2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение09.11.2013, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Решил систематизировать свои каляки по мотивам Зельманова и собрать их в некую единообразную форму. Оттого и зачинаю тут неторопливый процесс сей. Материал, в принципе, винрарный, не дискуссионный и благополучно всеми позабытый. Но, вдруг кого заинтересует? Из моего тут будет только обозначения, один упрощающий выкладки трюк и порядок вывода слонов на манеж. Ну и ежели где упаду носом в грязь, то всяческое поправление желательно. Итак, все обозначения как в ЛЛ2 и... понеслась!

Рассмотрим интервал
$$ds^2  = g_{\mu \nu } dx^\mu  dx^\nu$$
Запишем его в виде
$$\[
\begin{gathered}
  ds^2  = g_{00} \left( {dx^0 } \right)^2  + 2g_{0i} dx^0 dx^i  + g_{ik} dx^i dx^k  =  \hfill \\
   = \left( {\sqrt {g_{00} } dx^0  + \frac{{g_{0i} }}
{{\sqrt {g_{00} } }}dx^i } \right)^2  - \left( { - g_{ik}  + \frac{{g_{0i} g_{0k} }}
{{g_{00} }}} \right)dx^i dx^k  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$
(Отметим на полях, что мы серьёзно себя ограничили: $g_{00}  > 0$)

Введём обозначения
$$\[
\begin{gathered}
  h \equiv \sqrt {g_{00} }  \hfill \\
  a_i  \equiv  - \frac{{g_{0i} }}
{{\sqrt {g_{00} } }} \hfill \\
  \bar g_{ik}  \equiv  - g_{ik}  + \frac{{g_{0i} g_{0k} }}
{{g_{00} }} \hfill \\ 
\end{gathered} \eqno (0)
\]
$$
(черта над $g$ будет объяснена позже)

В новых обозначениях интервал принимает вид
$$\[
ds^2  = \left( {hdx^0  - a_i dx^i } \right)^2  - \bar g_{ik} dx^i dx^k \eqno (1)
\] 
$$
Ковариантные компоненты метрики выражаются через новые величины следующим образом
$$\[
\begin{gathered}
  g_{00}  = h^2  \hfill \\
  g_{0i}  =  - ha_i  \hfill \\
  g_{ik}  =  - \bar g_{ik}  + a_i a_k  \hfill \\ 
\end{gathered} \eqno (2)
\] 
$$
Теперь выделим особо совокупность линий, задаваемых уравнениями
$$dx^i  = 0 \eqno (3)$$
Линии эти - мировые, по ним в принципе способны жить наблюдатели и если таковые наблюдатели по ним и правда живут, то мы будем называть их покоящимися в данной системе тел отсчёта, а саму совокупность линий $(3)$ - системой тел отсчёта.

Если наши координаты не имеют никаких нехороших свойств в окрестности изучаемого события, то через каждое событие рассматриваемой окрестности проходит ровно одна линия $(3)$ и тогда говорят, что эти линии образуют конгруэнцию. В рассматриваемом случае - времениподобную.

На ситуацию можно взглянуть по-другому: введя касательное к нашим линиям векторное поле $\tau ^\mu$. Поскольку все линии предполагаются мировыми, поле можно нормировать $g_{\mu \nu } \tau ^\mu  \tau ^\nu   = 1$. Такое нормированное векторное поле называется монадой и тоже может быть использовано для задания системы тел отсчёта.

Пусть выбрана некоторая система тел отсчёта. Координаты, в которых мировые линии наблюдателей, покоящихся относительно выбранной системы тел отсчёта, задаются уравнениями $(3)$ будем называть координатами, сопутствующими системе тел отсчёта или просто сопутствующими координатами.

Для равенств, справедливых в сопутствующих координатах, будем пользоваться знаком $ \sim $.

Так, просто по определению $dx^i  \sim 0$ и $\tau ^i  \sim 0$.

