Объяснение через последовательное применение пределов более интуитивно понятно (хотя не совсем ясно что такое "пути на плоскости
"). У Фихтенгольца этого нет.
Мне на это уже попеняли. Ну, если неформально, то идея такая. Понятие предела расширяется до функций нескольких переменных. Таким образом, это будет какой-то предел в пространстве: в двумерном (на плоскости), в трёхмерном, в
-мерном. Если у нас есть плоскость
и числовая функция на этой плоскости
заданная, например, везде кроме какой-то точки
то можно обсудить предел при стремлении аргументов этой функции (то есть, точки на плоскости) к этой точке. Записывается это так:
По сравнению с пределом на числовой прямой, возникает новое требование. Такой предел можно представить себе так, что мы подбираемся к точке
по какой-то линии, не обязательно по прямой, например,
и тогда это будет обычным пределом
НО надо, чтобы такие обычные пределы были бы одинаковыми, какие бы линии на плоскости мы бы ни брали. Если пределы по разным линиям существуют, но между собой не совпадают, то тогда говорят, что предела в точке не существует. Пример:
И наконец, что такое в такой ситуации
Это мы должны читать "изнутри наружу" так: сначала у нас задана какая-то функция на плоскости
Но задана она может быть не везде, но теперь - у нас может быть выколота не только точка
а целая прямая
А может быть, и не выколота, а там могут быть какие-нибудь "экзотические" значения - не важно. Сначала мы стремимся к этой прямой, перпендикулярно к ней (потому что "внутри" внешнего предела у нас задано какое-то значение
), и затираем то, что было на прямой
какими-то другими значениями - взятыми по пределу. И у нас получается уже какая-то другая функция, может быть, отличающаяся от первоначальной. А дальше, мы смотрим на "внешний" предел, и по вот этой другой функции - мы уже движемся вдоль прямой
к точке
Вот такое сложное приключение.