Беда со слабой плоской гравитационной волной

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1247894 писал(а):

Раскрываем скобки

$$ \left( A_0 + C_0\right) + \left( A_1 + C_1 + A_0 D_1 + C_0 B_1 \right) \varepsilon + ( A_1 D_1 + C_1 B_1 ) \varepsilon^2 = 0 \eqno(4) $$

Это я показал как надо делать правильно.

Не показали. Вы не закончили линеаризацию. Квадрат малого параметра - это нелинейная функция от него.

PS "Правильно" - это аккуратно писать везде символ о-малого. Тогда не будет путаницы, где чем пренебрегли.

PPS А зачем вам нужен ТЭИ материи при рассмотрении гравволн в вакууме?

-- 15.09.2017, 11:56 --

SergeyGubanov в сообщении #977230 писал(а):

Вычисляем тензор Эйнштейна

Тензор Риччи - нулевой, тензор Римана - ненулевой. Вакуумные гравволны - это ненулевой тензор Вейля, как пишут.

[SergeyGubanov]

realeugene в сообщении #1247904 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1247894 писал(а):

Раскрываем скобки

$$ \left( A_0 + C_0\right) + \left( A_1 + C_1 + A_0 D_1 + C_0 B_1 \right) \varepsilon + ( A_1 D_1 + C_1 B_1 ) \varepsilon^2 = 0 \eqno(4) $$

Это я показал как надо делать правильно.

Не показали. Вы не закончили линеаризацию. Квадрат малого параметра - это нелинейная функция от него.

Цепочка преобразований $(2) \to (2^{\star}) \to (3) \to (4)$ является точной. Уравнение (4) - это точное, нелинеаризованное уравнение. Сравните его с "уравнением" (7) чтобы почувствовать разницу.

realeugene в сообщении #1247904 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #977230 писал(а):

Вычисляем тензор Эйнштейна

Тензор Риччи - нулевой, тензор Римана - ненулевой.

Для указанной метрики, с учётом уравнения $f' = 0$, ненулевые компоненты тензора Римана -- в студию, очень ждём

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1247924 писал(а):

Уравнение (4) - это точное, нелинеаризованное уравнение.

Да сколько угодно. Вы написали, что это "правильная" линеаризация. Это неверно.

SergeyGubanov в сообщении #1247924 писал(а):

Для указанной метрики

Не знаю, что это у вас за метрика, но в Википедии написано, что ненулевые тензора Вейля (т. е. по определению тензора Римана с нулевым тензором Риччи) существуют для размерности пространства больше трёх.

[SergeyGubanov]

realeugene в сообщении #1247925 писал(а):

Не знаю, что это у вас за метрика, но в Википедии написано

Вы процитировали фразу из головного сообщения этой темы. В головном сообщении указана всего одна метрика:

SergeyGubanov в сообщении #977230 писал(а):

Отпочковываю от post977225.html#p977225. Там была попытка получить плоскую гравитационную волну в виде:

$$ ds^2 = dt^2 - dx^2 - e^{2f} dy^2 - e^{-2f} dz^2 $$

Считаем функцию $f$ зависящей только от разности $x - t$. Вычисляем тензор Эйнштейна, для отличных от нуля компонент получаем:

$$ G_{0 0} = G_{1 1} = - G_{0 1} = -2 f'^2 $$

Уравнения ОТО

$$ f' = 0 $$

Никакой волны нет, это пространство Минковского.

Вы сказали, что у этой метрики

realeugene в сообщении #1247904 писал(а):

Тензор Риччи - нулевой, тензор Римана - ненулевой.

Поэтому, очень ждём от Вас ненулевые компонены тензора Римана этой метрики

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1247927 писал(а):

Вы сказали, что у этой метрики

У волны. Метрику вы подставили. По условию приближенную, требуя при этом абсолютной точности равенств в уравнениях для этой метрики.

А помните, что в сферической дипольной электромагнитной волне радиальная компонента электрического поля спадает как $1/r^2$, и, в результате, если ограничиться только первым порядком малости, не будет точно выполняться теорема Гаусса? Это не мешает приближенно рассматривать электромагнитную волну далеко от источника как плоскую.

