 0<\delta <x : \frac { sgn(x+\delta) - sgn(x)}{\delta} = 0$$
для $x<0$ то же самое.
Соотвественно, производная везде равна $0$ за исключением $x=0$ - здесь функция не непрерывна, у неё здесь мгновенное изменение, скачок в $2$ еденицы.
2) Для моей функции, по определению первой производной имеем:
$$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac {f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac {\frac {\sin(x^2)}{x}}{x} = \lim_{x \to 0}\frac {\sin(x^2)}{x^2} = \lim_{t \to 0}\frac{\sin(t)}{t} = 1$$
3) По определению второй производной имеем:
$$f''(0)=\lim_{x \to 0} \frac {f(0+2x) - 2f(x) + f(0)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac {\sin(4x^2)}{2x^3}-\lim_{x \to 0}\frac{2\sin(x^2)}{x^3} = 2\lim_{x \to 0} \frac {\sin(4x^2)}{4x^3} - 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x^2)}{x^3}=$$
$$=2\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\times \frac {\sin(4x^2)}{4x^2} - 2\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\times \frac {\sin(x^2)}{x^2}$$
Получается что так как ни один из пределов не существует, то и не существует $f''(0)$: видим что при $x \to 0^+ \quad f''(0) \to -\infty$, а при $x \to 0^- \quad f''(0) \to +\infty$, тоесть в нуле вторая производная имеет разрыв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение24.09.2015, 08:42 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
GeometrIya в сообщении #1056182 писал(а):
$$f''(0)=\lim_{x \to 0} \frac {f(0+2x) - 2f(x) + f(0)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac {\sin(4x^2)}{2x^3}-\lim_{x \to 0}\frac{2\sin(x^2)}{x^3} = 2\lim_{x \to 0} \frac {\sin(4x^2)}{4x^3} - 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x^2)}{x^3}=$$
$$=2\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\times \frac {\sin(4x^2)}{4x^2} - 2\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\times \frac {\sin(x^2)}{x^2}$$
Получается что так как ни один из пределов не существует, то и не существует $f''(0)$.
А она существует. Просто нельзя было разбивать на разность пределов, а вместо этого можно исходную дробь по Лопиталю

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение24.09.2015, 09:13 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
1. Я немного по-другому оформлю вычисление производной.
Правая производная в нуле:$$ {\operatorname{sgn}_+'(0) = \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac {\operatorname{sgn}(0+\Delta x) - \operatorname{sgn} 0}{\Delta x } = \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac {1-0}{\Delta x } = +\infty.$${$1/\Delta x $ — это положительная постоянная, делённая на положительную бесконечно малую функцию (в нуле) — положительная бесконечно большая (в нуле).}
Аналогично, левая производная в нуле:$$ {\operatorname{sgn}_-'(0) = \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac {\operatorname{sgn}(0+\Delta x) - \operatorname{sgn} 0}{\Delta x } = \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac {-1-0}{\Delta x } = +\infty.$${$-1/\Delta x $ — это отрицательная постоянная, делённая на отрицательную бесконечно малую функцию (в нуле) — положительная бесконечно большая (в нуле).}
Левая и правая производные равны. Следовательно, в нуле существует производная функции $\operatorname{sgn}x$.

Если $x \ne 0$, то рассматривать левую и правую производные нет необходимости, но записи Ваши как-то не очень понятны. (В частности, пропущен $\lim$, но не эта опечатка главное, напишите в ЛС надо ли мне поправить.)


2. У меня такой же ход вычисления первой производной и такой же результат. [В данном случае вместо $\Delta x$ можно писать $x$, но в школе и в начале первого семестра я бы это не делал. Думаю, Вы так написали в связи с трудоёмкостью набора в $\TeX$.]

О второй производной в нуле. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов, если существует предел каждого из слагаемых.
И еще (хоть в данном случае это и не важно). Вторая производная функции — это первая производная от первой производной. [$n$-ая производная функции — это первая производная от $n-1$-ой производной.]

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение24.09.2015, 10:09 
Аватара пользователя


20/03/12
139

(Оффтоп)

Ссылка
Просто ради Великой Справедливости.


-- 24.09.2015, 10:14 --

GeometrIya в сообщении #1056109 писал(а):
если повышать степени только $x$ в знаменателе то задача обобщается - показатель степени $n$ равен числу первых $n$ ограниченых производных, а $(n+1)$-aя не ограничена.


