Интерпретация на фоне Петрова

[VladTK]

KVV в сообщении #1047698 писал(а):

А почему нет? "Нулевое гравитационное поле" разве не подходит?

Не знаю. Я считал что подходит до тех пор пока не узнал что уравнение $R_{ik}=0$ имеет несингулярные решения, отличающиеся от Минковского.

KVV в сообщении #1047698 писал(а):

Я не думаю, что есть запрет использования термина "гравитационное поле кротовой норы". А топология у него не совсем тривиальна. Да даже расширенное пространство-время Шварцшильда уже нетривиально, но вроде никто не запрещает пользоваться по отношению к нему термином "гравитационное поле".

Термины иногда не соответствуют тому смыслу, который в них вкладывается.

Я написал про топологию, подразумевая что ОТО ее не определяет. А как без знания топологии определить пространство-время? Например, пространство-время Шварцшильда определяется не только как сингулярное решение уравнения $R_{ik}=0$, но и своей Минковской асимптотикой. Выбери мы, скажем, асимптотику Тауба и получим совсем другое пространство-время. ОТО определяет только метрические свойства пространства-времени. Кстати, ярким примером недоопределенности пространства-времени в ОТО является ее космология. Если бы ОТО полностью определяла пространство-время, то не было бы никаких космологических моделей кроме одной единственной, соответствующей нашей Вселенной. А так целый набор...

Я конечно понимаю, что недоопределенность пространства-времени в ОТО не является опровержением утверждения "пространство-время является физическим объектом". Но свою долю это вносит.

KVV в сообщении #1047698 писал(а):

Ну, насколько я понимаю, тетрады - это уже обобщение и усложнение ОТО. Со всеми вытекающими. Как и спиноры Пенроуза. Я не исключаю, что в будущем эти теории или какая-то из них окажутся более близкими к реальности, чем ОТО. Но пока предпочтение перед ОТО они не демонстрируют.

В каком смысле обобщение? Вот есть электрон-позитронное поле Дирака в пространстве-времени. Как оно там существует, каковы метрические свойства пространства-времени? ОТО на такие вопросы должна отвечать без всяких обобщений. И отвечает.

KVV в сообщении #1047698 писал(а):

Так ведь ни одна альтернатива окончательного убедительного результата не предоставляет. О каком "вне" вы говорите?

Я имел ввиду не альтернативу, а негравитационную физику.

Munin в сообщении #1047708 писал(а):

VladTK в сообщении #1047686 писал(а):

Я все понимаю. Кручение - это тоже свойство пространства-времени

И?

И кривизны мало чтобы полностью описать пространство-время.

epros в сообщении #1047733 писал(а):

VladTK в сообщении #1047686 писал(а):

Нет необходимых групп симметрии пространства-времени - нет соответствующих законов сохранения.

Почему Вы отсутствие изометрий называете "отсутствием симметрий"?

Я не говорил об отсутствии симметрий вообще. Я написал об отсутствии необходимых симметрий пространства-времени как этого требует теорема Нетер.

epros в сообщении #1047733 писал(а):

Конечно философия, игра словами. Рост вполне можно рассматривать как объект. Точно так же, как вместо свойства числа "чётность" можно рассматривать самостоятельный объект "чётное число".

Да уж... В игре словами Вас мне не переиграть.

epros в сообщении #1047733 писал(а):

VladTK в сообщении #1047686 писал(а):

Во-первых, таких, "непонимающих" голов в истории физики набирается уже довольно много, да и компания получается вполне приличная.

Не имеет значения.

Кому как.

epros в сообщении #1047733 писал(а):

Принцип эквивалентности ничего подобного не говорит. Он только повторяет известную вещь -- что понятие энергии зависит от системы отсчёта, но только в более широком смысле: в частности, в том смысле, что понятие "потенциальной энергии камня" зависит от того, считается ли оно относительно Земли или относительно свободно падающего лифта.

Угу, в настолько широком смысле, что смысл вообще исчезает.

epros в сообщении #1047733 писал(а):

Никаких "других причин" не существует. Невозможность вечного двигателя первого рода равносильна закону сохранения энергии, вот и всё. Если Вы отвергаете сохранение энергии, значит обещаете создать вечный двигатель.

