Покрытие плоскости замкнутыми кругами...

[Geros]

Можно ли покрыть плоскость счётным числом замкнутых кругов с непересекающимися внутренностями?

Заранее спасибо.

[gris]

Осторожное мнение: Можно покрыть почти всю (за исключением множества нулевой меры. Хотя может быть и неизмеримого, но такого, что в любом квадрате мера покрытых точек равна площади этого квадрата. Не одно ли это и то же?). Несчётного покрытия не существует вообще.

[Geros]

несчётного, конечно, нет...

почти всю - не то... надо всю...

но спасибо за ответ

[grizzly]

Здесь что-то похожее обсуждали, но чуть попроще.

[Geros]

да, я это видел...

но там проще... непересекающиеся круги...

то, к чему там в итоге пришли, вроде здесь не годится...

-- 17.02.2015, 01:48 --

там, по-видимому, и замкнутыми непересекающимися квадратами в счётном числе покрыть нельзя и т. п.

а с неперескающимися внутренностями квадратами покрыть, конечно, можно...

так что тут вопрос более тонкий, видимо...

[venco]

А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?

[Nemiroff]

(Оффтоп)

venco в сообщении #979443 писал(а):

А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?

В каждом кругоквадрате есть рациональная точка.

[grizzly]

venco в сообщении #979443 писал(а):

А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?

Круги нулевого радиуса можно. Квадраты, вероятно, нельзя -- квадрат с нулевой стороной настолько редко фигурирует в математическом обиходе, что его определение можно счесть некорректным. В любом случае формулировка ТС позволяет не заморачиваться этими тонкостями.

Geros
Может, стоит попробовать покрыть касательную в точке касания двух окружностей? Можно ли к чему-то прийти, масштабируя такой подход?
(Моя гипотеза -- можно покрыть всю плоскость.)

[venco]

Nemiroff в сообщении #979448 писал(а):

(Оффтоп)

venco в сообщении #979443 писал(а):

А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?

В каждом кругоквадрате есть рациональная точка.

Вот именно. Зачем в исходном вопросе присутствует счётность?

[Geros]

venco

Цитата:

Вот именно. Зачем в исходном вопросе присутствует счётность?

Ну хорошо, упоминание счётности излишне...

но легче-то от этого не стало...

-- 17.02.2015, 07:31 --

venco

Цитата:

А разве можно разместить на плоскости несчётное множество непересекающихся квадратов или кругов?

нельзя, нельзя...

-- 17.02.2015, 07:35 --

grizzly

Цитата:

Может, стоит попробовать покрыть касательную в точке касания двух окружностей? Можно ли к чему-то прийти, масштабируя такой подход?

может, может...

[atlakatl]

Каждый круг ненулевого радиуса содержит внутри себя рациональную точку.
Полностью покроем плоскость кругами. Каждому кругу сопоставим любую содержащуюся в нём рациональную точку.
Множество рациональных точек плоскости QxQ счётно. Следовательно, счётно - как подмножество QxQ - и множество кругов.

[Nemiroff]

Geros в сообщении #979456 писал(а):

но легче-то от этого не стало...

А с прямой справитесь? Покрыть прямую непересекающимися отрезками можно?

[Skeptic]

Разместим диаметры кругов на прямой и подсчитаем их мощность.

[atlakatl]

Skeptic в сообщении #979472 писал(а):

Разместим диаметры кругов на прямой и подсчитаем их мощность.

Да, и их порядок расположения будет соответствовать соответствующему порядку пересчёта счётного множества QxQ.

[gris]

Позволю себе отметить, что в данной задаче круги могут пересекаться по границе, и у них предполагается (хотя и не утверждается чисто формально) ненулевой радиус. При таком условии прямую, например, можно покрыть счётным числом непересекающихся во внутренних точках отрезков.
Хотя, если разрешить вырожденные круги в виде точки, и условие счётности становится разумным.