Системы тел отсчёта в ТО

[Утундрий]

Решил систематизировать свои каляки по мотивам Зельманова и собрать их в некую единообразную форму. Оттого и зачинаю тут неторопливый процесс сей. Материал, в принципе, винрарный, не дискуссионный и благополучно всеми позабытый. Но, вдруг кого заинтересует? Из моего тут будет только обозначения, один упрощающий выкладки трюк и порядок вывода слонов на манеж. Ну и ежели где упаду носом в грязь, то всяческое поправление желательно. Итак, все обозначения как в ЛЛ2 и... понеслась!

Рассмотрим интервал

$$ds^2 = g_{\mu \nu } dx^\mu dx^\nu$$

Запишем его в виде

$$\[ \begin{gathered} ds^2 = g_{00} \left( {dx^0 } \right)^2 + 2g_{0i} dx^0 dx^i + g_{ik} dx^i dx^k = \hfill \\ = \left( {\sqrt {g_{00} } dx^0 + \frac{{g_{0i} }} {{\sqrt {g_{00} } }}dx^i } \right)^2 - \left( { - g_{ik} + \frac{{g_{0i} g_{0k} }} {{g_{00} }}} \right)dx^i dx^k \hfill \\ \end{gathered} \] $$

(Отметим на полях, что мы серьёзно себя ограничили: $g_{00} > 0$)

Введём обозначения

$$\[ \begin{gathered} h \equiv \sqrt {g_{00} } \hfill \\ a_i \equiv - \frac{{g_{0i} }} {{\sqrt {g_{00} } }} \hfill \\ \bar g_{ik} \equiv - g_{ik} + \frac{{g_{0i} g_{0k} }} {{g_{00} }} \hfill \\ \end{gathered} \eqno (0) \] $$

(черта над $g$ будет объяснена позже)

В новых обозначениях интервал принимает вид

$$\[ ds^2 = \left( {hdx^0 - a_i dx^i } \right)^2 - \bar g_{ik} dx^i dx^k \eqno (1) \] $$

Ковариантные компоненты метрики выражаются через новые величины следующим образом

$$\[ \begin{gathered} g_{00} = h^2 \hfill \\ g_{0i} = - ha_i \hfill \\ g_{ik} = - \bar g_{ik} + a_i a_k \hfill \\ \end{gathered} \eqno (2) \] $$

Теперь выделим особо совокупность линий, задаваемых уравнениями

$$dx^i = 0 \eqno (3)$$

Линии эти - мировые, по ним в принципе способны жить наблюдатели и если таковые наблюдатели по ним и правда живут, то мы будем называть их покоящимися в данной системе тел отсчёта, а саму совокупность линий $(3)$ - системой тел отсчёта.

Если наши координаты не имеют никаких нехороших свойств в окрестности изучаемого события, то через каждое событие рассматриваемой окрестности проходит ровно одна линия $(3)$ и тогда говорят, что эти линии образуют конгруэнцию. В рассматриваемом случае - времениподобную.

На ситуацию можно взглянуть по-другому: введя касательное к нашим линиям векторное поле $\tau ^\mu$. Поскольку все линии предполагаются мировыми, поле можно нормировать $g_{\mu \nu } \tau ^\mu \tau ^\nu = 1$. Такое нормированное векторное поле называется монадой и тоже может быть использовано для задания системы тел отсчёта.

Пусть выбрана некоторая система тел отсчёта. Координаты, в которых мировые линии наблюдателей, покоящихся относительно выбранной системы тел отсчёта, задаются уравнениями $(3)$ будем называть координатами, сопутствующими системе тел отсчёта или просто сопутствующими координатами.

Для равенств, справедливых в сопутствующих координатах, будем пользоваться знаком $ \sim $.

Так, просто по определению $dx^i \sim 0$ и $\tau ^i \sim 0$.