Найдём выражения компонент монады в сопутствующих координатах. Для этого отталкиваемся от $g_{\mu \nu } \tau ^\mu  \tau ^\nu   = 1$ и активно пользуемся $\tau ^i  \sim 0$. Например, $1 = g_{\mu \nu } \tau ^\mu  \tau ^\nu   \sim g_{00} \left( {\tau ^0 } \right)^2  = \left( {h\tau ^0 } \right)^2  \Rightarrow \tau ^0  \sim h^{ - 1} $ и т.д. Результат следующий
$$\[
\begin{gathered}
  \tau ^0  \sim h^{ - 1}  \hfill \\
  \tau ^i  \sim 0 \hfill \\
  \tau _0  \sim h \hfill \\
  \tau _i  \sim  - a_i  \hfill \\ 
\end{gathered} \eqno (4)
\]
$$

Имея $\tau ^\mu  $, можно построить следующее разложение единичного тензора
$$\delta _\nu ^\mu   \equiv \tau ^\mu  \tau _\nu   + \gamma _\nu ^\mu  \eqno (5)$$
Фактически, это определение тензора $\gamma _\nu ^\mu  $. Его очевидные свойства $\tau ^\alpha  \gamma _\alpha ^\mu   = 0$ и $\gamma _\alpha ^\mu  \gamma _\nu ^\alpha   = \gamma _\nu ^\mu  $ говорят, что перед нами тензор-проектор на ортогональную $\tau ^\mu  $ гиперплоскость. В сопутствующих координатах он имеет следующие компоненты
$$\[
\begin{gathered}
  \gamma _0^0  \sim 0 \hfill \\
  \gamma _0^i  \sim 0 \hfill \\
  \gamma _i^0  \sim h^{ - 1} a_i  \hfill \\
  \gamma _k^i  \sim \delta _k^i  \hfill \\ 
\end{gathered}  \eqno (6)
\]
$$

Свернём $(5)$ с вектором $v^\mu$, что даст $v^\mu   = \tau ^\mu  \tau _\alpha  v^\alpha   + \gamma _\alpha ^\mu  v^\alpha$, и введём следующие обозначения
$$\[
\begin{gathered}
  v^*  \equiv \tau _\alpha  v^\alpha   \hfill \\
  v^{\bar \mu }  \equiv \gamma _\alpha ^\mu  v^\alpha   \hfill \\
  v_*  \equiv \tau ^\alpha  v_\alpha   \hfill \\
  v_{\bar \mu }  \equiv \gamma _\mu ^\alpha  v_\alpha   \hfill \\ 
\end{gathered} \eqno (7)
\]
$$
Так что любой вектор раскладывается на продольную и поперечную части
$$v^\mu   = \tau ^\mu  v^*  + v^{\bar \mu } \eqno (8)$$

(* Продолжение следует *)

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы отсчёта в ТО
Сообщение09.11.2013, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #786814 писал(а):
Материал, в принципе, винрарный, не дискуссионный и благополучно всеми позабытый.

Дискуссионного тут - присвоение нового самобытного смысла тем словам, которые уже используются с другим смыслом.

Например, есть версия, что такое "системы отсчёта", изложенная в Иваненко, Сарданашвили "Гравитация". У вас есть против неё существенные возражения? Если нет, то давайте вот этого вот муравьеда называть "системы отсчёта по Зельманову", или как-то ещё в таком духе. Дабы не сбивать с панталыку слабых сих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы отсчёта в ТО
Сообщение10.11.2013, 01:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Munin в сообщении #786860 писал(а):
Например, есть версия, что такое "системы отсчёта", изложенная в Иваненко, Сарданашвили "Гравитация". У вас есть против неё существенные возражения?

Это которая тетрадами? Ну, тетрад тут не будет, так что действительно...
Munin в сообщении #786860 писал(а):
давайте вот этого вот муравьеда называть "системы отсчёта по Зельманову", или как-то ещё в таком духе. Дабы не сбивать с панталыку слабых сих.

...давайте. Пожалуй, назовём их ещё точнее: системы отсчёта, которые почти как у Иваненко-Сарданашвили, только не тетрадные, а монадные (сиречь, никак априори насильственно в 3-пространстве не ориентированные), понимаемые в смысле Зельманова и изложенные Утундрием в теме "Системы отсчёта в ТО".

Только для краткости изложения в дальнейшем я по-прежнему (исключительно в данной теме!) буду называть их просто "системы отсчёта", но обязательно имея в виду вышеприведенную существенную оговорку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы отсчёта в ТО
Сообщение10.11.2013, 03:08 
Заслуженный участник


16/02/13
4102
Владивосток
Утундрий в сообщении #786814 писал(а):
$$ds^2  = g_{\mu \nu } dx^\mu  dx^\mu$$
Описка

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы отсчёта в ТО
Сообщение10.11.2013, 11:40 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Спасибо, тема интересная. У меня будут вопросы, как только закончите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы отсчёта в ТО
Сообщение10.11.2013, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #786900 писал(а):
...давайте. Пожалуй, назовём их ещё точнее: системы отсчёта, которые почти как у Иваненко-Сарданашвили, только не тетрадные, а монадные (сиречь, никак априори насильственно в 3-пространстве не ориентированные), понимаемые в смысле Зельманова и изложенные Утундрием в теме "Системы отсчёта в ТО".

