Доказательство алгебраичности числа

[maximk]

Нужно доказать, что $\sin(p\pi/q)$ является алгебраическим числом.
$\sin(p\pi/q)=p\pi/q-(p\pi/q)^3/3!+(p\pi/q)^5/5!-...$. Непонятно, что из этого следует.
Можно еще представить синус в комплексном виде, но и это ничего не дает (или дает?).
Больше идей нет. Грустно всё это.

[Otta]

Попробуйте посмотреть на того же вида экспоненту с мнимым показателем... авось мысли какие появятся.

[ex-math]

Это смотря что Вы про алгебраические числа знаете.
Если только определение, то нужно предъявить соответствующий многочлен. И здесь формула Муавра Вам поможет.
Если же знаете чуть побольше, то совет Otta как нельзя кстати.

[nnosipov]

С косинусом было бы немного попроще.

[maximk]

Формулу Муавра испробовал, знаком по большому счету только с определением алгебраического числа.
Решить в итоге так и не удалось.

[ex-math]

А как Вы ее пробовали?
Вы умеете выражать $\sin qx$ через $\sin x$ и $\cos x$?

[maximk]

Не умею, в том-то и дело.

[ex-math]

Что же Вы с формулой Муавра делали?
Возведите $\cos x+i\sin x$ в степень $q$ с помощью формулы Муавра и с помощью бинома Ньютона, потом отделите мнимую часть.

[maximk]

В итоге получается многочлен $x=0$ или я где-то ошибся?

[ex-math]

Напишите, что Вы делали. В одной части должен быть $\sin qx$, в другой -- выражение, содержащее только триг.функции $x$.

[maximk]

Переходил от $\sin(qx)$ к $\sin(x)$ и $\cos(x)$, где в качестве $q$ брал $p/q$ и в качестве $x$ брал $\pi$, затем воспользовался формулой Муавра, где при возведении в степень $p/q$ суммы косинуса и синуса, умноженного на мнимую единицу, получится сумма косинуса и синуса, умноженного на мнимую единицу, но с аргументами, увеличенным в $p/q$ раз, а также воспользовался биноминальной формулой, после чего приравнял мнимые части. После взятия мнимой части от суммы всевозможных произведений степеней косинусов и синусов, умноженных на степени мнимых единиц и биноминальные коэффициенты, которая равна 0 в силу того, что в этой суммы "уходят" все степени $\sin(\pi)$, остаётся 0. Очевидно, где-то ошибся. Если бы задание было бы с косинусом, то вышло бы, что $\cos(p\pi/q)=\cos^p/q(\pi)$ (получается путем приравнивания действительных частей).

[Otta]

А теперь то же самое, только формулами. Мы такое читать не научены. :(

[ex-math]

Да, напишите просто выражение $\sin qx$ через триг.функции $x$. Это мы уже потом подумаем, что у нас будет за $x$ и где там $p$.

[maximk]

$(\exp ix)^q=(\cos x+i\sin x)^q=\cos^q(x)+q\cos^{q-1} xi\sin x+...+i^q\sin^q x =\cos qx+i\sin qx \rightarrow \sin (p/q)\pi=\operatorname{Im}((p/q)\cos^{(p/q)-1} \pi i\sin \pi +...+i^{p/q}\sin^{p/q} \pi)=\operatorname{Im}(0)=0$

[ex-math]

Зачем Вы дробные степени пишете?
Еще раз, $\sin qx=\dots$?