Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

Спасибо за Ваши разработки. Я еще нашел такое свеженькое (2013 год) и, кажется, интересное:
Kathryn Buehler-McWilliams, Russell E. Murray.
The Monochord in the Medieval and Modern Classrooms.
The monochord was a standard feature of musical pedagogy in the Middle Ages and the Renaissance. In the modern classroom, it allows our students to experience the pedagogical world of the medieval classroom, bringing a deeper reality to an otherwise abstract series of concepts. This article presents a general overview of the various uses of the monochord in medieval and Renaissance pedagogy and provides a lesson plan for using the instrument effectively in an undergraduate music history class.
Journal of Music History Pedagogy, 2013, vol. 3 no. 2, pp. 151–72.
http://www.ams-net.org/ojs/index.php/jm ... le/view/81

pdf - файл указанной статьи можно взять здесь:
http://www.ams-net.org/ojs/index.php/jm ... iew/81/119

-- Вт июн 02, 2015 23:44:16 --

Еще одно интересное построение приведено в книге Д. Райта "Математика и музыка":
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html

Я воспроизвел его для случая n = 2:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/4.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1022903 писал(а):

еще нашел такое свеженькое (2013 год) и, кажется, интересное:

Открыл культовые монохордо-циркульные консервы.

Zarlino 1558 писал(а):

В 2004-м мне как-то сам собой явился интерес к основной, как выяснилось, теоретической закуске Царлино. Тогда бесплатный PDF Le Istitutioni harmoniche если и был в Сети, так я не знал, что надобно его поискать. Не понадобились и действительные циркули с монохордами. Царлиноподобные чертежи выполнил компьютер по 3D моделям, мною выстроенным в мнимом заэкранном пространстве.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1022903 писал(а):

Kathryn Buehler-McWilliams, Russell E. Murray.
The Monochord in the Medieval and Modern Classrooms.
The monochord was a standard feature of musical pedagogy in the Middle Ages and the Renaissance. In the modern classroom, it allows our students to experience the pedagogical world of the medieval classroom, bringing a deeper reality to an otherwise abstract series of concepts. This article presents a general overview of the various uses of the monochord in medieval and Renaissance pedagogy and provides a lesson plan for using the instrument effectively in an undergraduate music history class.
Journal of Music History Pedagogy, 2013, vol. 3 no. 2, pp. 151–72. http://www.ams-net.org/ojs/index.php/jm ... le/view/81

pdf - файл указанной статьи можно взять здесь: http://www.ams-net.org/ojs/index.php/jm ... iew/81/119

Мне штуку сию разок показали в общеобразовательной школе, но на уроке физики, а не пения.

Во времена учёбы Моцарта этот прибор объединения слуха и зрения для увязывания действительного с абстрактным показывали уже не всем, кого обучали музыке.

murom в Сети писал(а):

Леопольд [Моцарт 1770] не пишет, как он настраивает свой клавесин. Он только пишет, что темперированный и ре-диез и ми-бемоль (и другие пары нот) - это одна и та же клавиша.
Вот его текст:



И мой перевод:
Теперь, чтобы познакомить новичка со всеми интервалами и научить играть их чисто, я запишу здесь пару гамм для практических занятий, одна из которых проходит через бемоли, а другая через диезы (b).

(b) На клавиатуре, соль-диез и ля-бемоль, ре-бемоль и до-диез, фа-диез и соль-бемоль, и так далее, это одна и та же нота.
Это вызвано темперацией. Но, согласно правильным соотношениям, все ноты пониженные бемолями на комму выше, чем те, которые повышались диезами. Например: ре-бемоль выше, чем до-диез, ля-бемоль выше чем соль-диез, соль-бемоль выше чем фа-диез и так далее. Здесь хороший слух должен быть судья, и что действительно было бы хорошо, так это познакомить учеников с монохордом.

Ныне монохорды стали для музыкальных школ безусловным излишеством. Полагаю роль монохорда в учебном процессе воспитания музыканта была перехвачена достигшими известной зрелости клавишными воплощениями звуковысотных действительностей в сочетании с их абстракциями в виде пятилинейной становой нотации.

[commator]

commator в сообщении #1023087 писал(а):

Ныне монохорды стали для музыкальных школ безусловным излишеством. Полагаю роль монохорда в учебном процессе воспитания музыканта была перехвачена достигшими известной зрелости клавишными воплощениями звуковысотных действительностей в сочетании с их абстракциями в виде пятилинейной становой нотации.

commator в сообщении #1023023 писал(а):

Открыл культовые монохордо-циркульные консервы.