[SergeyGubanov]

realeugene, есть мнение, что именно для вакуумных уравнений имеет смысл искать лишь точные решения.

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1247930 писал(а):

realeugene, есть мнение, что для вакуумных уравнений имеет смысл искать лишь точные решения.

Для электромагнитного поля, как показывает предыдущий пример, это не так. Для гравитационного, соответственно, это мнение нужно доказывать. Ну а точные решения, кажется, давно уже найдены. Если их можно линеаризовать по какому-то малому параметры и свести к слабой поправке для метрики Минсковского, то всё дальнейшее абсолютно законно. Эта поправка может нарушать уравнения Эйнштейна, так как она - только приближение.

[SergeyGubanov]

realeugene, точное решение вакуумных уравнений Максвелла, дипольная мода:

$$ A = A_{\mu} dx^{\mu} = \frac{f(t-r)}{r^2}\cos(\theta) ( dt + dr ) + \left( f'(t-r) + \frac{f(t-r)}{r} \right) \sin(\theta) \, d \theta, $$

здесь $f(t-r)$ - произвольная функция.

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1248304 писал(а):

точное решение вакуумных уравнений Максвелла, дипольная мода:

Ну да, и при этом в большинстве задач можно рассматривать вдали от источника её как локально плоскую, хоть это и не точное решение. Для дипольной гармонической волны в дальнем поле берут $E_\theta=E_0\sin\theta\frac{e^{i(\omega t - k r)}}{r}, H_\varphi=E_\theta/\eta$, хоть эта волна и нарушает уравнения Максвелла. И всё работает. В этом решении отброшены члены, спадающие быстрее $1/r$ (которых, кстати, в точном решении для векторного потенциала нет) (а у вас есть).

В общем, пишут, что точные вакуумные решения для гравполя существуют и описываются ненулевым тензором Вейля. Встречал упоминания, что ненулевые тензора Вейля в четырехмерии давно описаны и проклассифицированы. Не вижу причин не доверять этим сплетням, пока не доказано обратное.

[SergeyGubanov]

realeugene, боюсь Вы не правильно понимаете о чём конкретно эта тема. Точное решение уравнений ОТО для плоской бесдисперсионной гравитационной волны мне прекрасно известно. Посмотрите выше, я выписывал его несколько раз.

Эта тема посвящена следующему. Есть нелинейные уравнения ОТО для метрического тензора $g_{\mu \nu}$:

$$ G_{\mu \nu} = \frac{8 \pi \kappa}{ c^4 } T_{\mu \nu}, \eqno(1) $$

и есть линейные уравнения Некоторой Другой Теории для некоторого симметричного тензорного поля второго ранга $h_{\mu \nu}$:

$$ \nabla^2 \Psi_{\mu \nu} = \frac{8 \pi \kappa}{ c^4 } T_{\mu \nu}. \eqno(2) $$

Распространено мнение, будто бы уравнения (2) можно как-то получить из уравнений (1) если считать

$$ g_{\mu \nu} \approx \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}. \eqno(3) $$

На основании этого мнения эту Некоторую Другую Теорию считают не самостоятельно существующей теорией, а лишь линеаризованным вариантом ОТО.

Однако, я обратил внимание на следующее досадное недоразумение. Ежели бы (2) можно было бы вывести из (1), то и точные решения нелинейной системы (1) имели бы предельный переход в линейные решения системы (2). Но такого предельного перехода, как оказалось, не существует. Попытка линеаризовать точную нелинейную волну в ОТО просто приводит к обнулению тензора кривизны Римана. Значит при выводе (2) из (1) была допущена какая-то математическая ошибка (или несколько ошибок). Одну ошибку я уже нашёл, она заключается в преждевременной линеаризации обратного метрического тензора формулой $g^{\mu \nu} \approx \eta^{\mu \nu} - h^{\mu \nu}$.