Не-а. Как частный случай, те же уравнения геодезических как система дифференциальных уравнений имеют собственные первые интегралы, не имеющие в общем случае отношения к понятиям типа "энергия", "импульс" и т.д (хотя и сводятся к ним когда такие понятия можно ввести). Вот эти интегралы и запрещают существование вечного двигателя.

[VladTK]

SergeyGubanov в сообщении #1047745 писал(а):

Попробую поменять обозначения .

Задача. В пространстве событий

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - a^2(t) \left( dx^2 + dy^2 + dz^2 \right) \eqno(1) $$

свободно падает частица массы $m$ с четырёхимпульсом:

$$ P_{\mu} = \left\{ m c \, \sqrt{1 + \frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{m^2 c^2 \, a^2(t)} }, \; p_x, \; p_y, \; p_z \right\}, \quad p_x = \operatorname{const}, p_y = \operatorname{const}, p_z = \operatorname{const}, \eqno(2) $$

$$ g^{\mu \nu} P_{\mu} P_{\nu} = m^2 c^2, \quad P^{\nu} \nabla_{\nu} P^{\mu} = 0. \eqno(2')$$

Надо найти её энергию относительно глобальной инерциальной системы отсчёта времениподобный орт которой равен

$$ \tau_{\mu} = \left\{ \sqrt{1 + \frac{\tau_x^2 + \tau_y^2 + \tau_z^2}{a^2(t)} }, \; \tau_x, \; \tau_y, \; \tau_z \right\}, \quad \tau_x = \operatorname{const}, \tau_y = \operatorname{const}, \tau_z = \operatorname{const}, \eqno(3) $$

$$ g^{\mu \nu} \tau_{\mu} \tau_{\nu} = 1, \quad \tau^{\nu} \nabla_{\nu} \tau^{\mu} = 0. \eqno(3')$$

...

С условием я согласен. Единственно, что мне не ясно: зачем Вы пишете $P^{\nu} \nabla_{\nu} P^{\mu} = 0$ и $\tau^{\nu} \nabla_{\nu} \tau^{\mu} = 0$ ? Насколько я понимаю, это тривиальное следствие постоянства длин 4-векторов.

SergeyGubanov в сообщении #1047745 писал(а):

Ответ. Искомая энергия $E$ равна

$$ \frac{1}{c} E = g^{\mu \nu} \tau_{\mu} P_{\nu} = \left( m c \, \sqrt{1 + \frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{m^2 c^2 \, a^2(t)} } \sqrt{1 + \frac{\tau_x^2 + \tau_y^2 + \tau_z^2}{a^2(t)} } - \frac{p_x \tau_x + p_y \tau_y + p_z \tau_z}{a^2(t)} \right). \eqno(4) $$

...

Во-первых, Ваше определение энергии странно. Все-таки энергия считается временной компонентой 4-вектора энергии-импульса, а Ваше определение дает вроде скаляр. Ну и во-вторых, "за что боролись"? Ваша энергия также зависит зависит от времени как и стандартном подходе. За счет чего она меняется?

SergeyGubanov в сообщении #1047745 писал(а):

...
Замечание 1. Под инерциальной системой отсчёта понимается такая, четырёхускорение которой $w^{\mu} = \tau^{\nu} \nabla_{\nu} \tau^{\mu}$ равно нулю.

Под 4-ускорением СО понимается 4-ускорение тела отсчета? А $\tau^{\mu}$ является 4-скоростью тела отсчета? Если да, то Ваше $\tau^{\nu} \nabla_{\nu} \tau^{\mu}=0$, как я уже писал выше, является тривиальным следствием постоянства длины 4-скорости и выражает просто тот факт, что 4-ускорение всегда ортогонально 4-скорости. Но само 4-ускорение имеет другой вид.

SergeyGubanov в сообщении #1047745 писал(а):

Замечание 2. Под глобальной системой отсчёта понимается такая, в которой времениподобное поле $\tau_{\mu}$ определено во всём пространстве событий.

