Анализ: Неограниченная вторая производная

[GeometrIya]

Анализ: Неограниченная Вторая Производная

Условие: сама функция и её первая производная должны быть ограничены, а вот вторая производная должна быть НЕограничена. Возможно ли такое?

Перепробовала кучу функций:

$$\sin x^2, \frac {1}{1+x^2}, 2^{\sin x}, \ln (1+x^2), \sin (x\times \sin x)$$

но везде либо функция не ограничена, либо все производные ограничены. Помогите разобраться - если это возможно то какой аналитический подход к поиску решения?

Заранее спасибо.

[iifat]

Ну, первообразная — грубо говоря, площадь под кривой. Со знаком, естественно, и прочие подробности. Площадь, грубо говоря (но не опускаясь до площадной брани) — произведение высоты на ширину. То бишь, неограниченно растущей высоте должна сопутствовать неограниченно же убывающая ширина. Аналитического выражения в задании не требуется, значит, если б речь шла о первой производной, можно было б представить себе ряд растущих по высоте и убывающих по ширине столбиков с конечной суммарной площадью под ними.
Поскольку речь идёт о второй производной, всё несколько сложнее. Надо как-то поварьировать.

[GeometrIya]

Если дословно то условие такое: сконструируйте/составьте/придумайте функцию такую что

$$|f(x)| < C_1, |f'(x)| < C_2$$

а $f''(x)$ ограничить постоянной - нельзя.

Здесь конечно же $C_1, C_2$ есть некие постоянные которые в итоге тоже надо было бы определить, но я думаю что они получатся из решения.

[iancaple]

iifat в сообщении #1055099 писал(а):

Аналитического выражения в задании не требуется

Но и не запрещается:

$$\frac 1{1+|x|^{\frac 32}}$$

Если надо, чтоб вторая производная еще и существовала в каждой точке прямой, но была неограничена на бесконечности, то вот еще:

$$\frac {\sin x^3}{1+x^2}$$

[Vince Diesel]

А на каком множестве это должно быть

GeometrIya в сообщении #1055097 писал(а):

Условие: сама функция и её первая производная должны быть ограничены, а вот вторая производная должна быть НЕограничена.

На каком множестве? Отрезок там, или, может, прямая?

[mihailm]

GeometrIya, знаете ограниченную функцию с неограниченной производной?

[arseniiv]

(Или не смотреть: уже есть два примера от iancaple и направление от mihailm (я параллельно поступил так же, и на первом же примере повезло, но только доказывать ограниченность моей первообразной может быть не очень удобно, так что пример не скажу).)

[ewert]

iancaple в сообщении #1055105 писал(а):

Но и не запрещается:

$$\frac 1{1+|x|^{\frac 32}}$$

Это вряд ли сойдёт: вторая производная в нуле не существует (запрашивалась ведь неограниченная, а не бесконечная производная).

Есть же стандартный пример функции дифференцируемой, но не ограниченно дифференцируемой -- это $|x|^{\frac32}\sin\frac1x$. Ну так ясно же, что надо просто увеличить степень, и остаётся лишь угадать, на сколько увеличить, а это уже легко.

[GeometrIya]

Vince Diesel в [url=/post1055113.html#p1055113]сообщении #1055113[/url] писал(а):

На каком множестве? Отрезок там, или, может, прямая?

Прошу прощения, но конкретная область не указана. Я думаю что подразумевается вся прямая вещественных чисел.

mihailm в [url=/post1055134.html#p1055134]сообщении #1055134[/url] писал(а):

GeometrIya, знаете ограниченную функцию с неограниченной производной?

Да. Ограниченная функция с неограниченной первой производной: $f(x) = \sin (x^2), |f(x)| \leqslant 1, f'(x) = 2x\cos(x^2)$.

Сама функция несколько растянута на участке где-то $[-2, 2]$, а потом - по мере удаленя от точки $O$ начинает колебаться всё чаще и чаще. То есть малым изменениям независимой переменной соответствуют очень большие изменения значений функции - скорость изменений меняется без ограничения. Или - касательная к графику функции поворачивается очень очень быстро. Я так себе это представляю.

[ewert]

GeometrIya, контрольный вопрос: Вы что, и впрямь не слыхали про функцию типа икс в степени умножить на синус от одной иксовой?...

Если да, то не верю, что вам могли подкинуть подобную задачку. Я -- Станиславский.

GeometrIya в сообщении #1055308 писал(а):

$|f(x)| <= 1,$.

Впредь лучше не паскалируйте: "<=" в LaTeX'е стандартно кодируется как \leqslant. Ну или на худой конец как просто \le, но это уж -- на совсем худой, т.е. на совсем уж отвязно-забугорный.

[GeometrIya]

Да, хорошо. Прошу прощения - меньше или равно исправила.

Про такую функцию я слышала, но это была Ваша идея. Я ответила на вопрос так как сама пыталась решить эту задачу сначала. Я так понимаю что автор вопроса куда-то ведёт - что следующее?

Над Вашим предложением тоже сейчас думать буду. Спасибо.

[Brukvalub]

GeometrIya в сообщении #1055308 писал(а):

Ограниченная функция с неограниченной первой производной: $f(x) = \sin (x^2), |f(x)| \leqslant 1, f'(x) = 2x\cos(x^2)$.

А написать интеграл с переменным верхним пределом от этой функции не пробовали?

[ewert]

(Оффтоп)

GeometrIya в сообщении #1055316 писал(а):

Я ответила на вопрос так как сама пыталась решить эту задачу сначала. Я так понимаю что автор вопроса

а я вот не могу понять, чем "автор вопроса" отличается от "я сама"

[provincialka]

А на интервале нельзя решать? Потому что интеграл от $\arcsin x$ на $(-1; 1)$ вроде подходит.
Или от $\sqrt{1-x^2}$ там же.

[GeometrIya]

Мы интегралы ещё официально не проходили - только пределы и производные. Если эту задачу нельзя решить без интегралов то наверное учитель просто хотел посмотреть кто чего знает.