Беда со слабой плоской гравитационной волной

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1248591 писал(а):

пожалуйста обратите внимание на то, что вывод $(2) \to (2^{\star}) \to (3) \to (4)$ состоит из тождественных преобразований

Состоит, но он не линеаризация. Линеаризация - это когда вы некоторым чудесным образом избавитесь в выражении от степеней параметра выше первой. Но, конечно, дифференцировать линеаризованную функцию осмысленно только если исходная функция была нужное число раз дифференцируемой, и, в большинстве случаев, не более одного раза.

[SergeyGubanov]

Хм, если взять исходное точное уравнение (4)

$$ \left( \left( A_0 + C_0\right) + \left( A_1 + C_1 + A_0 D_1 + C_0 B_1 \right) \varepsilon + ( A_1 D_1 + C_1 B_1 ) \varepsilon^2 \right) = 0 \eqno(4) $$

и умножить его на произвольный множитель

$$ \left( 1 + F_1 \varepsilon + F_2 \varepsilon^2 \right) \ne 0, $$

$$ \left( \left( A_0 + C_0\right) + \left( A_1 + C_1 + A_0 D_1 + C_0 B_1 \right) \varepsilon + ( A_1 D_1 + C_1 B_1 ) \varepsilon^2 \right) \left( 1 + F_1 \varepsilon + F_2 \varepsilon^2 \right) = 0, $$

то подбирая $F_1$ и $F_2$ можно изменить коэффициенты перед $\varepsilon$ и $\varepsilon^2$ до любых наперёд желаемых , что обесценивает саму идею разложения по степеням $\varepsilon$.

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1248591 писал(а):

поэтому я написал себе программу на Mathematica.

Помнится, Морозов написал себе подобную программу на Мапле, но при этом по ошибке написал пару переменных слитно, и у него во вращающихся координатах тензор Римана получался ненулевым. О чём он развил теорию, что вращающиеся координаты кривые. Такие анекдотические ситуации тоже случаются.

В Википедии по поводу вакуумного решения гравитационной волны написаны слова, которые я не понимаю. Координаты там берутся какие-то специальные. Как они сводятся к координатам Минковского для фоновой метрики слабой волны мне не понятно. Но что касается вашего точного решения: $x$ и $t$ - это что?

[SergeyGubanov]

realeugene в сообщении #1248650 писал(а):

В Википедии по поводу вакуумного решения гравитационной волны написаны слова, которые я не понимаю. Координаты там берутся какие-то специальные. Как они сводятся к координатам Минковского для фоновой метрики слабой волны мне не понятно.

Посмотрите ЛЛ2, § 109.

realeugene в сообщении #1248650 писал(а):

Но что касается вашего точного решения: $x$ и $t$ - это что?

Ну, их можно до поры до времени интерпретировать как время и расстояние трансверсальные фронту плоской волны. Но рано или поздно детерминант метрического тензора выраженный в этих координатах обратится в ноль. Однако, если в окрестности того места, где он обращается в ноль выполняется $Q'' = 0$, $\xi'= 0$, $\chi' = 0$, то эта особенности фиктивная - тензор Римана нулевой, это пространство Минковского и преобразованием координат (указанным в ЛЛ2, § 109), метрику можно привести к другим - декартовым $\tilde{x}$, $\tilde{y}$, $\tilde{z}$.

[realeugene]

Я правильно понимаю, что для вашего точного решения тензор Римана ненулевой, в то время, как тензор Риччи (а равно тензор Эйнштейна) нулевые?

Относительно координат. Если бежит плоская ограниченная по времени пролёта волна, то четырехмерие делится на две области с метрикой Минковского, верно? У нас некоторым образом покоились линейки и часы. Волна проллетела - опять покоятся линейки и часы продолжают отсчитывать время. Так что, можно сшить координаты в этих областях, причём, если волна плоская и мы сшиваем области вдоль границы однородно, то метрика внутри волны, действительно, должна зависеть только от наших глобальных $t-x$. Верно? Но откуда следует, что у этой метрики внутри области сшивки не изменяются другие диагональные и внедиагональные компоненты? В точном решении?

