задача о покрытии плоскости (топология)

[Pallant]

Задача: нужно доказать, что плоскость нельзя покрыть последовательностью попарно не пересекающихся замкнутых кругов.

Попытка решения: Пусть плоскость покрыта такой последовательностью. Выберем точку на оси абсцисс, она принадлежит некоторому кругу, граница которого пересекает ось абсцисс в двух точках -- $x_1$, и $x_2$, пусть $x_2>x_1$. На расстоянии $h$ от точки $x_2$ находится некоторая точка, принадлежащая другому кругу покрытия, граница которого, в свою очередь, пересекается с осью абсцисс в двух точках -- $x_3$, $x_4$. Очевидно, что $x_2<x_3$. Круги из последовательности в пересечении с осью абсцисс образуют сегменты. Таким образом, открытый отрезок $(x_2,x_3)$ должен быть покрыт последовательностью не пересекающихся замкнутых сегментов. Возьмем окрестность точки $x_2$, в ней содержится счетное число сегментов (по крайней мере, в правой ее половине). Тогда можно в этой окрестности выделить сходящуюся к точке $x_2$ подпоследовательность сегментов. Так как сегменты этой подпоследовательности не пересекаются, то между этими сегментами счетное число открытых отрезков, каждый из которых покрыт счетной последовательностью не пересекающихся сегментов. Получаем что сегментов не счетное количество, что противоречит условию задачи.

[g______d]

Круги нулевого радиуса, очевидно, запрещаются, потому что иначе можно разбить на точки. Следовательно, кругов счётное число. Теперь вопрос: можно ли прямую разбить на счётное число замкнутых отрезков (какие-то из которых, возможно, являются точками)? Мне сдаётся, что нет.

[Brukvalub]

Pallant в сообщении #874200 писал(а):

...Получаем что сегментов не счетное количество, что противоречит условию задачи.

Хотелось бы более подробного разъяснения, откуда вытекает несчетность. Мне пока несчетности не видно.

[Pallant]

Brukvalub
Сейчас понимаю, что несчетности не получается, так как объединение счетного числа счетных множеств счетно.

g______d
Тоже думаю, что прямую нельзя разбить на счетное множество не пересекающихся замкнутых отрезков, но доказательства не вижу.

[g______d]

Pallant в сообщении #874212 писал(а):

Тоже думаю, что прямую нельзя разбить на счетное множество не пересекающихся замкнутых отрезков, но доказательства не вижу.

Наверное, можно проще. Тем не менее, если выкинуть внутренности всех отрезков, то останется замкнутое счётное множество, не имеющее изолированных точек. И непустое. Почему? И бывают ли такие подмножества на прямой?

[demolishka]

g______d в сообщении #874202 писал(а):

Теперь вопрос: можно ли прямую разбить на счётное число замкнутых отрезков (какие-то из которых, возможно, являются точками)? Мне сдаётся, что нет.

Кинем на прямую счетное число попарно не пересекающихся отрезков $[a_k;b_k], k \in \mathbb{Z}$ с фиксированной длиной(большей нуля естественно) и свойством $m < n \Rightarrow b_m<b_n$. Теперь осталось заполнить пространство между соседними отрезками - интервалы $(b_k;a_{k+1})$. Для них проводим процесс аналогичный построению канторова множества, только на каждом этапе выкидывается не средний интервал, а отрезок(его берем в покрытие) - в конечном счете пересечение множеств(а они открытые сколь угодно малой длины) на каждом из этапов будет пусто, т.е. интервал покроется.

[Brukvalub]

demolishka в сообщении #874216 писал(а):

g______d в сообщении #874202 писал(а):

Теперь вопрос: можно ли прямую разбить на счётное число замкнутых отрезков (какие-то из которых, возможно, являются точками)? Мне сдаётся, что нет.

Кинем на прямую счетное число попарно не пересекающихся отрезков $[a_k;b_k], k \in \mathbb{Z}$ с фиксированной длиной(большей нуля естественно) и свойством $m < n \Rightarrow b_m<b_n$. Теперь осталось заполнить пространство между соседними отрезками - интервалы $(b_k;a_{k+1})$. Для них проводим процесс аналогичный построению канторова множества, только на каждом этапе выкидывается не средний интервал, а отрезок(его берем в покрытие) - в конечном счете пересечение множеств(а они открытые сколь угодно малой длины) на каждом из этапов будет пусто, т.е. интервал покроется.

"Аццкий Сотона Дьявол кроется в деталях". Хорошо бы строго доказать вот это:
"в конечном счете пересечение множеств(а они открытые сколь угодно малой длины) на каждом из этапов будет пусто, т.е. интервал покроется."

[demolishka]

Brukvalub в сообщении #874218 писал(а):

Аццкий Сотона Дьявол кроется в деталях". Хорошо бы строго доказать вот это:
"в конечном счете пересечение множеств(а они открытые сколь угодно малой длины) на каждом из этапов будет пусто, т.е. интервал покроется."

Дополнение к объединению - это пересечение дополнений.
Теперь о пустоте. Единственные кандидаты на принадлежность пересечению - элементы канторовского множества, каждый из которых есть пересечение какой-то последовательности вложенных отрезков(а в нашем случае вложенных интервалов). Ну так пересечение вложенных интервалов пусто - ни один элемент канторовского множества ни лежит в нашем пересечении. Проблему понял.

[Padawan]

Возможно, из пушки по воробьям, но хотя бы что-то
Теорема (Серпинский, 1918) Никакой континуум нельзя разложить в объединение счётного семейства непустых непересекающихся замкнутых множеств.
Взято из Куратовски Топология. Том 2 М.:"Мир", 1969 , С. 182. Доказательство, кстати, короткое.
Континуум -- связный компакт. Плоскость, конено, не континуум, но можно перейти к сфере Римана и к кругам добавить бесконечно удаленную точку. Получится разложение сферы Римана, которая уже является контнуумом.

[g______d]

Про прямую я имел в виду, что после выкидывания внутренностей отрезков останется непустое совершенное множество, которое счётным быть не может.