И здесь монохордовые картинки уступают место нотным станам сразу же после после появления изображения клавишного инструмента, притом с энгармонической клавиатурой, поддерживающей 19 делений октавы вместо привычных нам 12-ти.

Zarlino 1558 писал(а):

Клавиатура, таким образом, отправила ещё у Царлино монохорд в чулан вместе с циркулем, хотя достойнейший Князь Музыки испробовал последний для деления времени на нотном стане, нечаянно и всего один раз, в попытке продемонстрировать пропорции интервалов, однако:

Zarlino 1558 писал(а):

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1023087 писал(а):

Ныне монохорды стали для музыкальных школ безусловным излишеством. Полагаю роль монохорда в учебном процессе воспитания музыканта была перехвачена достигшими известной зрелости клавишными воплощениями звуковысотных действительностей в сочетании с их абстракциями в виде пятилинейной становой нотации.

Интересное сравнение между собой монохордов и пятилинейной нотации ("лестницы", scala) есть у Маргарет Бент:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/11/2/1/2.html
(соответственно, пункты (1) и (2) на указанной странице)
----------------------------------------------------------

commator в сообщении #1023087 писал(а):

Ныне монохорды стали для музыкальных школ безусловным излишеством. Полагаю роль монохорда в учебном процессе воспитания музыканта была перехвачена достигшими известной зрелости клавишными воплощениями звуковысотных действительностей в сочетании с их абстракциями в виде пятилинейной становой нотации.

commator в сообщении #1023881 писал(а):

Клавиатура, таким образом, отправила ещё у Царлино монохорд в чулан вместе с циркулем ....

Это противоречит Вашим же собственным словам:

commator в сообщении #994865 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #994753 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #992210 писал(а):

А что такое длина струны? Что такое отношение длин струн?
Имеют ли эти термины какое-либо значение в музыкальной теории?
Давайте обратимся к классикам. Почему Риман формулирует систему ЧИП3 в терминах отношений длин струн?

commator в сообщении #992308 писал(а):

Отношения длин струн позволяют не обращать внимания на такие мелочи, как абсолютные частоты вибраций этих струн, если диаметры и натяжения струн подбираются надлежащим образом.

Все правильно. Мы можем интерпретировать натуральные числа как очень сильные абстракции от реальных струн, оставляющие от реальных струн только лишь их длину. Тогда музыкальным интервалам будут соответствовать отношения натуральных чисел (как, собственно говоря и было исторически в музыкальной теории).

Струна монохорда становится отрезком числовой оси, где число можно услышать ...

Хорошо бы такое детям в обычных школах преподавать и сделать сольфеджио столь же важным предметом для развития слуховых абстракций, каковым сделали, например, геометрию для развития абстракций зрительных.

Ты можешь Моцартом не стать, а слушать числа будь обязан!

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1024136 писал(а):

Это противоречит Вашим же собственным словам:

История ещё не прислушалась к моим словам:

commator в сообщении #994865 писал(а):

Хорошо бы такое детям в обычных школах преподавать и сделать сольфеджио столь же важным предметом для развития слуховых абстракций, каковым сделали, например, геометрию для развития абстракций зрительных.

Ты можешь Моцартом не стать, а слушать числа будь обязан!

Пока она не прислушалась и к подобным словам отца-воспитателя Моцарта:

commator в сообщении #1023087 писал(а):

murom в Сети писал(а):

Леопольд [Моцарт 1770] что действительно было бы хорошо, так это познакомить учеников с монохордом.

Вершится история и не в точности так, как хотелось Царлино на странице, которую сегодня мне выпало читать и рассматривать с утра до ночи:

commator в сообщении #1023881 писал(а):

Zarlino 1558 писал(а):

Для чтения отыскал полезный материал: http://www.tonalsoft.com/monzo/zarlino/ ... 558-2.aspx

Получил русскоязычное представление о написанном на странице, коим делюсь со всеми, кому интересно:

Цитата:

(Латынь)

Difficile est, nisi docto homini tot tendere chordas,

Alciat. Embl. 2. lib. 1

Трудно сие, но человек научился натягивать множество струн,

Альциат. Эмбл[ема] 2. Кн[ига] 1

<Картинка инструмента>

от них вы можете получить небольшую пользу, потому что в них излишне умножены струны; которых (помимо демонстративности), недостаточно, чтобы выразить другие гармонии; более притягательно, чем слышимы те, что находятся в показанном инструменте; где они действительно Диатонические, ещё Хроматические, или даже Энгармонические.