На всякий случай напомню. В искривленном пространстве-времени не существует глобального векторного поля, имеющего нулевой ковариантный градиент
$D_{\nu} a_{\mu}=0$.
Это тривиальное следствие коммутатора ковариантных производных данного векторного поля
$D_{\alpha} D_{\beta} a_{\mu}-D_{\beta} D_{\alpha} a_{\mu}=R^{\nu}_{\mu \alpha \beta} a_{\nu}$

[schekn]

Цитата:

epros в сообщении #1047733 писал(а):

VladTK в сообщении #1047686

писал(а):
Во-первых, такой вопрос: пространство-время Минковского тоже является по Вашему "гравитационным полем"?

Какой странный вопрос. Конечно же является. Нулевым гравитационным полем.

А что значит "нулевым гравитационным полем"? Если имеется в виду , что у Минковского тензор Римана Кристоффеля тождественный ноль, то
этот тензор кривизны каким-то образом должен входить в формулу энергии гравитационного поля. Ваше определение потенциальной энергии
имеет частный случай, то есть Вы подстроились под конкретную задачу.

[SergeyGubanov]

VladTK, Вы меня удивили...

Про четырёхускорение.
Четырёхускорение тела движущегося по мировой линии $x^{\mu}(s)$:

$$ w^{\mu}(s) = \frac{d^2 x^{\mu}}{ds^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{dx^{\alpha}}{ds} \frac{dx^{\beta}}{ds}. \eqno(1) $$

Мировую линию $x^{\mu}(s)$ можно задать как решение уравнения

$$ \frac{dx^{\mu}}{ds} = \tau^{\mu} ( x(s) ). \eqno(2) $$

На поле $\tau^{\mu}(x)$ налагается лишь одно условие

$$ g_{\mu \nu} \tau^{\mu} \tau^{\nu} = 1. \eqno(3) $$

Векторное поле $\tau^{\mu}(x)$ с помощью уравнения (2) задаёт конгруэнцию мировых линий $x^{\mu}(s)$. Каждой из этих линий по формуле (1) соответствует своё четырёхускорение $w^{\mu}(s)$, которое тоже можно "расширить" до векторного поля $w^{\mu}(x)$. Учитывая (1) и (2) для поля $w^{\mu}(x)$ получаем:

$$ w^{\mu} = \tau^{\nu} \frac{\partial \tau^{\mu}}{\partial x^{\nu}} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \tau^{\alpha} \tau^{\beta} = \tau^{\nu} \nabla_{\nu} \tau^{\mu}. \eqno(4) $$

Про энергию как нулевую компоненту.
Пусть есть частица с четырёхимпульсом $P_{\mu}$. Найти проекции импульса относительно системы отсчёта $e^{\mu}_{(a)}$.

Ответ:

$$P_{(a)} = e^{\mu}_{(a)} P_{\mu} \eqno(5)$$

Традиционно нулевой вектор тетрады обозначаем $\tau^{\mu} = e^{\mu}_{(0)}$, в этих обозначениях

$$ \frac{1}{c} E = P_{(0)} = \tau^{\mu} P_{\mu} = g^{\mu \nu} \tau_{\mu} P_{\nu}. \eqno(6) $$

Да, разумеется, выражение (6) является скаляром по отношению к преобразованиям координат $x^{\mu} \to x'^{\mu}(x)$. Но в то же время выражение (6) является нулевой компонентой вектора из тетрадного векторного пространства, то есть преобразуется при локальных Лоренцевых преобразованиях:

$$ e'^{\mu}_{(a)}(x) = e^{\mu}_{(b)}(x) \, {\Lambda^{(b)}}_{(a)}(x). \eqno(7) $$

[epros]

VladTK в сообщении #1047955 писал(а):

И кривизны мало чтобы полностью описать пространство-время.

Может быть и так, но ОТО описывает только то, что по определению названо "гравитацией". Остальное выводится в правую часть уравнения и требует для своего описания отдельных уравнений динамики. Не надо требовать от теории того, чтобы она была теорией всего и сразу.

VladTK в сообщении #1047955 писал(а):

Я написал об отсутствии необходимых симметрий пространства-времени как этого требует теорема Нетер.

