2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.
 
 Re: Программа студентов
Сообщение09.10.2015, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11345
Hogtown
Мне лично кажется разговор о двух культурах несколько странным. Дело не в том, что математике нужны и те и другие, как я только что прочёл в эссе Гауэрса, а в том, что в любом математике оба этих качества перемешаны, конечно, в разных пропорциях и математик, у которого одно из качеств плохо развито, на мой взгляд, представляет довольно печальное зрелище. Вот ВИЛ предупреждал что недооценка чего-то там в познании ведёт либо к идеализму, либо к ползучему эмпиризму. Лично я всегда был более "решателем", чем "концептуалистом", но начиная с задач, выстраиваешь концепцию, а выстроив концепцию, развиваешь её и применяешь к задачам и так по кругу спирали.

(Оффтоп)

Должен сказать, что в последнее время наблюдается, как мне кажется, чрезмерное увлечение увлечение концептуализмом, что приносит иногда славу глубокого мыслителя и практическое бесплодие. Если математик не созрел разрабатывать глубокие концепции, то вся его деятельность в этом направлении превращается в интеллектуальную мастурбацию.


Блог sowa мне указал мой младший сын несколько лет назад и мне кажется что там на самом деле вопрос не в концепциях развития математики, а некая вполне политическая разборка. Если T.G. на самом деле имеет такое огромное влияние, что левой рукой раздаёт Абелей, а правой Филдсов, то он должен быть остановлен не из-за его воззрений на математику, а из-за того, что это нездорово. Но, как сказал кто-то «Это пройдёт. И это тоже». В мире математики моды и короли сменяются очень быстро.

-- 09.10.2015, 14:26 --

g______d в сообщении #1060898 писал(а):
Я вижу торчащие зелёные уши тролля.

Цитата:
По рогам ушам ему, да промеж ему...

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение09.10.2015, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #1060903 писал(а):
Блог sowa мне указал мой младший сын несколько лет назад и мне кажется что там на самом деле вопрос не в концепциях развития математики, а некая вполне политическая разборка.

Ну всё равно, возвышенные слова почитать интересно, особенно сторонним читателям :-)
Попытаться понять, что такое hard и soft, понятия не имея о спектральных последовательностях Серра и теореме Атьи-Зингера об индексе :-)

-- 09.10.2015 21:31:29 --

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1060903 писал(а):
g______d в сообщении #1060898 писал(а):
Я вижу торчащие зелёные уши тролля.
Цитата:
По рогам ушам ему, да промеж ему...

Опасная цитата: помните ж, чем там дело кончилось?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение09.10.2015, 21:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Olivka в сообщении #1060895 писал(а):
Xaositect в сообщении #1060872 писал(а):
Вообще, мне ближе взгляд, что "две культуры" все-таки составляют одну большую математику, и там же находится и большая часть Computer Science.

Согласитесь ли вы, что важно, чтобы такой взгляд не переносился на систему обучения?
Не согласен ни в коем случае. В идеале первые 2-2.5 курса должна быть общая программа, включающая в себя и основы алгебры, и основы геометрии, и основы диффуров, и основы функана, и основы статистики, и основы комбинаторики, и основы логики, и основы алгоритмики, и основы вычислений. А дальше должна быть года 4 постепенно увеличивающейся специализации, причем с большей, чем сейчас, возможностью выбора у студента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение09.10.2015, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11345
Hogtown

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1060907 писал(а):
Опасная цитата: помните ж, чем там дело кончилось?..

Да он уже и так ревёт по-медвежьему :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение09.10.2015, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
По поводу двух культур я снова упомяну доказательство гипотез Вейля (оно у МВ в жж всякий раз возникает, как наглядный пример). Ну так вот, оно считается сферическим первокультурным результатом в вакууме. Но

1) Говорят, что когда Делинь их доказывал, он какой-то последний шаг сделал не в максимальной общности или как-то так; другими словами, торопился и доказал что-то "условно второкультурным" методом. Гротендик был недоволен.

2) Сам по себе результат имеет самое прямое отношение к "второкультурной" деятельности, связанной с подсчетом рациональных точек на кривых и поверхностях. Там бывают ситуации (опять же, по слухам; имен и явок не знаю), когда люди пишут по 10 статей, улучшая какие-то степени в оценках каждый раз на 1/100, а потом приходит какой-то "первокультурщик" и говорит, что из какой-то высоконаучной теоремы следует оценка на порядок лучше, причем сам аргумент концептуален, и занимает 5 страниц, а не 100.

Т. е. первая культура может сделать прорыв во второй культуре. А навыки из второй культуры, при прочих равных, могут помочь доказать "первокультурный" результат раньше, или быстрее догадаться до правильной формулировки гипотезы.