[SergeyGubanov]

realeugene в сообщении #1248673 писал(а):

Я правильно понимаю, что для вашего точного решения тензор Римана ненулевой, в то время, как тензор Риччи (а равно тензор Эйнштейна) нулевые?

Да, конечно. Только это не моё решение, а решение Робинсона - Бонди, 1957. Мои здесь только обозначения и переписывание в ортогональном репере.

realeugene в сообщении #1248673 писал(а):

Но откуда следует, что у этой метрики внутри области сшивки не изменяются другие диагональные и внедиагональные компоненты? В точном решении?

Странный вопрос. Можете поискать другие решения, если это не нравится .

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1248690 писал(а):

Странный вопрос. Можете поискать другие решения, если это не нравится .

Вот, смотрите. Вы обнаружили, что некоторое известное решение после некоторых ваших преобразований приводит к абсурду. Означает ли это, что это ошибка именно в этом известном решении, а не в ваших преобразованиях? Скорее всего, ошиблись именно вы, например, переписывая известное решение в ортогональном репере и, например, потеряв что-то из метрики. Или неправильно линеаризуя волну. Чтобы найти ошибку, нужно не другие решения искать, а детально анализировать каждый шаг вашего вывода от известного решения к абсурду.

Так что вам не нравится с линеаризацией? Что тензор Римана, посчитанный по линеаризованной метрике, становится нулевым? Его просто по линеаризованной метрике считать нельзя, так как для его вычисления нужно решение дважды дифференцировать. Если хотите работать с тензором Римана, то, действительно, нужно ряд Тейлора считать до малых большего порядка малости. Это не означает, что линеаризованные решения бесполезны для других задач.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1246744 писал(а):

Теперь надо понять где делают ошибку при наивной линеаризации уравнений ОТО:

С одной стороны я согласен с вашими оппонентами:
Вот здесь :
post1247894.html#p1247894

Я бы взял выражение (2) , отправил бы его в матпакет и получил бы "неправильное" выражение (7). Тут у вас видимо неправильные рассуждения.

Цитата:

На основании этого мнения эту Некоторую Другую Теорию считают не самостоятельно существующей теорией, а лишь линеаризованным вариантом ОТО.

Но с другой стороны, я тут проверил некоторые расчеты в рамках ЛЛ-2 пар 107 и 96 для слабой волны с энергетической точки зрения и Ваши сомнения имеют рациональное зерно. И получилось следующее.

Согласно ЛЛ-2 пар 107 , Ландау-Лифшиц получили слабую плоскую волну в таком виде:

$$ds^2=dt^2-dx^2-(1+a)dy^2-(1-a)dz^2+2bdydz \quad(1b)$$

Тут я сделал замену :

$$h_{22}=-h_{33}=a(t-x), \quad h_{23}=h_{32}=b(t-x), \quad c=1$$

при координатных условиях:

$$\frac{\partial}{\partial{x^{k}}} (h_{i}^{k}-1/2\delta_{i}^{k}h_j^j)=0 \quad(2b)$$

Определитель :

$$g=a^2+b^2-1$$

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & -1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & -a-1 & b\cr 0 & 0 & b & a-1\end{pmatrix} \quad(3b)$$

Я оставил латинские буквы, как в ЛЛ-2 ($i,k,l,m...=0,1,2,3$)
Поток гравитационной энергии Ландау определяет исходя из формулы (96.7) , переписанной по-другому .

$$(-g)t^{ik}={\Lambda}^{iklm}_{,l,m}-(-g)\frac{1}{8{\pi}G}(R^{ik}-1/2g^{ik}R) \quad(4b)$$

$${\Lambda}^{iklm}_{,l,m}=\frac{\partial}{\partial { x^{l}}}\frac{\partial}{\partial { x^{m}}}[(-g)(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km})] \quad(5b) $$