А почему Вы пишете об отсутствии "необходимых" симметрий, если известно только про отсутствие (в общем случае) изометрий? Откуда Вы взяли, что "необходимое" -- это изометрии?

VladTK в сообщении #1047955 писал(а):

Да уж... В игре словами Вас мне не переиграть.

Это как раз не игра словами, а математическая логика, ибо свойство "чётности" записывается той же формулой, что и определение объекта "чётное число". Поэтому игра словами -- это Ваши разговоры про несуществующие различия.

VladTK в сообщении #1047955 писал(а):

те же уравнения геодезических как система дифференциальных уравнений имеют собственные первые интегралы, не имеющие в общем случае отношения к понятиям типа "энергия", "импульс" и т.д (хотя и сводятся к ним когда такие понятия можно ввести). Вот эти интегралы и запрещают существование вечного двигателя.

Видите ли, те условия, которые запрещают существование вечного двигателя, по определению и являются законами сохранения.

-- Ср авг 26, 2015 13:54:06 --

Хотя уточнение manul91, конечно же, правильное.

[epros]

schekn в сообщении #1047983 писал(а):

Если имеется в виду , что у Минковского тензор Римана Кристоффеля тождественный ноль, то
этот тензор кривизны каким-то образом должен входить в формулу энергии гравитационного поля.

Вообще-то не обязательно иметь в виду именно это. Следуя модели лифта Эйнштейна, можно считать за ненулевое поле в том числе и неинерцальные системы отсчёта. Но в том смысле, что всюду инерциальные системы отсчёта получаются только в пространстве Минковского, этот случай и можно считать за случай нулевого поля.

-- Ср авг 26, 2015 16:36:04 --

(SergeyGubanov)

Ваш последний пост на удивление разумен. Если бы не риск наткнуться на альтернативную математику при каком-нибудь определении "неголономных гиперповерхностей", я бы даже может быть начал Вас читать.

[Утундрий]

epros
Повертел эту мысль насчёт

$$\mathscr{E} = - \frac{1}{{4\pi }}\oint {\bar f^i dS_i } $$

(обозначения из моей старой темы). Действительно, для Шварцшильда получается зависящее только от системы тел отсчёта значение $\mathscr{E} = m$. Но если вышеупомянутого Шварцшильда оснастить полем $F^{01} = {q \mathord{\left/ {\vphantom {q {r^2 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {r^2 }}$, то получится занятное выражение $\mathscr{E} = m - {{q^2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{q^2 } r}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} r}$ (для интеграла по сфере "радиуса" $r$), над величием коего неустанно в изумлении размышляю я.

[KVV]

VladTK в сообщении #1047955 писал(а):

Не знаю. Я считал что подходит до тех пор пока не узнал что уравнение $R_{ik}=0$ имеет несингулярные решения, отличающиеся от Минковского.

И почему это заставило вас передумать? Я че-то не пойму сути аргумента.

VladTK в сообщении #1047955 писал(а):

Я написал про топологию, подразумевая что ОТО ее не определяет.

Это да. Только, как аргумент против использования термина "гравитационное поле" относительно пространства-времени с нетривиальной топологией, это не катит.

VladTK в сообщении #1047955 писал(а):

Если бы ОТО полностью определяла пространство-время, то не было бы никаких космологических моделей кроме одной единственной, соответствующей нашей Вселенной. А так целый набор...

ОТО, действительно, вносит некий произвол в определении топологии. Печально, конечно, но когда я вижу попытки этот вопрос решить, просто через постулат фиксируя ту или иную топологию руками и отбрасывая другие возможные потому, что там отличная "плохая" топология, это выглядит притащенным за уши. Лучше уж мириться с произволом до лучших времен.

VladTK в сообщении #1047955 писал(а):

В каком смысле обобщение?

Насколько я понимаю, тетрадное представление и представление с помощью метрического тензора в общем неэквивалентны. Хотя не настаиваю, не уверен.

VladTK в сообщении #1047955 писал(а):

Вот есть электрон-позитронное поле Дирака в пространстве-времени. Как оно там существует, каковы метрические свойства пространства-времени? ОТО на такие вопросы должна отвечать без всяких обобщений. И отвечает.