И если некоторые верят, можно выразить другие гармонии, их три вышеуказанных; то сильно ошибаются: потому ничто другого рода из Диатонической, то же из Хроматической, то же из Энгармонической вы можете вывести (как и в других местах показано совершенно) в виде воплощения какого-то испытания, если таковое можно увидеть.

Но так как я считаю, что отсюда деление таких как эти жанров, и их природа, известны каждому умному; то я не распространяюсь более в желании дать им другую причину: потому что большинство трудностей, которые могут возникнуть, и будут иметь некоторое значение в этой науке, вы увидите показанными, и со всем усердием развёрнутыми в нашей DEMOSTRATIONI harmoniche; другие вещи засим отдаю на суд сдержанного читателя, что вам болтать о действиях с числами, и превосходстве упоминаемых измерений.

Я говорю поэтому, в заключение, что это инструмент, овладеть которым может каждый великий музыкант, не только в гармонии диатонической: но равно и в хроматической, и в Энгармонической: когда сможет выводить все античные Лады: когда они смогут лучше подойти для нашего времени, и более нежно, что вы услышите.

И я скажу так же, что ваше желание добавить к числу отображаемых струн любой другой струны, несомненно, будет напрасно, и лишено смысла, и неуместно намеренно умножать вещи, когда из них никто не может получить каой-либо пользы; и

(Итальянский)

da loro si possa cauare poca vtilità: percioche in loro senza alcuna necessità sono moltiplicate le chorde; le quali (oltra le mostrate ) non sono atte ad esprimere altri concenti; più diletteuoli, che quelli che fanno udire quelle, che sono collocate nel mostrato istrumento; i quali veramente sono Diatonici, ouer Chrornatici, o pure Enharmonici.

Et se alcuni credessero , chepossino esprimere altri concenti, che li tre sopradetti; di gran lunga s'ingannano: perche niuna altra specie di Diatonico, ne di Chromatico, ne di Enharmonico si può ridurre (comealtroue hò mostrato alla sua perfettione) come facendone ogni proua, ciascuno da se lo potrà vedere.

Ma perche io credo, che hormai la Diuisione di cotali generi, & la loro naturasia, nota a ciascuno ingegnoso; però non mi estenderò più oltra, in voler dare di loro alcuna altra ragione: Conciosia che gran parte delle difficultà, che potranno occorrere, & saranno di qualche importanza in questa Scienza, si potranno vedere dimostrate, & con ogni diligenza esplicate nelle nostre DEMOSTRATIONI harmoniche; e altre cose poi lasserò al giudicio del discretto Lettore, che si hauerà nel maneggio de i Numeri, & delle Misu re ottimamente essercitato.

Dirò adunque per concludere, che questo èvn' Istrumento, sopra il quale si potrà essercitare ogni ottimo Sonatore, non solamente nelle harmonie diatonice: ma etiandio nelle chromatice, & nelle Enharmonice: quando potrà riscire alli Modi antichi: oueramente quando a i nostri tempi potranno riufcire megliori, & più soaui di quello, che si odeno.

Et dirò anco, che quando si volesse aggiungere al numero delle mostrate chorde alcuna altra chorda, senza dubbio farebbe cosa vana, & supestua: conciosia che vanamente, & suori di proposito si moltiplicano le cose, quando da quelle no si può cauare alcuna vtilitа; &

(Английский)

few utility could be extracted from them: as in them the strings are multiplied without any necessity; which [strings] (in addition to the shown ones) aren't suitable to express other, more delightful harmonies, then those that can be heard, because of those [strings], that are put in the shown instrument; which [harmonies] are truly diatonic, or chromatic, or enharmonic.

And if anyone should believe, that other harmonies could be expressed, more then the above mentioned three; they are far wrong: because no other kind of diatonic, nor of chromatic, nor of enharmonic could be reduced (as I showed elsewhere) to its perfection, as anybody could se, by making whatever test.

But since I think, that at this point the division of those genus, and their nature is well-known to every ingenious person, then I will not expatiate further, in giving them any more explanation: as most of the difficulties, that could occur, and are of some importance in this Science, can be seen demonstrated, and explicated with every diligence in our "Demostrazioni harmoniche"; then I will let the rest of the things to the judgement of the of the discreet reader, who will have got a very good practice in the handling of the numbers and of measures.

In conclusion, I will say then, that this is an instrument, over which every excellent player can practice, not only in the diatonic harmonies: but also in the chromatic, and in the enharmonic: either when he could reduce them to the ancient modes,
or when they could come out better for our time, and sweeter, then they were heard.

