2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение16.02.2015, 23:25 


16/12/11
63
Можно ли покрыть плоскость счётным числом замкнутых кругов с непересекающимися внутренностями?

Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение16.02.2015, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12997
Осторожное мнение: Можно покрыть почти всю (за исключением множества нулевой меры. Хотя может быть и неизмеримого, но такого, что в любом квадрате мера покрытых точек равна площади этого квадрата. Не одно ли это и то же?). Несчётного покрытия не существует вообще.
:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 00:11 


16/12/11
63
несчётного, конечно, нет...

почти всю - не то... надо всю...

но спасибо за ответ

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4889
Здесь что-то похожее обсуждали, но чуть попроще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 01:32 


16/12/11
63
да, я это видел...

но там проще... непересекающиеся круги...

то, к чему там в итоге пришли, вроде здесь не годится...

-- 17.02.2015, 01:48 --

там, по-видимому, и замкнутыми непересекающимися квадратами в счётном числе покрыть нельзя и т. п.

а с неперескающимися внутренностями квадратами покрыть, конечно, можно...

так что тут вопрос более тонкий, видимо...

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 05:22 
Заслуженный участник


04/05/09
4398
А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 05:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ

(Оффтоп)

venco в сообщении #979443 писал(а):
А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?
В каждом кругоквадрате есть рациональная точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 06:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4889
venco в сообщении #979443 писал(а):
А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?

Круги нулевого радиуса можно. Квадраты, вероятно, нельзя -- квадрат с нулевой стороной настолько редко фигурирует в математическом обиходе, что его определение можно счесть некорректным. В любом случае формулировка ТС позволяет не заморачиваться этими тонкостями.

Geros
Может, стоит попробовать покрыть касательную в точке касания двух окружностей? Можно ли к чему-то прийти, масштабируя такой подход?
(Моя гипотеза -- можно покрыть всю плоскость.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 06:39 
Заслуженный участник


04/05/09
4398
Nemiroff в сообщении #979448 писал(а):

(Оффтоп)

venco в сообщении #979443 писал(а):
А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?
В каждом кругоквадрате есть рациональная точка.
Вот именно. Зачем в исходном вопросе присутствует счётность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 07:29 


16/12/11
63
venco
Цитата:
Вот именно. Зачем в исходном вопросе присутствует счётность?


Ну хорошо, упоминание счётности излишне...

но легче-то от этого не стало...

-- 17.02.2015, 07:31 --

venco

Цитата:
А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?


нельзя, нельзя...

-- 17.02.2015, 07:35 --

grizzly

Цитата:
Может, стоит попробовать покрыть касательную в точке касания двух окружностей? Можно ли к чему-то прийти, масштабируя такой подход?


может, может...

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 08:13 
Аватара пользователя


21/09/12
1647
Каждый круг ненулевого радиуса содержит внутри себя рациональную точку.
Полностью покроем плоскость кругами. Каждому кругу сопоставим любую содержащуюся в нём рациональную точку.
Множество рациональных точек плоскости QxQ счётно. Следовательно, счётно - как подмножество QxQ - и множество кругов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 08:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Geros в сообщении #979456 писал(а):
но легче-то от этого не стало...
А с прямой справитесь? Покрыть прямую непересекающимися отрезками можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 09:54 


01/12/11
1033
Разместим диаметры кругов на прямой и подсчитаем их мощность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 10:19 
Аватара пользователя


21/09/12
1647
Skeptic в сообщении #979472 писал(а):
Разместим диаметры кругов на прямой и подсчитаем их мощность.

Да, и их порядок расположения будет соответствовать соответствующему порядку пересчёта счётного множества QxQ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 11:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12997
Позволю себе отметить, что в данной задаче круги могут пересекаться по границе, и у них предполагается (хотя и не утверждается чисто формально) ненулевой радиус. При таком условии прямую, например, можно покрыть счётным числом непересекающихся во внутренних точках отрезков.
Хотя, если разрешить вырожденные круги в виде точки, и условие счётности становится разумным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group