А какая разница? В этом примере пространство-время все так же продолжает описываться лишь метрическим тензором (или тетрадой, если уж на то пошло).

VladTK в сообщении #1047955 писал(а):

Я имел ввиду не альтернативу, а негравитационную физику.

Т.е. с гравитацией обязательно должно быть так же? Понимаете, насколько наивны эти ожидания?

[SergeyGubanov]

KVV в сообщении #1048337 писал(а):

Насколько я понимаю, тетрадное представление и представление с помощью метрического тензора в общем неэквивалентны. Хотя не настаиваю, не уверен.

Эквивалентны потому, что действие Гильберта остаётся в силе, десять компонент метрического тензора алгебраически выражаются через шестнадцать компонент тетрады (замена полевых переменных), при этом просто появляется больше калибровочных степеней свободы, но по динамическим степеням свободы теория остаётся прежней:

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial e^{(a)}_{\lambda}} = 0. \eqno(1) $$

Сохраняя действие Гильберта можно получить неэквивалентную теорию в том случае если десять компонент метрического тензора выразить через меньшее количество других полей (например через девять других полей), либо положить, что метрический тензор выражается не только через какие-то другие поля, но и их производные. Например, если метрический тензор $g_{\mu \nu}$ выражается через некий набор полей $\varphi_n$ и их первые производные $\partial_{\mu}\varphi_n$, то вариация метрики будет равна:

$$ \delta g_{\mu \nu} = \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \varphi_n} \delta \varphi_n + \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \left( \partial_{\lambda}\varphi_n \right) } \delta \left( \partial_{\lambda}\varphi_n \right). \eqno(2) $$

В этом случае из действия Гильберта получается следующая система уравнений:

$$ \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \varphi_n} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\lambda} \left( \sqrt{-g} \left( T^{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G^{\mu \nu} \right) \frac{\partial g_{\mu \nu}}{ \partial \left( \partial_{\lambda}\varphi_n \right) } \right). \eqno(3) $$

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #1048092 писал(а):

epros
Повертел эту мысль насчёт

$$\mathscr{E} = - \frac{1}{{4\pi }}\oint {\bar f^i dS_i } $$

(обозначения из моей старой темы). Действительно, для Шварцшильда получается зависящее только от системы тел отсчёта значение $\mathscr{E} = m$. Но если вышеупомянутого Шварцшильда оснастить полем $F^{01} = {q \mathord{\left/ {\vphantom {q {r^2 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {r^2 }}$, то получится занятное выражение $\mathscr{E} = m - {{q^2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{q^2 } r}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} r}$ (для интеграла по сфере "радиуса" $r$), над величием коего неустанно в изумлении размышляю я.

Похоже дело в следующем. Среди бесконечного множества систем отсчёта существуют такие, дивергенция четырёхускорения которых по счастливому стечению обстоятельств равна нулю:

$$ \nabla_{\mu} w^{\mu} = 0, \quad \text{то есть} \quad \nabla_{\mu} \left( \tau^{\nu} \nabla_{\nu} \tau^{\mu} \right) = 0. \eqno(1) $$

А так как

$$ \int\limits_{M_4} \left( \nabla_{\mu} w^{\mu} \right) \sqrt{-g} \, d_4 x = \oint\limits_{\partial M_4} w_{\mu} \left( \star dx^{\mu} \right), \eqno(2) $$

то в таких системах отсчёта существуют некие "заряды":

$$ W = \int\limits_{M_3} w_{\mu} \left( \star dx^{\mu} \right). \eqno(3) $$

В данном случае для Шварцшильда и неподвижной системы отсчёта как раз таки произошёл этот самый "счастливый случай" с нулевой дивергенцией четырёхускорения, а вот добавление электромагнитного поля всё испортило -- дивергенция четырёхускорения перестала быть равной нулю.