Найдём выражения компонент монады в сопутствующих координатах. Для этого отталкиваемся от $g_{\mu \nu } \tau ^\mu \tau ^\nu = 1$ и активно пользуемся $\tau ^i \sim 0$. Например, $1 = g_{\mu \nu } \tau ^\mu \tau ^\nu \sim g_{00} \left( {\tau ^0 } \right)^2 = \left( {h\tau ^0 } \right)^2 \Rightarrow \tau ^0 \sim h^{ - 1} $ и т.д. Результат следующий

$$\[ \begin{gathered} \tau ^0 \sim h^{ - 1} \hfill \\ \tau ^i \sim 0 \hfill \\ \tau _0 \sim h \hfill \\ \tau _i \sim - a_i \hfill \\ \end{gathered} \eqno (4) \] $$

Имея $\tau ^\mu $, можно построить следующее разложение единичного тензора

$$\delta _\nu ^\mu \equiv \tau ^\mu \tau _\nu + \gamma _\nu ^\mu \eqno (5)$$

Фактически, это определение тензора $\gamma _\nu ^\mu $. Его очевидные свойства $\tau ^\alpha \gamma _\alpha ^\mu = 0$ и $\gamma _\alpha ^\mu \gamma _\nu ^\alpha = \gamma _\nu ^\mu $ говорят, что перед нами тензор-проектор на ортогональную $\tau ^\mu $ гиперплоскость. В сопутствующих координатах он имеет следующие компоненты

$$\[ \begin{gathered} \gamma _0^0 \sim 0 \hfill \\ \gamma _0^i \sim 0 \hfill \\ \gamma _i^0 \sim h^{ - 1} a_i \hfill \\ \gamma _k^i \sim \delta _k^i \hfill \\ \end{gathered} \eqno (6) \] $$

Свернём $(5)$ с вектором $v^\mu$, что даст $v^\mu = \tau ^\mu \tau _\alpha v^\alpha + \gamma _\alpha ^\mu v^\alpha$, и введём следующие обозначения

$$\[ \begin{gathered} v^* \equiv \tau _\alpha v^\alpha \hfill \\ v^{\bar \mu } \equiv \gamma _\alpha ^\mu v^\alpha \hfill \\ v_* \equiv \tau ^\alpha v_\alpha \hfill \\ v_{\bar \mu } \equiv \gamma _\mu ^\alpha v_\alpha \hfill \\ \end{gathered} \eqno (7) \] $$

Так что любой вектор раскладывается на продольную и поперечную части

$$v^\mu = \tau ^\mu v^* + v^{\bar \mu } \eqno (8)$$

(* Продолжение следует *)

[Munin]

Утундрий в сообщении #786814 писал(а):

Материал, в принципе, винрарный, не дискуссионный и благополучно всеми позабытый.

Дискуссионного тут - присвоение нового самобытного смысла тем словам, которые уже используются с другим смыслом.

Например, есть версия, что такое "системы отсчёта", изложенная в Иваненко, Сарданашвили "Гравитация". У вас есть против неё существенные возражения? Если нет, то давайте вот этого вот муравьеда называть "системы отсчёта по Зельманову", или как-то ещё в таком духе. Дабы не сбивать с панталыку слабых сих.

[Утундрий]

Munin в сообщении #786860 писал(а):

Например, есть версия, что такое "системы отсчёта", изложенная в Иваненко, Сарданашвили "Гравитация". У вас есть против неё существенные возражения?

Это которая тетрадами? Ну, тетрад тут не будет, так что действительно...

Munin в сообщении #786860 писал(а):

давайте вот этого вот муравьеда называть "системы отсчёта по Зельманову", или как-то ещё в таком духе. Дабы не сбивать с панталыку слабых сих.

...давайте. Пожалуй, назовём их ещё точнее: системы отсчёта, которые почти как у Иваненко-Сарданашвили, только не тетрадные, а монадные (сиречь, никак априори насильственно в 3-пространстве не ориентированные), понимаемые в смысле Зельманова и изложенные Утундрием в теме "Системы отсчёта в ТО".

Только для краткости изложения в дальнейшем я по-прежнему (исключительно в данной теме!) буду называть их просто "системы отсчёта", но обязательно имея в виду вышеприведенную существенную оговорку.

[iifat]

Утундрий в сообщении #786814 писал(а):

$$ds^2 = g_{\mu \nu } dx^\mu dx^\mu$$

Описка

[schekn]

Спасибо, тема интересная. У меня будут вопросы, как только закончите.

