2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 18:49 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Нужно доказать, что $\sin(p\pi/q)$ является алгебраическим числом.
$\sin(p\pi/q)=p\pi/q-(p\pi/q)^3/3!+(p\pi/q)^5/5!-...$. Непонятно, что из этого следует.
Можно еще представить синус в комплексном виде, но и это ничего не дает (или дает?).
Больше идей нет. Грустно всё это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6733
Попробуйте посмотреть на того же вида экспоненту с мнимым показателем... авось мысли какие появятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Это смотря что Вы про алгебраические числа знаете.
Если только определение, то нужно предъявить соответствующий многочлен. И здесь формула Муавра Вам поможет.
Если же знаете чуть побольше, то совет Otta как нельзя кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 19:06 
Заморожен


20/12/10
5623
С косинусом было бы немного попроще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 20:12 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Формулу Муавра испробовал, знаком по большому счету только с определением алгебраического числа.
Решить в итоге так и не удалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
А как Вы ее пробовали?
Вы умеете выражать $\sin qx$ через $\sin x$ и $\cos x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 20:47 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Не умею, в том-то и дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Что же Вы с формулой Муавра делали?
Возведите $\cos x+i\sin x$ в степень $q$ с помощью формулы Муавра и с помощью бинома Ньютона, потом отделите мнимую часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 21:17 
Аватара пользователя


04/06/14
593
В итоге получается многочлен $x=0$ или я где-то ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Напишите, что Вы делали. В одной части должен быть $\sin qx$, в другой -- выражение, содержащее только триг.функции $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 21:44 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Переходил от $\sin(qx)$ к $\sin(x)$ и $\cos(x)$, где в качестве $q$ брал $p/q$ и в качестве $x$ брал $\pi$, затем воспользовался формулой Муавра, где при возведении в степень $p/q$ суммы косинуса и синуса, умноженного на мнимую единицу, получится сумма косинуса и синуса, умноженного на мнимую единицу, но с аргументами, увеличенным в $p/q$ раз, а также воспользовался биноминальной формулой, после чего приравнял мнимые части. После взятия мнимой части от суммы всевозможных произведений степеней косинусов и синусов, умноженных на степени мнимых единиц и биноминальные коэффициенты, которая равна 0 в силу того, что в этой суммы "уходят" все степени $\sin(\pi)$, остаётся 0. Очевидно, где-то ошибся. Если бы задание было бы с косинусом, то вышло бы, что $\cos(p\pi/q)=\cos^p/q(\pi)$ (получается путем приравнивания действительных частей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6733
А теперь то же самое, только формулами. Мы такое читать не научены. :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Да, напишите просто выражение $\sin qx$ через триг.функции $x$. Это мы уже потом подумаем, что у нас будет за $x$ и где там $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:04 
Аватара пользователя


04/06/14
593
$(\exp ix)^q=(\cos x+i\sin x)^q=\cos^q(x)+q\cos^{q-1} xi\sin x+...+i^q\sin^q x =\cos qx+i\sin qx \rightarrow \sin (p/q)\pi=\operatorname{Im}((p/q)\cos^{(p/q)-1} \pi i\sin \pi +...+i^{p/q}\sin^{p/q} \pi)=\operatorname{Im}(0)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство алгебраичности числа
Сообщение05.01.2015, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Зачем Вы дробные степени пишете?
Еще раз, $\sin qx=\dots$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group