2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение12.02.2015, 11:47 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
Отпочковываю от post977225.html#p977225. Там была попытка получить плоскую гравитационную волну в виде:
$$
ds^2 = dt^2 - dx^2 - e^{2f} dy^2 - e^{-2f} dz^2
$$Считаем функцию $f$ зависящей только от разности $x - t$. Вычисляем тензор Эйнштейна, для отличных от нуля компонент получаем:
$$
G_{0 0} = G_{1 1} = - G_{0  1} = -2 f'^2
$$Уравнения ОТО
$$
f' = 0
$$ Никакой волны нет, это пространство Минковского.

Теперь произносим заклинание: рассмотрим слабую волну! Слабую - значит квадратичными членами пренебрегаем. Но если пренебречь квадратичными членами, то тензор Эйнштейна в этом приближении будет равен нулю (он же квадратичен по $f$), а раз так, то в линейном приближении в качестве функции $f$ можно взять всё что угодно, хоть синус.

Только вот есть одна беда, такую слабую волну экспериментально обнаружить никогда не удасться, уж больно она слаба...

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение12.02.2015, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8346
SergeyGubanov в сообщении #977230 писал(а):
Но если пренебречь квадратичными членами, то тензор Эйнштейна в этом приближении будет равен нулю (он же квадратичен по $f$), а раз так, то в линейном приближении в качестве функции $f$ можно взять всё что угодно, хоть синус.
Ах, какой ужас-то...

Когда рассматриваются упругие колебания, то в качестве малой волны тоже можно взять что угодно, "даже ужасный синус". Только для ударных волн (существенно нелинейный случай) форма имеет значение.

SergeyGubanov в сообщении #977230 писал(а):
Только вот есть одна беда, такую слабую волну экспериментально обнаружить никогда не удасться, уж больно она слаба...
:facepalm: Просто даже и не знаю что тут сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение12.02.2015, 16:13 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
epros в сообщении #977287 писал(а):
Когда рассматриваются упругие колебания...
К данному случаю это рассуждение неприменимо, ибо решение точного уравнения для указанной метрики $f'=0$ гарантированно не содержит не то что колебаний, а вообще никаких движений: $f = \operatorname{const}$.

epros в сообщении #977287 писал(а):
Просто даже и не знаю что тут сказать.
Иногда мужчина считает себя обязанным ответить даже если не знает правильного ответа. Это называется "синдром мужского ответа".

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение12.02.2015, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8346
SergeyGubanov в сообщении #977310 писал(а):
epros в сообщении #977287 писал(а):
Когда рассматриваются упругие колебания...
К данному случаю это рассуждение неприменимо, ибо решение точного уравнения для указанной метрики $f'=0$ гарантированно не содержит не то что колебаний, а вообще никаких движений: $f = \operatorname{const}$.
Данное рассуждение в точности применимо к данному случаю, ибо нелинейность уравнений гравитационного поля действует ровно так же, как нелинейность упругих напряжений среды.

Решение точного уравнения для $f'=0$ никому на фиг не нужно, ибо близость к нулю тензора Эйнштейна гарантируется малостью $f$.

Впрочем, можете поступить так:
1) Взять в качестве $f$ синус, помноженный на $10^{-5}$.
2) Найти из Вашего уравнения соответствующий $h$.
3) Порадоваться тому, что у Вас теперь есть точное решение (с учётом нелинейности) уравнений.

SergeyGubanov в сообщении #977310 писал(а):
epros в сообщении #977287 писал(а):
Просто даже и не знаю что тут сказать.
Иногда мужчина считает себя обязанным ответить даже если не знает правильного ответа. Это называется "синдром мужского ответа".
Ну вот, скажем, гравитационный потенциал у поверхности Земли на сколько порядков меньше единицы? Мешает ли это нам его экспериментально обнаружить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение13.02.2015, 11:49 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
epros в сообщении #977313 писал(а):
Данное рассуждение в точности применимо к данному случаю, ибо нелинейность уравнений гравитационного поля действует ровно так же, как нелинейность упругих напряжений среды.

Решение точного уравнения для $f'=0$ никому на фиг не нужно, ибо близость к нулю тензора Эйнштейна гарантируется малостью $f$.
Уравнение $f'=0$ нелинейно?