[Munin]

Утундрий в сообщении #786900 писал(а):

...давайте. Пожалуй, назовём их ещё точнее: системы отсчёта, которые почти как у Иваненко-Сарданашвили, только не тетрадные, а монадные (сиречь, никак априори насильственно в 3-пространстве не ориентированные), понимаемые в смысле Зельманова и изложенные Утундрием в теме "Системы отсчёта в ТО".

Только для краткости изложения в дальнейшем я по-прежнему (исключительно в данной теме!) буду называть их просто "системы отсчёта", но обязательно имея в виду вышеприведенную существенную оговорку.

Нет, не давайте. Именно чтобы избежать подобных финтов ушами, я и возразил. Вы пишете не научную статью, а сообщение на форуме, а сюда приходят случайные посетители, заходят по поиску из гугля, не читают тему с начала и последовательно. Поэтому необходимо постоянно напоминать о любой нестандартной терминологии, и вообще о любой возможной путанице. Начиная с названия темы. (Кстати, даже в научной статье было бы некомильфо назвать всю статью "Системы отсчёта в ТО", а внутри писать - про З-системы отсчёта.)

Если вас не устраивает краткость, то вы можете вместо "системы отсчёта по Зельманову" писать "З-системы отсчёта". Уж две-то буквы не подорвут вашего могучего здоровья, и не помешают читателю.

(Оффтоп)

Если хотите, "З-У-системы отсчёта" :-)

Утундрий в сообщении #786900 писал(а):

Пожалуй, назовём их ещё точнее: системы отсчёта, которые почти как у Иваненко-Сарданашвили, только не тетрадные, а монадные (сиречь, никак априори насильственно в 3-пространстве не ориентированные)

А вот здесь искажение фактов. Системы отсчёта по Иваненко-Сарданашвили ещё менее насильственно ориентированные, чем то, что вы описываете. А именно, ваши линии (3) post786814.html#p786814 обладают таким свойством, что два близких репера, расположенных на одной такой линии, имеют одинаковые ориентации базисных векторов $dx^0.$ В Иваненко-Сарданашвили не наложено такого условия, а переход от базисных векторов одного репера к базисным векторам другого репера задаётся произвольной матрицей (естественно, с условиями непрерывности).

[Утундрий]

Подчистил и подправил, слегка откорректировав.

Munin в сообщении #787102 писал(а):

А вот здесь искажение фактов...

Ну, значит я там чего-то не понимаю.

[Munin]

Утундрий в сообщении #787661 писал(а):

Подчистил и подправил, слегка откорректировав.

Спасибо, с моей стороны возражений больше нет.

Утундрий в сообщении #787661 писал(а):

Ну, значит я там чего-то не понимаю.

Книжка лежит в интернете: https://www.google.com/search?q=%D0%98% ... 0%B8%D1%8F

[schekn]

Munin в сообщении #787698 писал(а):

Книжка лежит в интернете: https://www.google.com/search?q=%D0%98% ... 0%B8%D1%8F

Я в свое время не нашел ее в эл. виде и пришлось оцифровывать последнее издание (стр. 23-24).
http://www.twirpx.com/file/980512/

Но к сожалению, там нет примера и поэтому не все понятно.

[Munin]

schekn в сообщении #788246 писал(а):

Я в свое время не нашел ее в эл. виде

Я тоже, но с тех пор всё появилось.

schekn в сообщении #788246 писал(а):

Но к сожалению, там нет примера и поэтому не все понятно.

Я уверен, что читателю уровня Утундрий там всё будет понятно, и даже слишком.

[В. Войтик]

Утундрий в сообщении #786814 писал(а):

Фактически, это определение тензора $\gamma _\nu ^\mu $. Его очевидные свойства $\tau ^\alpha \gamma _\alpha ^\mu = 0$ и $\gamma _\alpha ^\mu \gamma _\nu ^\alpha = \gamma _\nu ^\mu $ говорят, что перед нами тензор-проектор на ортогональную $\tau ^\mu $ гиперплоскость.