Только для краткости изложения в дальнейшем я по-прежнему (исключительно в данной теме!) буду называть их просто "системы отсчёта", но обязательно имея в виду вышеприведенную существенную оговорку.

Нет, не давайте. Именно чтобы избежать подобных финтов ушами, я и возразил. Вы пишете не научную статью, а сообщение на форуме, а сюда приходят случайные посетители, заходят по поиску из гугля, не читают тему с начала и последовательно. Поэтому необходимо постоянно напоминать о любой нестандартной терминологии, и вообще о любой возможной путанице. Начиная с названия темы. (Кстати, даже в научной статье было бы некомильфо назвать всю статью "Системы отсчёта в ТО", а внутри писать - про З-системы отсчёта.)

Если вас не устраивает краткость, то вы можете вместо "системы отсчёта по Зельманову" писать "З-системы отсчёта". Уж две-то буквы не подорвут вашего могучего здоровья, и не помешают читателю.

    (Оффтоп)

    Если хотите, "З-У-системы отсчёта" :-)

Утундрий в сообщении #786900 писал(а):
Пожалуй, назовём их ещё точнее: системы отсчёта, которые почти как у Иваненко-Сарданашвили, только не тетрадные, а монадные (сиречь, никак априори насильственно в 3-пространстве не ориентированные)

А вот здесь искажение фактов. Системы отсчёта по Иваненко-Сарданашвили ещё менее насильственно ориентированные, чем то, что вы описываете. А именно, ваши линии (3) post786814.html#p786814 обладают таким свойством, что два близких репера, расположенных на одной такой линии, имеют одинаковые ориентации базисных векторов $dx^0.$ В Иваненко-Сарданашвили не наложено такого условия, а переход от базисных векторов одного репера к базисным векторам другого репера задаётся произвольной матрицей (естественно, с условиями непрерывности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение11.11.2013, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11517
Подчистил и подправил, слегка откорректировав.

Munin в сообщении #787102 писал(а):
А вот здесь искажение фактов...

Ну, значит я там чего-то не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение11.11.2013, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #787661 писал(а):
Подчистил и подправил, слегка откорректировав.

Спасибо, с моей стороны возражений больше нет.

Утундрий в сообщении #787661 писал(а):
Ну, значит я там чего-то не понимаю.

Книжка лежит в интернете: https://www.google.com/search?q=%D0%98% ... 0%B8%D1%8F

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение13.11.2013, 18:03 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Munin в сообщении #787698 писал(а):
Книжка лежит в интернете: https://www.google.com/search?q=%D0%98% ... 0%B8%D1%8F

Я в свое время не нашел ее в эл. виде и пришлось оцифровывать последнее издание (стр. 23-24).
http://www.twirpx.com/file/980512/

Но к сожалению, там нет примера и поэтому не все понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение13.11.2013, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
schekn в сообщении #788246 писал(а):
Я в свое время не нашел ее в эл. виде

Я тоже, но с тех пор всё появилось.

schekn в сообщении #788246 писал(а):
Но к сожалению, там нет примера и поэтому не все понятно.

Я уверен, что читателю уровня Утундрий там всё будет понятно, и даже слишком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение15.11.2013, 11:48 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Утундрий в сообщении #786814 писал(а):

Фактически, это определение тензора $\gamma _\nu ^\mu  $. Его очевидные свойства $\tau ^\alpha  \gamma _\alpha ^\mu   = 0$ и $\gamma _\alpha ^\mu  \gamma _\nu ^\alpha   = \gamma _\nu ^\mu  $ говорят, что перед нами тензор-проектор на ортогональную $\tau ^\mu  $ гиперплоскость.