Для Шварцшильда и неподвижной системы отсчёта имеем следующее.

$$ ds^2 = \left( 1 - \frac{r_g}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{r_g}{r}} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2, \eqno(4) $$

$$ \tau^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}}}, 0, 0, 0 \right\}, \eqno(5)$$

$$ w^{\mu} = \tau^{\nu} \nabla_{\nu} \tau^{\mu} = \left\{0, -\frac{r_g}{2 r^2}, 0, 0 \right\}, \quad \nabla_{\mu} w^{\mu} = 0. \eqno(6) $$

$$ w_{\mu} \left( \star dx^{\mu} \right) = w^{\mu} \sqrt{-g} \, \varepsilon_{\mu \alpha \beta \gamma} \frac{1}{3!} dx^{\alpha} \wedge dx^{\beta} \wedge dx^{\gamma} = \frac{1}{2} c \, r_g \, \sin(\theta) \, dt \wedge d\theta \wedge d\varphi. \eqno(7) $$

Интегрирование по двумерной сфере $(\theta, \varphi)$ и по времени от $t_0$ до $t_1$ даёт

$$ W = \int\limits_{M_3} w_{\mu} \left( \star dx^{\mu} \right) = 2 \pi r_g \, c \, (t_1 - t_0). \eqno(8) $$

А теперь испортим это электромагнитным полем...

$$ ds^2 = \left( 1 - \frac{r_g}{r} + \frac{Q}{r^2} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{r_g}{r} + \frac{Q}{r^2}} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2, \eqno(9) $$

$$ \tau^{\mu} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r} + \frac{Q}{r^2}}}, 0, 0, 0 \right\}, \eqno(5)$$

$$ w^{\mu} = \left\{0, -\frac{r_g}{2r^2} + \frac{Q}{r^3}, 0, 0 \right\}, \quad \nabla_{\mu} w^{\mu} = - \frac{Q}{r^4}. \eqno(10) $$

Теперь дивергенция четырёхускорения не равна нулю, значит интеграл (3) ни каким особым смыслом больше не обладает.

[Утундрий]

Однако, если распространить его на всё 3-сечение, то получится снова $m$

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #1048484 писал(а):

Однако, если распространить его на всё 3-сечение, то получится снова $m$

Не понял чего распространить. Во втором случае есть 3-форма:

$$ w_{\mu} \left( \star dx^{\mu} \right) = \left( \frac{r_g}{2 r^2} - \frac{Q}{r^3} \right) r^2 \sin(\theta) \; c \, dt \wedge d\theta \wedge d\varphi. $$

Кстати, обратите внимание на то, что трёхмерное сечение (по которому эту 3-форму можно с ненулевым результатом интегрировать) идёт по радиусу $r = \operatorname{const}$, а не по времени $t = \operatorname{const}$.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #1048516 писал(а):

Не понял чего распространить.

Ну, идеологически мы как бы подразумеваем, что интеграл по замкнутой 2-поверхности произошёл от интеграла по заключённому в ней 3-объёму. Так вот, взять всё 3-сечение, стало быть, эквивалентно усыланию 2-поверхности вдаль до крайних пределов. А там второй член зануляется и получается снова "мэ".

SergeyGubanov в сообщении #1048516 писал(а):

Кстати, обратите внимание на то, что трёхмерное сечение (по которому эту 3-форму можно с ненулевым результатом интегрировать) идёт по радиусу $r = \operatorname{const}$, а не по времени $t = \operatorname{const}$.

В смысле?

[SergeyGubanov]

Утундрий, что-то я всё равно не понял какой второй член.

А про сечение $r=\operatorname{const}$ вместо $t=\operatorname{const}$ это вот откуда. Сохраняющийся ток $\nabla_{\mu} J^{\mu} = 0$ только тогда даёт сохраняющийся во времени заряд $Q = \int\limits_{M_3} J_{\mu} \left( \star dx^{\mu} \right)$ когда он (вектор тока) времениподобный. А вот ежели вектор $J_{\mu}$ пространственно подобный, то заряд $Q$ будет сохраняться вовсе не вдоль времени подобного направления, а вдоль пространственно подобного направления. В данном случае в роли сохраняющегося тока выступает вектор четырёхускорения. Но четырёхускорение - пространственно подобный вектор, поэтому получающийся заряд сохраняется в нашем случае вдоль радиуса.

[Утундрий]

Что-то я совсем потерял нить разговора. Величина $\bar f^i$ вроде бы не пространственная часть какого-то вектора. Эта хреновина сама по себе.