Чтобы получить нелинейность нужно учесть больше степеней свободы чем одну лишь $f$. Если учитывать одну лишь $f$, то никакой гравитационной волны нет.

epros в сообщении #977313 писал(а):
Впрочем, можете поступить так:
Здесь нет ассортимента вариантов, я поступить так не могу, а должен, это единственный вариант. С одной лишь $f$ волны вообще нет, а значит надо добавить ещё какую-то степень свободы. То есть учёт $h$ обязателен. А если вдруг не хватит и её, то надо будет искать какую бы ещё степень свободы учесть.



Вместо $h$ оказывается удобнее использовать экспоненту от неё $Q=e^{-h}$, так уравнение получается "красивее":
$$
ds^2 = dt^2 - dx^2 - Q^2 \left( e^{2f} dy^2 + e^{-2f} dz^2 \right), 
\quad \sqrt{-g} = Q^2
\eqno(1)
$$ тензор Эйнштейна$$
G_{00} = G_{11} = - G_{01} = - 2 \left( f'^2 + \frac{Q''}{Q} \right), \eqno(2)
$$"красивое" уравнение осциллятора $Q$ с переменной частотой $f'$:$$
Q'' + f'^2 \, Q = 0 \eqno(3)
$$
Если "от балды" в качестве $f$ взять синус, то $Q$ будет выражаться через функции Матье (MathieuC, MathieuS):
$$
f(x-t) = A \sin(k(x-t)),
$$$$
Q(x-t) = C_1 \operatorname{MathieuC} \left[ \frac{A^2}{2}, -\frac{A^2}{4}, k(x-t) \right]
+ C_2 \operatorname{MathieuS} \left[ \frac{A^2}{2}, -\frac{A^2}{4}, k(x-t) \right].
$$ И тут становится очевидна следующая неприятность катастрофических масштабов. Гладкие решения уравнения (3) имеют нули, то есть обнуляется $\sqrt{-g}$. Обнуление $\sqrt{-g}$ является катастрофой само по себе, но в контексте этой темы это катастрофа вдвойне, ведь такую волну никак невозможно назвать слабой.

Если использовать негладкие решения уравнения (3), с разрывом первой производной, то обнуления $\sqrt{-g}$ можно будет избежать. Однако, в разрыве должен быть некий дельтаобразный тензор энергии импульса прочей материи, то есть это будет не "чистая" гравитационная волна.

Итого
  • Учёт одной функции $f$ не даёт волн вообще.
  • Учёт двух функций $f$ и $Q$ даёт сильнейшую волну обнуляющую $\sqrt{-g}$, то есть слабой волны не даёт.

Возможно, слабая волна получается только если принять во внимание какие-то три функции?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение13.02.2015, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8346
SergeyGubanov в сообщении #977628 писал(а):
Уравнение $f'=0$ нелинейно?
Уравнения ОТО нелинейны.

SergeyGubanov в сообщении #977628 писал(а):
Итого
  • Учёт одной функции $f$ не даёт волн вообще.
  • Учёт двух функций $f$ и $Q$ даёт сильнейшую волну обнуляющую $\sqrt{-g}$, то есть слабой волны не даёт.

Возможно, слабая волна получается только если принять во внимание какие-то три функции?..
Вы тут собрались оспаривать известный факт существования в ОТО слабой гравитационной волны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение13.02.2015, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15779
Новомосковск
SergeyGubanov в сообщении #977628 писал(а):
Если использовать негладкие решения уравнения (3), с разрывом первой производной, то обнуления $\sqrt{-g}$ можно будет избежать.
Возьмите в качестве $f$ финитную функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение13.02.2015, 14:42 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
Someone в сообщении #977648 писал(а):
Возьмите в качестве $f$ финитную функцию.
А чем это поможет?

Я так рассуждаю: при $Q > 0$ и $f'^2 \ge 0$ чтобы удовлетворить уравнению $Q'' + f'^2 \, Q = 0$ нужно чтобы $Q'' \le 0$. То есть график функции $Q$ должен быть либо прямой либо загнут вниз, а значит $Q$ достигнет нуля или, наоборот, когда-то из него вышла. Предотвратить обнуление $Q$ можно устроив разрыв её первой производной. Например, так как это показано на следующем рисунке:

Изображение


-- 13.02.2015, 15:42 --

Да, с тремя функциями полегче становится:
$$
ds^2 = e^{-2h} \left( dt^2 - dx^2 \right) - Q^2 \left( e^{2f} dy^2 + e^{-2f} dz^2 \right), 
\quad \sqrt{-g} = e^{-2h} Q^2,
\eqno(1)
$$ Все функции от $(x - t)$. Тензор Эйнштейна$$
G_{00} = G_{11} = - G_{01} = - \frac{2}{Q} \left( Q'' + 2 h' Q' + f'^2 Q \right). \eqno(2)
$$"Красивое" уравнение осциллятора $Q$ с переменной частотой $f'$ и затуханием $h'$:$$
Q'' + 2 h' Q' + f'^2 Q = 0 \eqno(3)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение13.02.2015, 17:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15779
Новомосковск
SergeyGubanov в сообщении #977689 писал(а):
А чем это поможет?
Тем, что если Вы возьмёте "достаточно" финитную функцию, то $Q$ не успеет обратиться в ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение13.02.2015, 18:18 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
Someone в сообщении #977792 писал(а):
Тем, что если Вы возьмёте "достаточно" финитную функцию, то $Q$ не успеет обратиться в ноль.
Долетит по инерции. Чтобы маятник не успел долететь до нуля необходимо своевременно включить вязкое трение.

Ну, вобщем, только с тремя функциями удаётся построить решение, которое на плюс-минус бесконечности переходит в Минковского (то есть функции $Q$, $f$, $h$ на плюс-минус бесконечности становятся константами).

$$
ds^2 = e^{-2h} \left( dt^2 - dx^2 \right) - Q^2 \left( e^{2f} dy^2 + e^{-2f} dz^2 \right), 
\quad \sqrt{-g} = e^{-2h} Q^2,
$$$$
Q'' + 2 h' Q' + f'^2 Q = 0.
$$


Вот, смоделировал ситуацию:

Изображение

На этом рисунке начальное положение "маятника" $Q=1$, "упругость" $f'$ и "вязкость" $h'$ нулевые. Потом включается и выключается "упругость" $f' \ne 0$. Из-за этого маятник приходит в движение и начинает падать в ноль. Через некоторое время включается сильная вязкость $h' \ne 0$ и держится до тех пор пока "маятник" не остановится. Потом и "вязкость" выключается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение13.02.2015, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15779
Новомосковск
SergeyGubanov в сообщении #977848 писал(а):
Долетит по инерции.
Согласен. Там же вторая производная. Но это координатная особенность. Сразу после прохождения волны надо исправить координаты. (ЛЛ2, § 109.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение13.02.2015, 18:49 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
Без включения "вязкости" детерминант обнулится - это не координатная особенность.

Вот после прохождения $Qfh$-волны да, конечно, координаты можно и поменять -- "перенормировать".

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение14.02.2015, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15779
Новомосковск
SergeyGubanov в сообщении #977874 писал(а):
Без включения "вязкости" детерминант обнулится - это не координатная особенность.
Я же сказал: возьмите финитную функцию такую, чтобы за время прохождения волны определитель не успел обнулиться, а сразу после прохождения волны исправьте систему координат (ЛЛ2, § 109).

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение16.02.2015, 11:49 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
Someone в сообщении #978358 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #977874 писал(а):
Без включения "вязкости" детерминант обнулится - это не координатная особенность.
Я же сказал: возьмите финитную функцию такую, чтобы за время прохождения волны определитель не успел обнулиться, а сразу после прохождения волны исправьте систему координат (ЛЛ2, § 109).
А, дошло. После прохожения "финитной" волны $h=0$, $f=0$, $Q=A + B \, (x-t)$:
$$
ds^2 = dt^2 - dx^2 - \left( A + B \, (x-t) \right)^2 \left( dy^2 + dz^2 \right), \eqno(1)
$$ и, казалось бы, детерминант обнуляется. Но тензор кривизны метрики (1) равен нулю, то есть это пространство Минковского, которое просто параметризовано "неудачными" координатами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение16.02.2015, 17:08 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
Функция $h(x-t)$ оказывается лишней ещё и по другой причине -- она устраняется заменой координат:
$$
d \xi = e^{-2 h} (dx - dt), \quad \chi = x + t
$$
$$
ds^2 = - d\xi \, d\chi - Q^2 \left( e^{2 f} dy^2 + e^{-2 f} dz^2 \right),
$$
$$
G_{\xi \xi} = - \frac{2}{Q} \left( Q'' + f'^2 Q \right)
$$
$$
Q'' + f'^2 Q = 0
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group