And I will say also, that if one should want to add any more string to the number of the shown ones, with no doubt it would be a vain and superfluous thing: as uselessly, and inappropriately things would be multiplied, from which no utility would be drawn, and

Автор интригует наставлением не добавлять к 20-ти нарисованным струнам ни одной какоё-либо ещё, а этих 20-ти нарисованных в самый раз для 39-ти клавиш, почему-то.

Загадочно...

[commator]

commator в сообщении #1024227 писал(а):

Автор интригует наставлением не добавлять к 20-ти нарисованным струнам ни одной какоё-либо ещё, а этих 20-ти нарисованных в самый раз для 39-ти клавиш, почему-то.

Загадочно...

Перевёл всю главу Гуглом с английского*, чтобы побыстрее:

Царлино 1558 писал(а):

Как мы можем усложнить упомянутый монохорд с энгармоническими струнами. Глава 47

Затем, желая усложнить упомянутый инструмент с энгармоническими струнами, так, чтобы иметь в каждом тетрахорде, болъшой недотон разделённый на два диезиса, мы просто поместим струну в его середине так, что она созвучна одной из упомянутых диатонических или хроматических [струн], и мы будем иметь достигнутой нашу цель.

Но перед дальнейшим, я думаю, что я должен показать пропорции тетрахорда, чтобы узнать соотношение его интервалов, если желательно усложнить синтонический диатонический монохорд.

Так должно быть известно, что поскольку каждый энгармонический тетрахорд перемещается от баса к дисканту двумя диезисами, и одним неделимым дитоном; как это было уж сказано много раз: мы должны избрать таковой, имеющий свои интервалы, содержащие пропорции, которые могли бы привести к использованию совершенной гармонии; и не будем мы должны рассматривать те, которые были размещены во многих тетрахордах древними: так как они не пригодны к порождению совершенно приятной согласованной музыки, и имеют мало общего с нашей целью.

Следовательно, мы должны избрать те интервалы, которые полезны; такие что вещи не умножают без необходимости. И должно быть отмечено, что я говорю, что те интервалы могут быть использованы, что, когда добавлены к другим, дают некоторое созвучание.

Так что мы желаем избирать сначала, один, что может быть избран из вышеупомянутого тетрахорда, что полезен, и соответствует нашей цели; затем, мы добавим интервалы, содержащиеся в пропорциях, такие, что после того, как указанный выше монохорд будет усложнён, в соответствии с соотношением пропорций, что я скоро покажу, каждая струна заимеет соответствующую ей диатоническую или хроматическую, будучи созвучной,

Засим, дитон, что Птолемей помещает в свой энгармонический тетрахорд, показанный в гл. 37, вписывается в нашу цель: потому что это созвучный интервал, и его истинная форма находится между числами, содержащими пропорции, которые находятся между частями senarius; и он вовсе не отличается от дитона, что находится в синтоническом диатоническом монохорде, хотя его следует рассматривать составным в диатоническом, и, не имеющим состава в энгармоническом: так как и то и другое содержатся в [sesquiquarta] (5/4) пропорции.

Таким образом, это будет высокий интервал этого тетрахорда, и мы будем иметь три струны, то есть две крайних каждого диатонического или хроматического тетрахорда, которые являются общими для каждого рода, и вторая внизу, что есть общая для каждого также.

Найдя четвертую струну, которая делит недотон каждого тетрахорда диатонического и хроматического в две части, это будет третья высокая [струна] в энгармоническом тетрахорде.

Затем мы поместим вторую энгармоническую струну между первой и второй диатонической таким образом, делая её отдалённой от первой для [sesquiventesimaquarta] (25/24) пропорции, то есть, для пространства малого недотона, что будет большой диезис этого тетрахорда, и от второй на [supertripartiente 125] (128/125), что будет малый диезис; и мы будем иметь этот тетрахорд; в котором мы можем увидеть полезность, учитывая вторую нижнюю струну: так как

[Изображение]

через добавление её к третьй струне Hypaton хроматического тетрахорда, что есть parhypate hypaton, дитон [третья] можно услышать, содержащиеся в [sesquiquarta] (5/4) пропорции.

Но поскольку (как я уже говорил) две крайних, и третья струна указанного тетрахорда являются общими; то будет достаточно добавление к каждому тетрахорду упомянутой единственной струны, что может быть легко получено добавленим к третьей струне каждого хроматического тетрахорда дополнительной струны к высокой, будучи отдалённой через [sesquiquarta] (5/4) пропорцию.

