Сколько 2014-значных чисел из 1,3,4,6,7,9 делится на 7

[Evseev.Michail]

Сколько 2014-значных чисел состоящих из цифр 1,3,4,6,7,9 делится на 7?
Никаких идей.

[ИСН]

Тупо берём их и раскладываем в ящички с разными остатками по модулю 7.

[Evseev.Michail]

ИСН в сообщении #989745 писал(а):

Тупо берём их и раскладываем в ящички с разными остатками по модулю 7.

А можно поподробней?

[ИСН]

Сначала делаем это для 1-значных чисел, потом на основе этого - для 2-значных, и т.д. Программой, конечно, не руками.

[Brukvalub]

Возможно, проблему решает следующий признак делимости на 7:
Число делится на 7 если и только если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 7.
Или другой признак...
(сообщение исправлено благодаря любезному ЛС Alex1976)

[Evseev.Michail]

ИСН в сообщении #989789 писал(а):

Сначала делаем это для 1-значных чисел, потом на основе этого - для 2-значных, и т.д. Программой, конечно, не руками.

Вообще это задача со вступительного экзамена в ШАД.Яндекс.
Так что использование компьютера не подразумевается.

[ИСН]

Ответ - это, я так полагаю, число длиной в сотни цифр. Как Вы без компьютера предполагаете возможным его хотя бы записать, не то что найти?

[Evseev.Michail]

ИСН в сообщении #989810 писал(а):

Ответ - это, я так полагаю, число длиной в сотни цифр. Как Вы без компьютера предполагаете возможным его хотя бы записать, не то что найти?

Аналитически,n'est-ce pas

[venco]

Рекурсия не слишком сложная получается. И ответ достаточно простой.

Для начала обратите внимание на допустимые цифры по модулю 7. Что получилось бы если добавить ещё одну подходящую цифру?

[Evseev.Michail]

venco в сообщении #989851 писал(а):

Рекурсия не слишком сложная получается. И ответ достаточно простой.

Для начала обратите внимание на допустимые цифры по модулю 7. Что получилось бы если добавить ещё одну подходящую цифру?

Обозначим набор цифр $\Lambda=\left\lbrace 1,3,4,6,7,9\right\rbrace$
В наборе цифры с остатками от деления на 7 равны:
$[1]_7=1, [9]_7=2, [3]_7=3, [4]_7=4, [6]_7=6, [7]_7=0.$
Если бы была в наборе цифра 5, то таких чисел было бы в точности $7^{2013}$. Поскольку каждому числу из 2013 цифр из $ \Lambda\cup\left\lbrace5\right\rbrace$, соответствовала бы одна единственная цифра, приписанная в конце, дополняющая остаток от деления.
Поскольку в нашем наборе только 6 цифр. То общее количество $6^{2013}$ минус числа из 2013 цифр, которым требуется дополняющий остаток 5.
А таких наборов в точности столько же, сколько 2012-значных чисел из нашего изначального $\Lambda$. И т.д.
Соответственно рекурсия даёт ответ:

$\sum\limits_{0}^{2013} (-1)^{k+1}*6^k = 6^{2013}-6^{2012}+6^{2011}-6^{2010} ......+6^{1}-1 $

Проверьте кто-нибудь

[ИСН]

Так-то лучше. Только сверните уж тогда в конечный вид.
И ещё я не понял, почему

Evseev.Michail в сообщении #989897 писал(а):

числа из 2013 цифр, которым требуется дополняющий остаток 5.
А таких наборов в точности столько же, сколько 2012-значных чисел из нашего изначального M.

[ИСН]

Всё, понял, ничего не надо, ответ верный, только одной овцы не хватает.
И сверните.

[Evseev.Michail]

Evseev.Michail в сообщении #989897 писал(а):

venco в сообщении #989851 писал(а):

Рекурсия не слишком сложная получается. И ответ достаточно простой.

Для начала обратите внимание на допустимые цифры по модулю 7. Что получилось бы если добавить ещё одну подходящую цифру?

Обозначим набор цифр M={1,3,4,6,7,9}
В наборе цифры с остатками от деления на 7 равны:
[1]=1, [9]=2, [3]=3, [4]=4, [6]=6, [7]=0.
Если бы была в наборе цифра 5, то таких чисел было бы в точности 7^2013. Поскольку каждому числу из 2013 цифр из М+{5}, соответствовала бы одна единственная цифра, приписанная в конце, дополняющая остаток от деления.
Поскольку в нашем наборе только 6 цифр. То общее количество 6^2013 минус числа из 2013 цифр, которым требуется дополняющий остаток 5.
А таких наборов в точности столько же, сколько 2012-значных чисел из нашего изначального M. И т.д.
Соответственно рекурсия даёт ответ:

$\sum\limits_{0}^{2013} (-1)^{k+1}*6^k = 6^{2013}-6^{2012}+6^{2011}-6^{2010} ......+6^{1}-1 $

Проверьте кто-нибудь

Ну да . геометрическая прогрессия $\sum\limits_{0}^{2013} (-1)^{k+1}*6^k =\frac{6^{2014}-1}{7}$

[ИСН]

Угу. Теперь смотрим сюда. Ваши рассуждения равно годятся для отыскания чисел, дающих не только 0, но и любой другой конкретный остаток при делении на 7. Значит, их в каждом классе по столько же. Всего получается...
ГДЕ ЕЩЁ ОДНА ОВЦА?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Evseev.Michail
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.