Введём кроме одного 4-вектора скорости ещё триаду 4-векторов являющихся ортами декартовой системы координат. У этой триады имеется дополнительная степень свободы связанная с величиной собственного пространственного 3-вращения этих ортов. Каждому 3-вращению ортов соответствует своя гиперповерхность ортогональная 4-скорости. Отсутствию вращения соответствует гиперплоскость. Таким образом гиперповерхностей ортогональных 4-скорости в данной точке бесконечное множество. В связи с вышесказанным у меня к присутствующим в данной теме, скорее к Утундрию и Muninу 2 связанных вопроса.
1. К какой гиперповерхности ортогональной 4-скорости $\tau ^\mu  $ относится тензор-проектор $\gamma _\nu ^\mu$?
2. Зачем себя ограничивать и пользоваться только 4-скоростью в проецировании величины на 3-пространство, когда у нас есть 4-орты и скалярное произведение этих ортов на величину являющуюся например 4-вектором сразу даёт её компоненту в нужном нам 3-пространстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение15.11.2013, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В. Войтик в сообщении #788891 писал(а):
Каждому 3-вращению ортов соответствует своя гиперповерхность ортогональная 4-скорости. Отсутствию вращения соответствует гиперплоскость.

Это ни о чём не говорит, пока вы не назвали способ построения такой гиперповерхности. А на первый взгляд вообще бред.

В. Войтик в сообщении #788891 писал(а):
1. К какой гиперповерхности ортогональной 4-скорости $\tau ^\mu  $ относится тензор-проектор $\gamma _\nu ^\mu$?

Кроме (локально) гиперплоскости, ничего не обсуждается.

В. Войтик в сообщении #788891 писал(а):
2. Зачем себя ограничивать и пользоваться только 4-скоростью в проецировании величины на 3-пространство

Это к Зельманову вопрос, для меня тайна сия велика есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение15.11.2013, 15:58 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Munin в сообщении #788948 писал(а):
Это ни о чём не говорит, пока вы не назвали способ построения такой гиперповерхности. А на первый взгляд вообще бред.


Видите ли, лично мне очень сложно говорить с уверенностью о 4-мире. Наглядные и обыденные представления оказываются неверными. Поэтому я просто отождествил 3-пространство связанное с ортами и обсуждаемую гиперповерхность. О 3-пространстве уже можно говорить с уверенностью.
Ясно, что одному и тому же началу отсчёта могут соответствовать разное вращение декартовых осей. Нам же требуется узнать компоненты величины в данной системе отсчёта, о которой только известно движение её начала. Очевидно, что это не удастся, пока у нас отсутствует информация о положении каждой декартовой оси, ну или на крайний случай информация о величине угловой скорости.

Если же Вы меня просите представить 4-мерный способ построения такой гиперповерхности я это сделать не смогу, поскольку не геометр и вообще не математик. Возможно это может сделать epros, если захочет.

Munin в сообщении #788948 писал(а):
Кроме (локально) гиперплоскости, ничего не обсуждается.
Хорошо, не обсуждается. Но тем не менее, как же нам попасть в 3-пространство нужной нами системы отсчёта зная только 4-скорость её начала?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение16.11.2013, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В. Войтик в сообщении #788959 писал(а):
Очевидно, что это не удастся, пока у нас отсутствует информация о положении каждой декартовой оси, ну или на крайний случай информация о величине угловой скорости.

Нам не нужна угловая скорость. Мы берём каждую величину в один отдельный момент времени. Ориентации осей необходимо и достаточно.

Думаю, ваши мысли про неплоскую гиперповерхность - ошибка. И не буду их развивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы тел отсчёта в ТО
Сообщение19.11.2013, 12:55 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Не понятно для чего были нужны выкладки (1)-(2), если затем рассматриваются линии $dx^i = 0$. Эти линии можно было рассмотреть без этих выкладок.

Не понятно зачем были нужны линии $dx^i = 0$, если затем рассматривается векторное поле $\tau^{\mu}$. Его можно было ввести и без этих линий, и без выкладок (1)-(2).

Поскольку тензор $\gamma^{\mu}_{\nu}$ самостоятельного содержания не имеет -- однозначно определяется вектором $\tau^{\mu}$, то его лучше вообще сократить из рассмотрения, после чего формулу (8) переписать в следующем глубокомудром виде:
$$v^{\mu}   = \tau^{\mu}  v^{*}  + \left( v^{\mu} - \tau ^{\mu}  v^{*} \right) \eqno (8)$$
В общем, пока не понятно зачем это всё было написано вместе в таком сочетании друг с другом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group