Тогда сие [струна], после пропорционализации в указанных выше инструментах, будет такой и столь большой полезности; что каждая диатоническая и хроматическая струна из указанных инструментов, и к басу и вверх также, будет иметь соответствующую струну для дитона, и недодитона; и это приведет в такой порядок, из которого мы можем понять, насколько величины Искусства поддержаны Природой, в объединении, и чудесной установке, с помощью красивого, и правильного порядка, хроматические струны между диатоническими, и между теми, и другими из них, энгармонические; которые будут отличаться в клавиатурах указанных инструментов таким: что, в отличие от диатонических и хроматических, будут сделаны красного цвета; как в показанном ниже инструменте может быть видно.

Но должно быть выставлено, как я уже сказал, что в инструменте, там эти струны помещаются полезно и в определенном порядке, которые размещены таким образом, что и к басу, и к дисканту, они имеют соответствующую струну будучи созвучными для квинты, или кварты, или большой терции, или малой терции; как таковые, что в этом инструменте можно найти.

Так, напротив, те [струны] размещаются без какой-то полезности, когда они не имеют такого соответствия: потому, что они не, или мало, подходят к цели порождения любого созвучия.

Затем, каждый сможет в будущем, сделать инструмент, как таковой, что я показал; который будет удобным, и подходящим, чтобы служить для модуляций и гармоний упомянутого рода; и это не будет казаться трудным кому-то: как я это сделал в год Господа нашего 1548 в Венеции, для того, чтобы увидеть, как хроматические и энгармонические гармонии могли бы выйти; и это был клавесин, что рядом со мной также, что был сделан Маэстро Доминико Pesarese отличным производителем таких инструментов; в котором не только большие недотоны делятся на две части, но также все малые.

И даже если другие [инструменты] могут быть сделаны с различным делениями, все-таки я полагаю, что

[Изображение]

немногие полезности могут быть извлечены из них: так как в них струны умножаются без необходимости; которые [струны] (в дополнение к проказанным таковым) не подходят, чтобы выразить другие, более восхитительные гармонии, чем те, что можно услышать, из-за тех [струн], что размещаются в показанном инструменте; которых [гармонии] действительно диатонические или хроматические или энгармонические.

И если кто-то должен был бы поверить, что другие гармонии могут быть выражены, более чем вышеупомянутые три; они далеко не правы: потому что никакой другой род из диатонического, ни из хроматического, ни из энгармонические не может быть выведен (как я показал в другом месте), чтобы его кто-то мог видеть, делая какое-либо испытание.

Но так как я думаю, что у этой точки деление тех родов, и их природа хорошо известна каждому остроумному лицу, то я не буду распространяться дальше, давая им более объяснение: так как большинство трудностей, которые могут возникнуть и имеют определенное значение в этой науке, можно увидеть показанными, и с усердиесм развернутыми каждую в нашем "Demostrazoni harmoniche"; то я предам остальные вещи на суд сдержанного читателя, который будет иметь очень хорошую практику в действиях с числами и размерами.

В заключение скажу, затем, что это инструмент, на котором каждый отличный исполнитель может практиковать, не только в диатонических созвучиях но также в хроматических, и в энгармонических: либо когда он сможет выводить их древних ладов или когда они смогут выйти лучше для нашего времени, и приятнее, тогда они были услышаны.

И я скажу, также, что пожелание добавить больше струн в число их показанных, без сомнения, было бы напрасным и лишним предметом: так как бесполезно, и неуместно вещи будут умножены, из которых нет полезности, что была бы вытянута, а полезные, и необходимые интервалы, которые способствуют складыванию всякого рода гармонии, уже установлены в их надлежащих расположениях.

(Английский)

How we can thicken the mentioned monochord with the enharmonic strings. Chap. 47

Then, wanting thicken the mentioned instrument with the enharmonic strings, so as to have, in each tetrachord, the major semitone divided in two Diesis, we will just put a string in the middle of it in such a way, that it is consonant with one of the mentioned diatonic or chromatic [strings], and we will have obtained our purpose.

But before going on further, I think I have to show the Proportions of the Tetrachord, so as to know the ratio of its intervals, should one want to thicken the syntonic diatonic monochord.

So it must be known, that since each enharmonic tetrachord moves from the bass to the treble by two Diesis', and one undivided ditone; as it has been said many times: we have to elect the one, having its intervals contained by proportions, that would lead to the use of the perfect harmony; nor will we have to regard those, that have been placed in many tetrachords by the antiques: as they are not apt for the generation of the perfect sweet concerted music, and have little to do with our purpose.

Therefore, we have to elect those intervals that are useful; so that things are not multiplied without necessity. And it must be noted, that I say that those intervals are useful, that, when added to others, give some consonance.