Короче говоря, споры про разделение культур относятся либо к спорам между студентами чисто для жж, либо к спорам вокруг престижных наград. А во всем, что посередине, единственный путь к успеху, — это уметь выбирать лучший на данный момент инструмент для решения задачи, будь этот инструмент из первой или из второй культуры.

А по поводу концептуализма — я лично признаю задачно-ориентированный концептуализм; если в рамках новой теории хотя бы одна существующая задача смотрится более естественно или решается более просто, то эта теория оправдывает свое существование. Правда, понятие "задача" достаточно широко, и задачей может быть, в частности, построение теории чего-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение12.10.2015, 15:52 


12/10/15
11
Программа разумна, по крайней мере. Не идеальна, конечно, но лучше нынешней(поскольку я с ней знаком, ибо в ВШЭ не учусь).
Почитал тему, не понял недовольство по поводу отсутствия анализа в программе. Вот предлагаемая программа анализа для первого курса:

- Вещественные числа как пополнение рациональных. Предел последовательности, его свойства, лемма о двух милиционерах. Нотация Ландау. Фундаментальные
последовательности, критерий Коши, теорема Вейерштрасса об ограниченной монотонной последовательности. Число$e$.
- Пределы функции в точке, непрерывные функции, замечательные пределы, лемма Больцано-Вейерштрасса, теорема Больцано — Коши.
- Открытые и замкнутые множества в $\mathbb{R}$. Связность, компактность, их сохранение при непрерывных отображениях. Теорема Вейерштрасса о функции на компакте. Равномерная сходимость, равномерная непрерывность. $\sup$-норма на пространстве непрерывных ограниченны функций.
- Ряды, их сходимость. Теорема Лейбница о знакочередующихся рядах. Дискретное преобразование Абеля. Признаки Гаусса, Абеля и Дирихле.
- Признаки Даламбера и Коши. Степенные ряды, радиус сходимости. Функциональные ряды
и их сходимость.
- Дифференцируемые функции, теоремы Лагранжа и Ролля, основные свойства производной.
Правило Лопиталя. Дифференцирование функциональных рядов.
- Ряд Тейлора, аналитические функции, построение основных элементарных функций
- Интеграл Римана, интегрируемость непрерывных функций. Простейшие свойства интеграла, «табличные» интегралы. Теорема о среднем. Теорема Лебега. Замена переменной, интегрирование по частям. Несобственные интегралы и их признаки сходимости.
- Формула суммирования Абеля. Следствия: асимптотика гармонического ряда и константа Эйлера — Маскерони, ускорение сходимости ряда обратных квадратов (и вообще, обратных
степеней).
- Начала многомерного анализа: дифференциал, частные производные. Принцип сжимающих
отображений, теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции. Формула
Тейлора для функции многих переменных.
- Подмногообразия в $\mathbb{R}, векторные поля, касательное и кокасательное пространства.
- Многомерное дифференцирование (продолжение). Метод множителей Лагранжа. Леммa Морса, лемма Сарда.
- Лемма Адамара, дифференцирования гладких функций порождены частными производными. Однопараметрические группы диффеоморфизмов, их свзяь с дифференциальными уравнениями и векторными полями, теорема Пикара — Линделёфа. Простейшие примеры
дифференциальных уравнений.
- Многомерное интегрирование. Кратные и повторные интегралы, теорема Фубини. Объёмы, замена переменной, ориентация, площадь поверхности.


Вроде всё есть, ничего не забыли. И, конечно же, на факультете математики не должно быть физики и компьютерных наук в обязательной программе(в качестве спецкурсов/курсов по выбору, напротив, они обязательно должны быть). В России существуют такие направления, как прикладная математика и информатика, а также прикладная математика и физика. Там упор на компьютерные науки и физику, соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение12.10.2015, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ukb768 в сообщении #1061719 писал(а):
Почитал тему, не понял недовольство по поводу отсутствия анализа в программе. Вот предлагаемая программа анализа для первого курса:....Вроде всё есть, ничего не забыли.

Вроде, много чего забыли. Например, выхолощены числовые ряды, потеряны ряды Фурье и преобразование Фурье, потеряли равномерную сходимость и все, с ней связанное: перестановочность предельных переходов, функциональные ряды и интегралы с параметром, потеряли интегралы по многообразиям и формулу Стокса, элементы теории векторных полей и еще всякого-разного кучу... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение12.10.2015, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7132
Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):
Например, ... потеряны ряды Фурье и преобразование Фурье
Может это перенесено в курс функционального анализа.