Оно же эквивалентно, как написано в учебнике громоздкому выражению (96.9) . Я не поленился и составил программу для этого выражения и получил такой ответ для метрики (3b):

$$(-g)16{\pi}Gt^{01}=-\frac{\dot{a}^2+\dot{b}^2}{g}+\frac{3a^2\dot{a}^2+3b^2\dot{b}^2+a^2\dot{b}^2+b^2\dot{a}^2+4ab\dot{a}\dot{b}}{g} \quad(6b)$$

Отбрасывая члены высокого порядка малости в псевдотензоре, то есть второе слагаемое, получаем тот ответ, который есть в учебнике, то есть (107.12) ( $g\approx-1$) :

$$16{\pi}Gt^{01}\approx\dot{a}^2+\dot{b}^2\quad(7b)$$

$$ 16{\pi}Gt^{01}\approx(\dot{h_{23}}^2+(1/4)(\dot{h_{22}}-\dot{h_{33}})^2)\quad(107.12) $$

На основе (107.12) делаются дальнейшие расчеты потерь энергии на гравитационное излучение при вращении двух массивных тел.

Теперь рассмотрим точное решение, которое может быть обобщением этой плоской волны :

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & -1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & g_{22} & g_{23}\cr 0 & 0 & g_{23} & g_{33}\end{pmatrix} \quad(8b)$$

Поскольку это точное вакуумное решение, то тензор Риччи равен нулю и для метрики в таком виде без перекрестных членов
$ g^{o\mu}$ ($\mu=1,2,3$) компонента псевдотензора $t^{01}$ на основе (4b) и (5b) приобретает изящное простое выражение:

$$16{\pi}G(-g)t^{01}=\frac{\partial}{\partial { x^{l}}}\frac{\partial}{\partial { x^{m}}}[(-g)(g^{01}g^{lm}-g^{0l}g^{1m})]=\ddot{g} \quad(9b)$$

Определитель для (8b):

$$g=g_{23}^2-g_{22}g_{33}$$

Теперь раскладываем компоненты в правой части (9b). Пусть они переходят в (1b):

$$g_{22}=-1-a+.., g_{33}=-1+a+.., g_{33}=b+...\quad(10b)$$

Где после многоточия стоят члены следующего порядка малости. Тогда получаем в первом порядке для плотности потока энергии.

$$16{\pi}Gt^{01}_{(1)}\approx2(\dot{b}^2+\dot{a}^2+a\ddot{a}+b\ddot{b}) \quad(11b)$$

Это выражение знакопеременное в отличие от (7b) и (107.12) ЛЛ-2 и оно явно расходится с учебником, поскольку члены типа $a\ddot{a}$ по величине равны $\dot{a}^2$ .

Это можно проверить , взяв функции $a$ или $b$ в виде: $d\sin(w(t-x)+\phi)$ .

Для периодических функций усреднение потока по периоду $t^{01}_{(1)}$ для решения (11b) дает ноль .

Можно взять другое точное решение , которое предлагает ТС : плоскую волну Бонди-Переса-Робинсона.

$$ds^2=dt^2-dx^2-Q^2(e^{2f}dy^2+e^{-2f}dz^2) \quad(12b)$$

Определитель :

$$ g=-Q^4 $$

Согласно полученному точному выражению для компоненты (01) псевдотензора:

$$ 16{\pi}G(-g)t^{01}=\ddot{g}=-(Q^4)_{t,t} \quad(13b)$$

Если взять , как разумно предлагает Sergey Gubanov , $Q$ в виде $d\sin(w(t-x))$ , то получим:

$$16{\pi}G(-g)t^{01}=4\,{d}^{4}\,{w}^{2}\,{\mathrm{\sin}\left( w\,\left( x-t\right) \right) }^{2}\,\left( {\mathrm{\sin}\left( w\,\left( x-t\right) \right) }^{2}-3\,{\mathrm{\cos}\left( w\,\left( x-t\right) \right) }^{2}\right) \quad(14b)$$

Это выражение знакопеременное и при усреднении по времени дает ноль $<{t^{01}}>=0$.

Получается странное противоречие. Некоторые точные решения дают нулевой поток гравитационной энергии , в то время как приближенное линеаризированное дает результат отличный от нуля и проверен экспериментом. В этом смысле заявление ТС не такое уж абсурдное.