Это не совсем верно, поскольку при увеличении степени только лишь в знаменателе возникает проблема в нуле. Её, однако, легко решить, если из синуса в числителе вычитать соответствующие многочлены Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение24.09.2015, 21:26 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
В сообщении исправлена опечатка в выражении для второй производной: слагаемое $2\sin(x^2)/x^3$ должно входить со знаком «+».

Human, я тут приведу саморазоблачение. На первом курсе нам на лекции доказали, что функция $\sin x$ не имеет предела при $x \to +\infty$, $\sin(1/x)$ — при $x \to +0$, а функция
$$f(x) = \left\{
 \begin{array}{ll}
  x \sin (1/x), & \quad x \neq 0 \\
  0, & \quad x = 0
 \end{array}
\right.$$является непрерывной, но не имеет ни правой, ни левой производной в нуле. На занятии рассмотрели, что при увеличении показателя степени $x$ на 1 получается дифференцируемая, но не непрерывно дифференцируемая функция (в нуле). И только потом нам было предложено рассмотреть, что будет происходить при различных значениях показателя степени $x$ и построить пример дифференцируемой функции с неограниченной производной на отрезке. Тут легко было подобрать степень $x$ перед синусом от $1/x$. А $1/x^2$ в аргументе синуса — это для красоты. Такой пример приведен в книге Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе, 1967.
Я когда набирал сообщение, то специально заглянул в книгу и переписал пример 1 в 1 (а то начал в который раз набирать с синусом от единицы на x). В этой книге как раз в старом стиле оговаривается конечность производной.

GeometrIya
1. Для вычисления по определению второй производной в нуле$$ f''(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x) - f'(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x^2 - \frac{\sin x^2}{x^2}-1}{ x^2}$$можно воспользоваться правилом Лопиталя, но можно и грубой асимптотикой для $\sin \alpha$: $\sin \alpha = \alpha + o(\alpha^2)$. Для $\cos$ достаточно совсем грубой асимптотики.

В данном случае вычислить вторую производную в нуле можно и другим способом:
$$f''(0) = \lim_{x \to 0} f''(x) .$$ При вычислении потребуются всё те же асимптотики. В данном случае этот способ не легче.

2. По поводу примера из Гельбаума. Вы сначала с ним разберитесь. А потом и модифицировать будет легко. И не смотрите на бесконечность. Это пример для отрезка. Имхо, построить функцию дифференцируемую, но с неограниченной производной на отрезке — хоть немного, но интересно, а уже с неограниченной второй производной — совсем скучно (идея та же, только технически чуть-чуть сложнее).

По поводу производных, вообще.

У Фихтенгольца (в трехтомнике) не формулируется явно, что производная должна рассматриваться в точке непрерывности функции, но и никаких примеров и утверждений для предельного отношения предела разностного отношения в точке разрыва не приводится. Одна из геометрических интерпретацией производной — это тангенс угла наклона касательной. В точке разрыва касательной нет. Пример функции $\operatorname{sgn}$ тому хорошая иллюстрация.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение24.09.2015, 21:57 


06/01/15
21
GAA в [url=/post1056192.html#p1056192]сообщении #1056192[/url] писал(а):
1.записи Ваши как-то не очень понятны. (В частности, пропущен $\lim$, но не эта опечатка главное, напишите в ЛС надо ли мне поправить.)

Прошу прощения, не разобралась как набирать дельта икс и взяла эпсилон и дельту из Фихтенгольца, значок предела забыла, вобщем плохо получилось, хотя в тетради я пишу дельта икс.

GAA в [url=/post1056192.html#p1056192]сообщении #1056192[/url] писал(а):
1.[В данном случае вместо $\Delta x$ можно писать $x$, но в школе и в начале первого семестра я бы это не делал. Думаю, Вы так написали в связи с трудоёмкостью набора в $\TeX$.]

Теперь нашла - надо мышку над значком поставить и появится кодировка, очень удобно.

GAA в [url=/post1056192.html#p1056192]сообщении #1056192[/url] писал(а):
1.О второй производной в нуле. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов, если существует предел каждого из слагаемых.
И еще (хоть в данном случае это и не важно). Вторая производная функции — это первая производная от первой производной. [$n$-ая производная функции — это первая производная от $n-1$-ой производной.]

