2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 15:36 


31/01/09
11
Сколько 2014-значных чисел состоящих из цифр 1,3,4,6,7,9 делится на 7?
Никаких идей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Тупо берём их и раскладываем в ящички с разными остатками по модулю 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 16:00 


31/01/09
11
ИСН в сообщении #989745 писал(а):
Тупо берём их и раскладываем в ящички с разными остатками по модулю 7.

А можно поподробней?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Сначала делаем это для 1-значных чисел, потом на основе этого - для 2-значных, и т.д. Программой, конечно, не руками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Возможно, проблему решает следующий признак делимости на 7:
Число делится на 7 если и только если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 7.
Или другой признак...
(сообщение исправлено благодаря любезному ЛС Alex1976)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 17:11 


31/01/09
11
ИСН в сообщении #989789 писал(а):
Сначала делаем это для 1-значных чисел, потом на основе этого - для 2-значных, и т.д. Программой, конечно, не руками.

Вообще это задача со вступительного экзамена в ШАД.Яндекс.
Так что использование компьютера не подразумевается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Ответ - это, я так полагаю, число длиной в сотни цифр. Как Вы без компьютера предполагаете возможным его хотя бы записать, не то что найти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 17:48 


31/01/09
11
ИСН в сообщении #989810 писал(а):
Ответ - это, я так полагаю, число длиной в сотни цифр. Как Вы без компьютера предполагаете возможным его хотя бы записать, не то что найти?

Аналитически,n'est-ce pas

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 18:40 
Заслуженный участник


04/05/09
4432
Рекурсия не слишком сложная получается. И ответ достаточно простой.

Для начала обратите внимание на допустимые цифры по модулю 7. Что получилось бы если добавить ещё одну подходящую цифру?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 19:52 


31/01/09
11
venco в сообщении #989851 писал(а):
Рекурсия не слишком сложная получается. И ответ достаточно простой.

Для начала обратите внимание на допустимые цифры по модулю 7. Что получилось бы если добавить ещё одну подходящую цифру?

Обозначим набор цифр $\Lambda=\left\lbrace 1,3,4,6,7,9\right\rbrace$
В наборе цифры с остатками от деления на 7 равны:
$[1]_7=1, [9]_7=2, [3]_7=3, [4]_7=4, [6]_7=6, [7]_7=0.$
Если бы была в наборе цифра 5, то таких чисел было бы в точности $7^{2013}$. Поскольку каждому числу из 2013 цифр из $  \Lambda\cup\left\lbrace5\right\rbrace$, соответствовала бы одна единственная цифра, приписанная в конце, дополняющая остаток от деления.
Поскольку в нашем наборе только 6 цифр. То общее количество $6^{2013}$ минус числа из 2013 цифр, которым требуется дополняющий остаток 5.
А таких наборов в точности столько же, сколько 2012-значных чисел из нашего изначального $\Lambda$. И т.д.
Соответственно рекурсия даёт ответ:

$\sum\limits_{0}^{2013} (-1)^{k+1}*6^k = 6^{2013}-6^{2012}+6^{2011}-6^{2010} ......+6^{1}-1 $

Проверьте кто-нибудь

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Так-то лучше. Только сверните уж тогда в конечный вид.
И ещё я не понял, почему
Evseev.Michail в сообщении #989897 писал(а):
числа из 2013 цифр, которым требуется дополняющий остаток 5.
А таких наборов в точности столько же, сколько 2012-значных чисел из нашего изначального M.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Всё, понял, ничего не надо, ответ верный, только одной овцы не хватает.
И сверните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 21:41 


31/01/09
11
Evseev.Michail в сообщении #989897 писал(а):
venco в сообщении #989851 писал(а):
Рекурсия не слишком сложная получается. И ответ достаточно простой.

Для начала обратите внимание на допустимые цифры по модулю 7. Что получилось бы если добавить ещё одну подходящую цифру?

Обозначим набор цифр M={1,3,4,6,7,9}
В наборе цифры с остатками от деления на 7 равны:
[1]=1, [9]=2, [3]=3, [4]=4, [6]=6, [7]=0.
Если бы была в наборе цифра 5, то таких чисел было бы в точности 7^2013. Поскольку каждому числу из 2013 цифр из М+{5}, соответствовала бы одна единственная цифра, приписанная в конце, дополняющая остаток от деления.
Поскольку в нашем наборе только 6 цифр. То общее количество 6^2013 минус числа из 2013 цифр, которым требуется дополняющий остаток 5.
А таких наборов в точности столько же, сколько 2012-значных чисел из нашего изначального M. И т.д.
Соответственно рекурсия даёт ответ:

$\sum\limits_{0}^{2013} (-1)^{k+1}*6^k = 6^{2013}-6^{2012}+6^{2011}-6^{2010} ......+6^{1}-1 $

Проверьте кто-нибудь

Ну да . геометрическая прогрессия $\sum\limits_{0}^{2013} (-1)^{k+1}*6^k =\frac{6^{2014}-1}{7}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7
Сообщение13.03.2015, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Угу. Теперь смотрим сюда. Ваши рассуждения равно годятся для отыскания чисел, дающих не только 0, но и любой другой конкретный остаток при делении на 7. Значит, их в каждом классе по столько же. Всего получается...
ГДЕ ЕЩЁ ОДНА ОВЦА?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.03.2015, 11:16 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5697
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Evseev.Michail
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group