So we will elect first, the one, that could be elected from the above mentioned tetrachord, which is useful, and fits our purpose; then, we will add intervals, contained in proportions, such that after the above mentioned monochord will have been thickened, according to the ratios of the proportions, that I'll show soon, every string has its corresponding diatonic, or chromatic, being consonant.

So, the ditone , that Ptolemy puts in his enharmonic tetrachord, shown in chap. 37, fits our purpose: because it is a consonant interval, and its true form is set between the numbers, containing the proportions, that are between the parts of the senarius; and it is in noway different by the ditone that is placed in the syntonic diatonic monochord, although it is to be considered composite in the diatonic, and having no composition in the enharmonic: as both the one and the other are contained in the [sesquiquarta] (5/4) proportion.

So, this will be the acute interval of this tetrachord, and we'll have three strings, i.e. the two extremes of each diatonic or chromatic tetrachord, that are common to each genus, and the second low, that is common to each as well.

After having found the fourth string, which divides the semitone of each tetrachord diatonic and chromatic in two parts, this will be the third acute [string] of the enharmonic tetrachord.

Then, we will put the second enharmonic string between the first, and the second diatonic this way, making it distant from the first for a [sesquiventesimaquarta] (25/24) proportion, id est, for the space of the minor semitone, that will be the major diesis of this tetrachord, and from the second for a [supertripartiente 125] (128/125), that will be the minor diesis; and we will have this tetrachord; in which we can see the utility, given by the second low string: as

[image]

by adding it to the third string of the Hypaton chromatic tetrachord, that is the parhypate hypaton, the ditone [third] can be heard, contained in the [sesquiquarta] (5/4) proportion.

But since (as I have said) the two extremes, and the third string of the mentioned tetrachord are common; then it will be enough adding to each tetrachord the mentioned string only, that could be obtained easily, by adding to the third string of each chromatic tetrachord an additional string toward the acute, being distant by a [sesquiquarta] (5/4) proportion.

Then this [string], after having been proportionated in the above mentioned instruments, will be of such and so great utility; that every diatonic and chromatic string of the mentioned instruments, both toward bass and acute as well, will have a corresponding string for a ditone, and a semiditone; and this will result in such an order, from which we can understand, how much values the Art helped by the Nature, in joining, and wonderfully setting, by a beautiful, and ruled order, the chromatic strings between the diatonic, and between the ones, and the others of these, the enharmonics; that will be distinguished in the keyboards of the mentioned instruments by this: that, differently from the diatonics, and the chromatics, will be made red in color; as in the below shown instrument it can be seen.

But it must be pointed out, as I have said already, that in an instrument, there those strings are put usefully and in a given order, which are put in such a way, that both toward the bass, or toward the treble, they have a corresponding string being consonant for a fifth, or a fourth, or a major third, or a minor third; as are those, that in this instrument are found.

So on the contrary, those [strings] are placed without any utility, when they do not have such correspondent: so that they do not, or few, fit to the purpose of the generation of any consonance.

Then, everybody will be able in the future, to make an instrument like the one I have shown; which will be convenient, and suitable to serve for the modulations, and harmonies of the mentioned genus; and this will not appear difficult to anyone: as I had it made in the year of our Lord 1548. in Venice, in order to see, how the chromatic, and enharmonic harmonies would come out; and it was an harpsichord, that is near me also, that was made by Maestro Dominico Pesarese excellent maker of such instruments; in which not only the major semitones are divided in two parts, but also all minors.

And even if other [instruments] could be made with different divisions, still I believe, that

[image]

few utility could be extracted from them: as in them the strings are multiplied without any necessity; which [strings] (in addition to the shown ones) aren't suitable to express other, more delightful harmonies, then those that can be heard, because of those [strings], that are put in the shown instrument; which [harmonies] are truly diatonic, or chromatic, or enharmonic.

And if anyone should believe, that other harmonies could be expressed, more then the above mentioned three; they are far wrong: because no other kind of diatonic, nor of chromatic, nor of enharmonic could be reduced (as I showed elsewhere) to its perfection, as anybody could se, by making whatever test.

But since I think, that at this point the division of those genus, and their nature is well-known to every ingenious person, then I will not expatiate further, in giving them any more explanation: as most of the difficulties, that could occur, and are of some importance in this Science, can be seen demonstrated, and explicated with every diligence in our "Demostrazioni harmoniche"; then I will let the rest of the things to the judgement of the of the discreet reader, who will have got a very good practice in the handling of the numbers and of measures.

In conclusion, I will say then, that this is an instrument, over which every excellent player can practice, not only in the diatonic harmonies: but also in the chromatic, and in the enharmonic: either when he could reduce them to the ancient modes, or when they could come out better for our time, and sweeter, then they were heard.