Да, спасибо. Это правило я знаю - когда попробовал считать по нему то какой-то сложный предел получается. Поэтому пошла через саму функцю.

iancaple в [url=/post1056188.html#p1056188]сообщении #1056188[/url] писал(а):
А она существует. Просто нельзя было разбивать на разность пределов, а вместо этого можно исходную дробь по Лопиталю

Вы абсолютно правы, я недосмотрела. Прочитала правило Лопиталя - получилось! Думаю так правильно будет - дифференциируем два раза :
$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac {\sin(4\Delta x^2) - 4\sin(\Delta x^2)}{2\Delta x^3}=$$
$$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac {8\Delta x \cos(4\Delta x^2) - 8\Delta x \cos (\Delta x^2)}{6\Delta x^2}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {4\cos (4\Delta x^2)-4\cos(\Delta x^2)}{3\Delta x}=$$
$$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac {-32\Delta x \sin (4\Delta x^2)+8\Delta x \sin(\Delta x^2)}{3}=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение25.09.2015, 17:25 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
GeometrIya в сообщении #1056182 писал(а):
3) По определению второй производной имеем:
$$f''(0)=\lim_{x \to 0} \frac {f(0+2x) - 2f(x) + f(0)}{x^2} $$ \ldots
GAA в сообщении #1056192 писал(а):
Вторая производная функции — это первая производная от первой производной.
GeometrIya в сообщении #1056374 писал(а):
Да, спасибо. Это правило я знаю - когда попробовал считать по нему то какой-то сложный предел получается.
Это не правило — это «нестрогое определение». Определение см. в п. 115 (с. 231 в издании 1969 г.) первого тома.

В n. 122 конечные разности (с. 245 в издании 1969 г.) книги Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т1:
Цитата:
Подчеркнём, что она [формула (9). — GAA] имеет место лишь в предположении, что существует производная $f^{(n)}(x_0)$. Предел справа может существовать и тогда, когда этой производной нет [Так что формула (9) отнюдь не даёт нового определения самого понятия $n$-й производной, равносильного старому! — Прим. Фихтенгольца]. Рассмотрим, например, функцию, определённую так: $$f(x) = x^3\sin \frac 1 x \quad (x \ne 0), \quad f(0) = 0,$$взяв $x_0 = 0$. Для неё существует первая производная
$$f'(x) = 3x^2 \sin \frac 1 x - x\cos \frac 1 x \quad (x \ne 0), \quad f'(0) = 0,$$но нет в точке 0 второй производной, ибо отношение$$\frac {f'(0+\Delta x) - f'(0)}{\Delta x} = \frac {3\Delta x^2\sin\frac 1 {\Delta x} - \Delta x \cos\frac 1 {\Delta x} } {\Delta x } =3 \Delta x \sin\frac 1 {\Delta x} - \cos\frac 1 {\Delta x}$$при $\Delta x \to 0$ предела не имеет. В то же время выражение $$\frac {\Delta^2 f(0)}{ \Delta x^2} = \frac {f(0 + 2\Delta x) - 2f(0 + \Delta x) + f(0)} {\Delta x^2} = \ldots$$ $$= 8\Delta x \sin \frac 1 {2\Delta x } - 2\Delta x\sin \frac 1 {\Delta x } \to 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение26.09.2015, 05:43 


06/01/15
21
Понятно. Вместо "по определению" надо было сказать "по методу конечных разностей".

А по Лопиталю я правильно $f''(0)$ посчитала?

Как Вы говорили через асимптотики: для $\cos(x)$ первых два члена ряда Тейлорав в окрестности нуля $a=0$ это $\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}$ и поскольку $\Delta x \to 0$ то и подавно квадрат этой величины будет ещё меньше то есть можно в пределе $\cos(\Delta x^2)$ заменить на еденицу:
$$f''(0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2-\frac{\Delta x^2+o(\Delta x^4)}{\Delta x^2}-1 }{\Delta x^2}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1-1-\frac{o(\Delta x^4)}{\Delta x^2}}{\Delta x^2}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{-o(\Delta x^4)}{\Delta x^4}=0$$
поскольку $o(\Delta x^4)$ стремится к нулю быстрее чем $\Delta x^4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: Неограниченная вторая производная
Сообщение26.09.2015, 08:57 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
1. Нашли предел по правилу Лопиталя правильно, но поскольку предварительно не было доказано существование второй производной в нуле, то использование «конечных разностей» — незаконно. Пример из книги Фихтенгольца должен был это пояснить.

2. При разложении косинуса мы не учитываем $\Delta x^4/2$ не потому что «и подавно квадрат этой величины будет ещё меньше», а сравнивая с показателем степени в знаменателе. Если записи делать занудно аккуратно, то следовало бы записать $\cos \Delta x^2 = 1 + o(\Delta x^3)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group