-- Пн окт 12, 2015 22:42:42 --

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):
потеряли равномерную сходимость и все, с ней связанное: перестановочность предельных переходов, функциональные ряды и интегралы с параметром,

Эпсилон и дельту они изгнали из курса анализа. Может из-за этого? Хотя в топологии есть равномерные структуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение12.10.2015, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
В этом курсе, судя по программе, принципиально нету понятия гладкого многообразия. Очевидно, что про них будет отдельный курс, в который войдет теорема Стокса и прочие криволинейные интегралы. В длинном тексте несколькими страницами ранее это обсуждалось; и были довольно здравые мысли по поводу того, сколько времени нужно студентам на то, чтобы освоить понятие гладкого многообразия.

Ряды Фурье, действительно, лучше смотрятся в курсе функционального анализа, если он читается не позже второго курса; без теории меры все равно не построить пространство $L^2$, а без $L^2$-теории курс про ряды и интегралы Фурье будет состоять из костылей.

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):
выхолощены числовые ряды


Пункт 4.

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):
потеряли равномерную сходимость


Пункт 3.

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):
элементы теории векторных полей


Пункты 4 и 2 с конца.

Brukvalub в сообщении #1061749 писал(а):
функциональные ряды


Пункты 5 и 6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение12.10.2015, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
g______d в сообщении #1061837 писал(а):
Пункт 4.

и прочие пункты под некими номерами я в упор не вижу в том сообщении о программе, сразу после которого я и оставлял комментарий. А самой программы я прочесть не смог, поскольку содержащий ее ресурс заблокирован Роскомнадзором, и доступа к этому ресурсу я не имею. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение12.10.2015, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Brukvalub в сообщении #1061838 писал(а):
и прочие пункты под некими номерами я в упор не вижу в том сообщении о программе, сразу после которого я и оставлял комментарий.


Имеется в виду "4-й по порядку" и т. д. Вам их процитировать явно?

-- Пн, 12 окт 2015 12:58:32 --

Brukvalub в сообщении #1061838 писал(а):
А самой программы я прочесть не смог, поскольку содержащий ее ресурс заблокирован Роскомнадзором, и доступа к этому ресурсу я не имею. :oops:


А к чему тогда была эта цитата?

Brukvalub в сообщении #1046462 писал(а):
Программа напомнила мне анекдот про выставленный на ВДНХ новый советский самолет на 1000 пассажиров с бассейном, концертным залом и 3-мя ресторанами. На вопрос журналиста: "какие у самолета недостатки?" министр транспорта тяжело вздохнул и ответил: "недостатков у самолета нет, но одно печалит: второй год никто из летчиков не может поднять его в воздух...". :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение12.10.2015, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11345
Hogtown
g______d в сообщении #1061837 писал(а):
без теории меры все равно не построить пространство $L^2$, а без $L^2$-теории курс про ряды и интегралы Фурье будет состоять из костылей.

Через пополнение. Это будет, разумеется, непоноценная теория. но тем не менее вполне строгое определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение12.10.2015, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Red_Herring в сообщении #1061842 писал(а):
Через пополнение. Это будет, разумеется, непоноценная теория. но тем не менее вполне строгое определение.


Это я, в частности, имел в виду под словом "костыль". Но, формально говоря, да, можно обойтись интегралом Римана и говорить об $L^2$ как об абстрактном пополнении. Не знаю, насколько это будет понятнее; например, каждый раз говорить о выборе представителя... брр.

С другой стороны, элементы $L^2$ тоже не функции, а классы эквивалентности, но тут хотя бы эту эквивалентность можно потрогать руками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение12.10.2015, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
g______d в сообщении #1061837 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1061749

писал(а):
выхолощены числовые ряды

Пункт 4.

ukb768 в сообщении #1061719 писал(а):
- Ряды, их сходимость. Теорема Лейбница о знакочередующихся рядах. Дискретное преобразование Абеля. Признаки Гаусса, Абеля и Дирихле.
- Признаки Даламбера и Коши. Степенные ряды, радиус сходимости. Функциональные ряды
и их сходимость.

Наблюдается странный порядок: признаки Даламбера и Коши идут после признаков Гаусса, Абеля и Дирихле. Где т. Римана об условно сходящихся рядах, теоремы об умножении рядов, о перестановочности абсолютно сходящихся рядов, где признак Гаусса, где бесконечные произведения и еще много чего полезного?
g______d в сообщении #1061837 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1061749

писал(а):
потеряли равномерную сходимость

Пункт 3.

ukb768 в сообщении #1061719 писал(а):
- Открытые и замкнутые множества в $\mathbb{R}$. Связность, компактность, их сохранение при непрерывных отображениях. Теорема Вейерштрасса о функции на компакте. Равномерная сходимость, равномерная непрерывность. $\sup$-норма на пространстве непрерывных ограниченны функций.