Введём кроме одного 4-вектора скорости ещё триаду 4-векторов являющихся ортами декартовой системы координат. У этой триады имеется дополнительная степень свободы связанная с величиной собственного пространственного 3-вращения этих ортов. Каждому 3-вращению ортов соответствует своя гиперповерхность ортогональная 4-скорости. Отсутствию вращения соответствует гиперплоскость. Таким образом гиперповерхностей ортогональных 4-скорости в данной точке бесконечное множество. В связи с вышесказанным у меня к присутствующим в данной теме, скорее к Утундрию и Muninу 2 связанных вопроса.
1. К какой гиперповерхности ортогональной 4-скорости $\tau ^\mu $ относится тензор-проектор $\gamma _\nu ^\mu$?
2. Зачем себя ограничивать и пользоваться только 4-скоростью в проецировании величины на 3-пространство, когда у нас есть 4-орты и скалярное произведение этих ортов на величину являющуюся например 4-вектором сразу даёт её компоненту в нужном нам 3-пространстве?

[Munin]

В. Войтик в сообщении #788891 писал(а):

Каждому 3-вращению ортов соответствует своя гиперповерхность ортогональная 4-скорости. Отсутствию вращения соответствует гиперплоскость.

Это ни о чём не говорит, пока вы не назвали способ построения такой гиперповерхности. А на первый взгляд вообще бред.

В. Войтик в сообщении #788891 писал(а):

1. К какой гиперповерхности ортогональной 4-скорости $\tau ^\mu $ относится тензор-проектор $\gamma _\nu ^\mu$?

Кроме (локально) гиперплоскости, ничего не обсуждается.

В. Войтик в сообщении #788891 писал(а):

2. Зачем себя ограничивать и пользоваться только 4-скоростью в проецировании величины на 3-пространство

Это к Зельманову вопрос, для меня тайна сия велика есть.

[В. Войтик]

Munin в сообщении #788948 писал(а):

Это ни о чём не говорит, пока вы не назвали способ построения такой гиперповерхности. А на первый взгляд вообще бред.

Видите ли, лично мне очень сложно говорить с уверенностью о 4-мире. Наглядные и обыденные представления оказываются неверными. Поэтому я просто отождествил 3-пространство связанное с ортами и обсуждаемую гиперповерхность. О 3-пространстве уже можно говорить с уверенностью.
Ясно, что одному и тому же началу отсчёта могут соответствовать разное вращение декартовых осей. Нам же требуется узнать компоненты величины в данной системе отсчёта, о которой только известно движение её начала. Очевидно, что это не удастся, пока у нас отсутствует информация о положении каждой декартовой оси, ну или на крайний случай информация о величине угловой скорости.

Если же Вы меня просите представить 4-мерный способ построения такой гиперповерхности я это сделать не смогу, поскольку не геометр и вообще не математик. Возможно это может сделать epros, если захочет.

Munin в сообщении #788948 писал(а):

Кроме (локально) гиперплоскости, ничего не обсуждается.

Хорошо, не обсуждается. Но тем не менее, как же нам попасть в 3-пространство нужной нами системы отсчёта зная только 4-скорость её начала?

[Munin]

В. Войтик в сообщении #788959 писал(а):

Очевидно, что это не удастся, пока у нас отсутствует информация о положении каждой декартовой оси, ну или на крайний случай информация о величине угловой скорости.

Нам не нужна угловая скорость. Мы берём каждую величину в один отдельный момент времени. Ориентации осей необходимо и достаточно.

Думаю, ваши мысли про неплоскую гиперповерхность - ошибка. И не буду их развивать.

[SergeyGubanov]

Не понятно для чего были нужны выкладки (1)-(2), если затем рассматриваются линии $dx^i = 0$. Эти линии можно было рассмотреть без этих выкладок.

Не понятно зачем были нужны линии $dx^i = 0$, если затем рассматривается векторное поле $\tau^{\mu}$. Его можно было ввести и без этих линий, и без выкладок (1)-(2).

Поскольку тензор $\gamma^{\mu}_{\nu}$ самостоятельного содержания не имеет -- однозначно определяется вектором $\tau^{\mu}$, то его лучше вообще сократить из рассмотрения, после чего формулу (8) переписать в следующем глубокомудром виде:

$$v^{\mu} = \tau^{\mu} v^{*} + \left( v^{\mu} - \tau ^{\mu} v^{*} \right) \eqno (8)$$

В общем, пока не понятно зачем это всё было написано вместе в таком сочетании друг с другом.