And I will say also, that if one should want to add any more string to the number of the shown ones, with no doubt it would be a vain and superfluous thing: as uselessly, and inappropriately things would be multiplied, from which no utility would be drawn, and the useful, and necessary intervals, that contribute to the constitution of every kind of harmony, are already set in their proper rooms.

*) Perretti 2003, English translation (Zarlino 1558, Le institutione harmoniche, part 2.): http://www.tonalsoft.com/monzo/zarlino/ ... 558-2.aspx

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1024227 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1024136 писал(а):

Это противоречит Вашим же собственным словам:

История ещё не прислушалась к моим словам:

commator в сообщении #994865 писал(а):

Хорошо бы такое детям в обычных школах преподавать и сделать сольфеджио столь же важным предметом для развития слуховых абстракций, каковым сделали, например, геометрию для развития абстракций зрительных.
Ты можешь Моцартом не стать, а слушать числа будь обязан!

Пока она не прислушалась и к подобным словам отца-воспитателя Моцарта:

commator в сообщении #1023087 писал(а):

murom в Сети писал(а):

Леопольд [Моцарт 1770] что действительно было бы хорошо, так это познакомить учеников с монохордом.

Энергичная Катя Мак-Вильямс, похоже, прислушалась. Судя по ее блогу:
http://www.monochordtheory.blogspot.com/

Я также перевел на русский несколько абзацев из ее более поздней работы, написаной в соавторстве (я на не ссылался выше):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/15/4.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1024618 писал(а):

Катя Мак-Вильямс, похоже, прислушалась

Сравнил выборки картинок в Гугле для слов

monochord https://www.google.com.ua/search?q=mono ... CAYQ_AUoAQ

и

монохорд https://www.google.com.ua/search?q=%D0% ... CAYQ_AUoAQ

Бросается в глаза, что у англоязычных много фотографий действительно изготовленных в наше время приборов, тогда как у русскоязычных не наблюдантся активности в их изготовлении для каких-то насущных потребностей.

[Свободный Художник]

Можно читать оригинальные работы Царлино, переведенные на английский и находящиеся в свободном доступе. Например:
Zarlino, Gioseffo (1558); On the Modes: Part Four of Le Istitutioni Harmoniche.
http://courses.ttu.edu/musictheory/muth ... 0Modes.pdf

Откровенно порадовали его слова о связи музыки и математики:
It should be known that music is a science subordinate to arithmetic, as I have stated in chapter 20 of Part I, because the forms of the consonances ... are contained within determinate proportions comprised of numbers. In order to know the reasons for all the contingencies that may befall the proportions, it is necessary to be well instructed in arithmetic and in the handling of numbers and proportions.
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/4/35.html

По поводу монохордов он выразился следующим образом (там же):
The aspiring musician should also know how to play the monochord or the harpsichord, if not perfectly, then at least moderately well; the harpsichord, because it is more stable and perfect in its tuning than any other instrument; the monochord, so that he may gain from it the knowledge of the sonorous and dissonant intervals and be able to put into practice and to prove those things which he finds out anew every day.

[commator]

bntr в сообщении #1008785 писал(а):

о некой особой роли интервалов вида p/(p-1) (например 2/1, 3/2, 5/4, 19/18,..).
Кажется, Вы называли и специальный термин для них.

commator в сообщении #1009498 писал(а):

Нашёл по этому поводу:

Герцман 1993 писал(а):

В эпиморном отношении (ἐπιμόριος) большее число полностью содержит меньшее и еще одну его часть (квинта 3:2, кварта - 4 : 3 и т.д.)

Усилился интерес к соотношениям вида $n/(n-m); \left\lbrace n, m\right\rbrace\subset \mathbb{N}$.

В поисках имён для них попытался перевести Гуглом на русский с греческого герцманово ἐπιμόριος. Непосредственный перевод дал epimorios, а через английский можно вывести синоним, подобранный кем-то ранее в русском:

сверхчастичный $\leftarrow$ over particle $\leftarrow$ ἐπι μόριος $\leftarrow$ ἐπιμόριος

Представляется логичной следуящая система имён:

• $n/(n-1)\leftarrow$ сверхчастичный;
• $n/(n-2)\leftarrow$ сверх-два-частичный;
• $n/(n-3)\leftarrow$ сверх-три-частичный;
• $\cdots ;
• $n/(n-m)\leftarrow$ сверх-эм-частичный.