Я вел речь не об определении равномерной сходимости, а о всем комплексе теорем и методов, для которого эта равномерная сходимость достаточна, что ясно видно, если прочесть и процитировать мой комментарий полностью. Кстати, если уж на то пошло, то есть необходимое и достаточное условие коммутирования двух предельных переходов по базам, в котором равномерная сходимость прямо не используется, но весь комплекс теорем остается справедливым.
g______d в сообщении #1061837 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1061749

писал(а):
элементы теории векторных полей

Пункты 4 и 2 с конца.

Это даже не смешно... Где же все роторы, дивергенции и потоки, связи между ними, разные там формулы Грина? Я вижу только жалкие "Однопараметрические группы диффеоморфизмов, их свзяь с дифференциальными уравнениями и векторными полями, теорема Пикара — Линделёфа. Простейшие примеры
дифференциальных уравнений." и " Подмногообразия в $\mathbb{R}, векторные поля, касательное и кокасательное пространства.", что на "элементы теории поля" совсем не тянет.
g______d в сообщении #1061837 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1061749

писал(а):
функциональные ряды

Пункты 5 и 6.


ukb768 в сообщении #1061719 писал(а):
- Признаки Даламбера и Коши. Степенные ряды, радиус сходимости. Функциональные ряды
и их сходимость.
- Дифференцируемые функции, теоремы Лагранжа и Ролля, основные свойства производной.
Правило Лопиталя. Дифференцирование функциональных рядов.

Где же здесь т. о непрерывности и о пределе суммы функционального ряда, т. о почленном интегрировании и т.п.? Какие-то огрызки...
g______d в сообщении #1061841 писал(а):
А к чему тогда была эта цитата?

Brukvalub в сообщении #1046462

писал(а):
Программа напомнила мне анекдот про выставленный на ВДНХ новый советский самолет на 1000 пассажиров с бассейном, концертным залом и 3-мя ресторанами. На вопрос журналиста: "какие у самолета недостатки?" министр транспорта тяжело вздохнул и ответил: "недостатков у самолета нет, но одно печалит: второй год никто из летчиков не может поднять его в воздух...". :D

Запямятовал, программу-то я прочел, а вот "ответную реакцию" уже не смог, чему еще тогда возмущался.

-- Пн окт 12, 2015 23:41:06 --

g______d в сообщении #1061837 писал(а):
Ряды Фурье, действительно, лучше смотрятся в курсе функционального анализа, если он читается не позже второго курса

"А мужики-то не знают! :D "На мехмате МГУ ряды Фурье всегда читаются в курсе мат. анализа, и ничего, как-то справляются...

 Профиль  
                  
 
 Re: Программа студентов
Сообщение13.10.2015, 00:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Brukvalub в сообщении #1061849 писал(а):
"А мужики-то не знают! :D "На мехмате МГУ ряды Фурье всегда читаются в курсе мат. анализа, и ничего, как-то справляются...


Да, можно рассказать про сходимость (и формулы обращения) для достаточно хороших функций, условия Дини и т. п. Но этому место не в основном курсе лекций, а в примерах/практике; еще раз, я не вижу способа рассказать полноценную теорию рядов и преобразования Фурье без пространства $L^2$.

Brukvalub в сообщении #1061849 писал(а):
Это даже не смешно... Где же все роторы, дивергенции и потоки, связи между ними, разные там формулы Грина?


Там же, где формула Стокса. Гладкие многообразия и векторный анализ вынесены в отдельный курс, очевидно же.

Brukvalub в сообщении #1061849 писал(а):
Наблюдается странный порядок: признаки Даламбера и Коши идут после признаков Гаусса, Абеля и Дирихле. Где т. Римана об условно сходящихся рядах, теоремы об умножении рядов, о перестановочности абсолютно сходящихся рядов, где признак Гаусса, где бесконечные произведения и еще много чего полезного?


Что означает ваш вопрос "где признак Гаусса?"

По поводу признаков Даламбера и Коши — это признаки сходимости степенных рядов; как раз логичнее их поставить после признаков сходимости общих рядов.

Brukvalub в сообщении #1061849 писал(а):
Я вел речь не об определении равномерной сходимости, а о всем комплексе теорем и методов, для которого эта равномерная сходимость достаточна, что ясно видно, если прочесть и процитировать мой комментарий полностью. Кстати, если уж на то пошло, то есть необходимое и достаточное условие коммутирования двух предельных переходов по базам, в котором равномерная сходимость прямо не используется, но весь комплекс теорем остается справедливым.


Мне не очевидно, в какой общности нужны эти условия перестановки пределов в базовом курсе анализа. Кроме того, это вопрос степени подробности, в какой написана программа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 172 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group