2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4904
gris в сообщении #979493 писал(а):
у них предполагается (хотя и не утверждается чисто формально) ненулевой радиус.

grizzly в сообщении #979449 писал(а):
venco в сообщении #979443 писал(а):
А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?

Круги нулевого радиуса можно. ... В любом случае формулировка ТС позволяет не заморачиваться этими тонкостями.

От своей предыдущей гипотезы я отказываюсь, но всё равно не думаю, что всё упрётся в счётное множество непокрытых точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12999
grizzly, я тоже так думаю. Что неминуемый остаток нулевой меры будет иметь мощность континуума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
gris в сообщении #979493 писал(а):
При таком условии прямую, например, можно покрыть счётным числом непересекающихся во внутренних точках отрезков.
Я не об этом.
Возьмём точку внутри круга, проведём через неё все прямые --- их континуум. При этом кругов, как уже понятно, счётное число, поэтому их точек касания счётное число. Поэтому есть прямая, которая не проходит ни через одну точку касания. Значит, она покрыта непересекающимися отрезками. Это невозможно. Значит, и покрытия плоскости кругами нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12999
Nemiroff, пардон, я просто подумал, что всё соскользнуло в шутошный тон, и автор даже приобиделся. Теперь, надеюсь, он будет доволен.Теперь можно и пообобщать и поразвивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4904
Nemiroff
Просто красиво!

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 14:41 
Аватара пользователя


21/09/12
1660
Nemiroff в сообщении #979501 писал(а):
Возьмём точку внутри круга, проведём через неё все прямые --- их континуум. При этом кругов, как уже понятно, счётное число, поэтому и точек касания счётное число.

А не проще ли на этом победно остановиться? Счётное множество, наложенное фрактальной сеткой на континуум, не может его полностью покрывать.
Просто дальнейшее
Nemiroff в сообщении #979501 писал(а):
Поэтому есть прямая, которая не проходит ни через одну точку касания. Значит, она покрыта непересекающимися отрезками. Это невозможно. Значит, и покрытия плоскости кругами нет.
не столь явно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Про какой континуум речь? Если про прямую, то одну её круги могли бы покрыть, будучи уложены встык. Если про плоскость, то что такое фрактальная сетка и откуда это следует?
Нет; завершение не только красиво, но и нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 15:12 
Аватара пользователя


21/09/12
1660
ИСН в сообщении #979547 писал(а):
Если про плоскость, то что такое фрактальная сетка и откуда это следует?

Про плоскость. Фрактальная сетка получается из точек касания кругов. "Следует это" из большей мощности континуума в сравнении со счётным множеством.
Понял, что покрытие плоскости не ограничивается точками касания, "основной вклад" приходится на площади кругов. Так что согласен, продолжение с отрезками нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 16:43 


01/12/11
1033
atlakatl в сообщении #979482 писал(а):
Skeptic в сообщении #979472 писал(а):
Разместим диаметры кругов на прямой и подсчитаем их мощность.

Да, и их порядок расположения будет соответствовать соответствующему порядку пересчёта счётного множества QxQ.

А если длины диаметров иррациональны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 16:58 
Аватара пользователя


21/09/12
1660
Skeptic в сообщении #979577 писал(а):
atlakatl в сообщении #979482 писал(а):
Skeptic в сообщении #979472 писал(а):
Разместим диаметры кругов на прямой и подсчитаем их мощность.

Да, и их порядок расположения будет соответствовать соответствующему порядку пересчёта счётного множества QxQ.

А если длины диаметров иррациональны?
Я снимаю своё поддакивание этому предложению. Считаю, что рассмотрению покрытия плоскости оно ничем не поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Skeptic в сообщении #979577 писал(а):
А если длины диаметров иррациональны?
Погодите, это не Вы ли обещали предъявить отрезок без рациональных точек?

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 20:29 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5697
 ! 
atlakatl в сообщении #979482 писал(а):
множества QxQ.
atlakatl, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 20:57 


16/12/11
63
Nemiroff

дадада...

точно! я же знал, что прямую нельзя покрыть непересекающимися отрезками... и что у каждого круга только счётное число точек касания....

и прямые проводил... искал без точек касания...
но вот элементарно про мощность забыл! точек касания же счётно... счётно на счётно... эхх... конечно же!

всё... вопрос закрыт.

большое спасибо всем!

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 21:20 


13/08/14
349
Nemiroff в сообщении #979501 писал(а):
Возьмём точку внутри круга, проведём через неё все прямые --- их континуум. При этом кругов, как уже понятно, счётное число, поэтому их точек касания счётное число. Поэтому есть прямая, которая не проходит ни через одну точку касания. Значит, она покрыта непересекающимися отрезками. Это невозможно. Значит, и покрытия плоскости кругами нет.

Небольшое добавление к этому решению. Выбранная прямая еще не должна быть касательной к кругам разбиения. Иначе, строго говоря, на выбранной прямой может оказаться счетное всюду плотное множество точек. Это легко обходится, поскольку касательных, выходящих из выбранной точки тоже счетное число. Поэтому надо выбирать прямую не проходящую ни через одну точку касания и не являющейся касательной ни к какому кругу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Покрытие плоскости замкнутыми кругами...
Сообщение17.02.2015, 22:21 


16/12/11
63
Evgenjy

Цитата:
Выбранная прямая еще не должна быть касательной к кругам разбиения. Иначе, строго говоря, на выбранной прямой может оказаться счетное всюду плотное множество точек.


а чем плохо наличие счётного мн-ва точек в покрытии прямой?

(p. s. ну а ежели оно всюду плотное, то чем тогда будут оставшиеся точки покрыты? если у нас только отрезки и точки (касания)...)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group