[bntr]

commator в сообщении #1017712 писал(а):

Кроме того, изменяющиеся, но неразличимые или плохо различимые ГФ, позволяют между собой отождествление, что даёт возможность считать одинаковыми не совпадающие в действительности высоты, например, на расстоянии не более $5..6~c\leftarrow JND$ (just-noticeable difference ~ порог различимости),



т. е. ради расширения множества допустимых интерпретаций одного и того-же через его роли в другом, ложные и правдивые, внутри порога различимости можно уравнивать в правах знаки $\equiv,\approx$.

Поясните, пожалуйста, на примере доминантсептаккорда:
4:5:6:7, 20:25:30:36, 36:45:54:64 (wiki)
Соответствующие этим соотношениям функции - плохо ли различимы?
Если плохо и "позволяют отождествление", то значит ли это, что мы не сможем интерпретировать числовым соотношением (одним из трех), например, некое конкретное употребление доминантсептаккорда неким венским классиком?

[bntr]

bntr в сообщении #1017184 писал(а):

Занятно, что строя таким образом скалы, мы можем перейти от отношений самого интервала (15/8) и его множителей (3/2, 5/4)
к отношениям между индексами "связывающих" интервал скал: (1)--(2)--(5)--(1) или (1)==(4)==(3)==(1).

Немного поправлюсь. Мне стоило бы говорить не о путях
(1)--(2)--(5)--(1) и (1)==(4)==(3)==(1)
а oб
(8)--(2)--(5)--(15) и (8)==(4)==(3)==(15)
т.к. я искал связь между двумя нотами интервала 15/8, которые в свою очередь тоже суть скалы (имеют обертоны):

(1)      .                    8   [10]            15

(2)         |     |     |     4-----5     |     |     |     |     |     |     |
                              i     i               
(5)                  |        i     2--------------3              |
                              i                    i
(8)                           1                    i  |                       |
                                                   i
(15)                                               1



(1)      .                    8         [12]      15

(3)            |        |        |        4========5        |        |        |
                                          I        I
(4)               |           2===========3        I  |           |           |
                              I                    I
(8)                           1                    I  |                       |
                                                   I
(15)                                               1

Напомню, что по оси Y отложены: скала, основанная на недостающем тоне "(1)", и её подмножества.

[bntr]

bntr в сообщении #1027240 писал(а):

Занятно, что строя таким образом скалы, мы можем перейти от отношений самого интервала (15/8) и его множителей (3/2, 5/4)
к отношениям между индексами "связывающих" интервал скал: (8)--(2)--(5)--(15) или (8)==(4)==(3)==(15).

Занятно также, что этот шаг можно повторять до тех пор, пока не останется лишь скала (1).
Вот скрипт, редуцирующий таким образом произвольный аккорд.
Например 36:45:54:64 он расписывает так:
http://bntr.appspot.com/ji/epimorics/36:45:54:64

                    .  .  .  . 
(1)  [16] [24] [32] 36 45 54 64
(8)   2----3                   
(9)                 4--5       
(12)       2--------3          
(16)  1---------2              
(18)                2-----3    
(32)            1------------2 

     . . .  .  .  . 
(1)  8 9 12 16 18 32
(4)  2---3          
(6)      2-----3    
(8)  1------2       
(9)    1-------2    
(16)        1-----2 

    . . . . . 
(1) 4 6 8 9 16
(2) 2-3       
(3)   2---3   
(4) 1---2     
(8)     1---2 

    . . . .
(1) 2-3 4 8
(2) 1---2  
(4)     1-2

    . . .
(1) 1-2 4
(2)   1-2

    . .
(1) 1-2

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1006574 писал(а):

Не могу удержаться, чтобы не напомнить Вам (раз уж Вы цитируете книгу Шевалье), что даже сам Рамо (в первой половине своего творчества) исповедовал упомянутую мною выше парадигму:
... Из этого следует, что гармония, в сущности, будет только арифметикой... Он на первых страницах трактата 1722 г. выписывает следующую цитату из Декарта: "Звук относится к звуку так же, как струна к струне". Это - краеугольный камень постройки, идет ли речь о первой или второй системе Рамо.
Сразу же эта истина позволит ему оставить звук в стороне и заменить его струной, т. е. числом, измеряющим струну; останется только вычислять, не заботясь о том, что представляют собой числа.
Шевалье Л. История учений о гармонии.
Пер. с франц., М., 1931, сc. 45 — 46.
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/14/1/1.html

Мне кажется, что если бы Рамо не "вильнул" (после первой половины своего творчества), то монохорд естественным образом доэволюционировал бы до средства представления "гармонических сетей", которые рассматривают в проективной геометрии:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/11/5.html

Мы уже начинали обсуждать эту тему:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 34&page=23
(особенно пост 228 от 14.03.2010 на указаной странице)