Существуют астрономические наблюдения худо-бедно подтверждающие (2) (по крайней мере Нобелевку за это уже успели дать). Но если (2) не выводится из (1), то это означает, что одновременно существуют два разных физических поля $g_{\mu \nu}$ и $h_{\mu \nu}$, и Некоторая Другая Теория является самостоятельной теорией, не зависящей от ОТО.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1248452 писал(а):

Одну ошибку я уже нашёл

Вот только вам указали на проблему в ваших рассуждениях, которую вы так и не исправили:

realeugene в сообщении #1247904 писал(а):

Не показали. Вы не закончили линеаризацию. Квадрат малого параметра - это нелинейная функция от него.

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1247894 писал(а):

$$ \left( A_0 + C_0\right) + \left( A_1 + C_1 + A_0 D_1 + C_0 B_1 \right) \varepsilon + ( A_1 D_1 + C_1 B_1 ) \varepsilon^2 = 0 \eqno(4) $$

Это я показал как надо делать правильно.

Нет, правильно - это вот так вот:

$$ (A_0 + C_0) + (A_1 + C_1 - A_0 B_1 - C_0 D_1) \varepsilon + o(\varepsilon) =0 $$

Если не терять о-малое, то все три выражения (два из вашего примера) одинаковы. Не знаю, где именно у вас ошибка в линеаризации метрики (я слишком плохо знаю ОТО чтобы следить за выводом большими скачками), но ваш пример из области обычного матанализа просто ошибочный.

И мне, безусловно, непонятны ваши рассуждения про тензор Эйнштейна. Конечно, для точного решения в вакууме он должен быть равен нулю, бегает волна или нет. Для приближенного решения тензор Эйнштейна для фоновой метрики не должен быть равен нулю. Но этот эффект, разумеется, крайне слабый, так как энергии-импульса, попадающих в ТЭИ для фоновой метрики, слабая волна переносит мало.

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #977230 писал(а):

Уравнения ОТО

$$ f' = 0 $$

А есть где-нибудь написанный подробный вывод этого "уравнения ОТО"?
Точнее, конечно, вывод вплоть до слов "вычисляем тензор Эйнштейна" . Что он должен быть равен нулю - это уже понятно.

[SergeyGubanov]

warlock66613, объясните подробнее в чём проблема, мне не понятно. Интересует разложение до первого порядка. Оно выполнено. При чём тут квадрат малого параметра? Хотите чтобы я разложил (5) и (6) до второго порядка? А смысл? Ведь (7) отличается от точной формулы (4) уже в первом порядке...

realeugene, пожалуйста обратите внимание на то, что вывод $(2) \to (2^{\star}) \to (3) \to (4)$ состоит из тождественных преобразований (я привёл две дроби к общему знаменателю, затем умножил левую и правую части уравнения на этот знаменатель, остался числитель). Уравнение (4) в точности эквивалентно уравнению (1) вне зависимости от того является ли $\varepsilon$ малым или не является.

realeugene, вычисление компонент тензора Эйнштейна $G_{\mu \nu}$ для заданной метрики $g_{\mu \nu}$ осуществляется силами того кто их хочет вычислить

$$ \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu} = \frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \left( \frac{\partial g_{\beta \mu}}{\partial x^{\nu}} + \frac{\partial g_{\beta \nu}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^{\beta}} \right) $$

$$ R^{\alpha}_{\; \beta \mu \nu} = \frac{\partial \Gamma^{\alpha}_{\beta \nu}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial \Gamma^{\alpha}_{\beta \mu}}{\partial x^{\nu}} + \Gamma^{\alpha}_{\lambda \mu} \Gamma^{\lambda}_{\beta \nu} - \Gamma^{\alpha}_{\lambda \nu} \Gamma^{\lambda}_{\beta \mu} $$

$$ R_{\mu \nu} = R^{\alpha}_{\; \mu \alpha \nu} $$

$$ R = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} $$

$$ G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R $$

Ландау, Лифшиц, Теория поля.

Врукопашную их вычислять утомительно, поэтому я написал себе программу на Mathematica.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1248591 писал(а):

Интересует разложение до первого порядка. Оно выполнено.

Оно не выполнено, потому что вы не выбросили член с ${\varepsilon}^2$. Выбросите его (из "правильного") — вот тогда получится разложение до первого порядка, причём совпадающее с "неправильным". Так что ваш пример не опровергает законность "неправильного" подхода, а, наоборот, косвенно его подтвержает.